数学竞赛中的数论问题题型全(共55页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 数学竞赛中的数论问题定理4 是两个不同时为0的整数，若是形如（是任意整数）的数中的最小正数，则（1）|；（2）证明 （1）由带余除法有，得 ，知也是形如的非负数，但是形如的数中的最小正数，故，即| （2）由（1）有|，|，得是的公约数另一方面，的每一个公约数都可以整除，所以是的最大公约数，推论若，则存在整数，使（很有用）定理5 互素的简单性质： （1）（2）（3）（4）若是一个素数，是任意一个整数，且不能被整除，则推论 若是一个素数，是任意一个整数，则或（6）若，则证明 由知存在整数，使有 ，得 （7）若，则， 证明 ，由（6）（8）若，则，其中为正整数证明 据（6），由可得同样，由可得定理7 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数证明 假设素数只有有限多个，记为，作一个新数 若为素数，则与素数只有 个矛盾若为合数，则必有，使，从而，又与矛盾综上所述，素