1、二次函数知识点总结二次函数知识点：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbc（ a，是常数， 0a）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式， x的最高次数是2 bc，是常数， 是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax的性质： oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0，y轴0x时， y随 x的增大而增大； 0x时，随 的
2、增大而减小； 时， y有最小值 0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 x的增大而增大； x时， 有最大值 2. 2yaxc的性质：结论：上加下减。总结： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，y轴0x时， y随 x的增大而增大； 0x时，随 的增大而减小； 时， y有最小值 ca向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 x的增大而增大； 0x时， 有最大值 3. 2yaxh的性质：结论：左加右减。总结： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h，X=hxh时， y随 x的增大而增大； xh时，随 的增大而减小； 时， y有最小值 0a向下 ，X=h时，
3、 随 的增大而减小； 时，y随 x的增大而增大； xh时， 有最大值 4. 2yxhk的性质：总结：a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=hxh时， y随 x的增大而增大； xh时，随 的增大而减小； 时， y有最小值 ka向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，y随 x的增大而增大； xh时， 有最大值 二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 2yaxhk，确定其顶点坐标 hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到 ，处，具体平移方法如下： 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x
4、-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 三、二次函数 2yaxk与 2yaxbc的比较请将245利用配方的形式配成顶点式。请将2yaxbc配成 2yaxhk。总结：从解析式上看， 2yaxhk与2yaxbc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即4bc，其中24acbhk，四、二次函数 2yax图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的
5、五点为：顶点、与 y轴的交点 0c，、以及 0，关于对称轴对称的点 c， 、与x轴的交点 10x， 2（若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y轴的交点.五、二次函数 2yaxbc的性质1. 当 0时，抛物线开口向上，对称轴为 2bxa，顶点坐标为24bac，当 2xa时， y随 x的增大而减小；当时， y随 x的增大而增大；当b时， 有最小值24acb2. 当 0a时，抛物线开口向下，对称轴为 2bxa，顶点坐标为24bac，当2bx时， y随 x的增大而增大；当 2bxa时， y随 的增大而减小；当x时， y有
6、最大值24ca六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yxbc（ a， b， c为常数， 0a） ；2. 顶点式： ()ahk（ ， h， k为常数， ） ；3. 两根式： 12x（ 0， 1x， 2是抛物线与 x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即 240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数2yxbc中， a作为二次项系数，显然 0a 当 0时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小
7、，反之 的值越小，开口越大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴 在 0的前提下，当 b时，02a，即抛物线的对称轴在 y轴左侧；当 0时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 b时，02a，即抛物线对称轴在 y轴的右侧 在 a的前提下，结论刚好与上述相反，即当 0时，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 b时，02a，即抛物线的对称轴就是 y轴；当 0时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前
8、提下， b决定了抛物线对称轴的位置总结：3. 常数项 c 当 0时，抛物线与 y轴的交点在 x轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0； 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， c决定了抛物线与 轴交点的位置总之，只要 ab，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
9、2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x轴对称2yabc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbc； hk关于 轴对称后，得到的解析式是 hk；2. 关于 轴对称2yxc关于 y轴对称后，得到的解析式是2yxc； ak关于 轴对称后，得到的解析式是 ak；3. 关于原点对称2yxbc关于原点对称后，得到的解析式是2yxbc；hk关于原点对称后，得到的解析式是 hk；4. 关
10、于顶点对称2yaxbc关于顶点对称后，得到的解析式是22yaxca；hk关于顶点对称后，得到的解析式是 hk5. 关于点 mn，对称 2yx关于点 n，对称后，得到的解析式是2yxmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一元二次方程 20axbc
11、是二次函数2yabc当函数值 0y时的特殊情况.图象与 轴的交点个数： 当 24时，图象与 x轴交于两点 12AxB， ， ， 12()x，其中的12x，是一元二次方程 20xc的两根这两点间的距离21baAB. 当 0时，图象与 x轴只有一个交点； 当 时，图象与 轴没有交点.1当 a时，图象落在 轴的上方，无论 x为任何实数，都有 0y；2当 时，图象落在 x轴的下方，无论 为任何实数，都有 2. 抛物线2yxbc的图象与 y轴一定相交，交点坐标为 (0， )c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbc中 a， b， c的符号，或由二次函数中 a，b， c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
