1、1球的有关内接问题一、还原为正方体、长方体、正四面体1、已知四棱锥 SABCD的底面是边长为 2的正方形， SDABCSDAB平 面 ， 且 ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. 9 B. 43 C. 1 D. 02、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 3,21，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）A. 4 B. 18 C. 0 D. 63、四棱锥 PABCD的底面 为正方形， PA底面 BCD， 2A，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 24316同一球面上，则 （ ）A3 B 7 C D 924、三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5
2、、中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑, PA平面,2,4ABCPAC,三棱锥 的四个顶点都在球 O的球面上, 则球 O的表面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0 D. 246、在正三棱锥 SB中， M是 SC的中点，且 AMSB，底面边长 2A，则正三棱锥 AC的体积为_，其外接球的表面积为_7、四面体 ABCD的棱长 AB=CD=6，其余棱长均为 34，则该四面体外接球半径为（ ）A 65 B 125 C. 1 D 218、已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 5,34.（1）求该四面体的
3、体积；（2）求该四面体外接球的表面积.二、借肋球的有关几何性质解题一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，1、已知三棱柱 1ABC的六个顶点都在球 O的球面上，且侧棱 1A平面 BC，若3， 23， 18A，则球的表面积为( )A
4、. 6 B. 4 C. 0 D. 042、三棱锥 SABC中，侧棱 SA底面 BC， 5A， 8BC， 60， 5，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 643 B. 263 C. 436 D. 20483723、在三棱锥 中 则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4、如图，正四棱锥 SABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_5、如图是棱长为 4的正方体，点 B为棱的中点，若三棱锥 DABC的四个顶点都在球 O表面上，则球 的表面积是（ ）A. 36 B. 8 C. 56 D. 46、已知球 O，过其球面上 A，B，C
5、 三点作截面，若点 O到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120，则球 O的表面积为( )A. B. C. 4 D. 7、已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( )A. B. C. D.26 36 23 228、已知球的半径为 5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 3，若其中一个圆的半径为 23，则另一个圆的半径为（ ）A. 3 B. 4 C. 10 D. 1三、有关最值问题1、已知 ,AB是球 O的球面上两点， 21AOBSR， C为该球面上的动点，若三棱锥
6、C体积的最大值为 36，则球 的半径为( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 162、如图，已知正三角形 C的三个顶点都在表面积为 4的球面上，球心 到平面 AB的距离为 2，点 E是线段 AB的中点，过点 E作球O的截面，则截面面积的最小值是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 93、已知在三棱锥 PABC中， ,PABC两两垂直， 1PA， M是线段 上一动点，若直线 M与平面 所成角的正切的最大值是 62，则三棱锥 的外接球表面积是( )A. 8 B. 1 C. D. 44、直角梯形 ABCD，满足 ,22ACDBACD,现将其沿 AC折叠成三棱锥 ，当三棱锥 体积取最大值时其
7、外接球的体积为（ ）A. 3 B. 43 C. 3 D. 435、已知三棱锥 ABCD内接于半径为 5的球 O中， 4ABCD，则三棱锥 ABCD的体积的最大值为 。一、还原为正方体、长方体、正四面体1 C. 2、D. 3、B4、 【解析】由题意得： 两两相互垂直，以 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥 的外接球，半径为 ，表面积为 ，选 B5、 【解析】由题意得 PC为球 O的直径,而 245PC,即球O的半径 5R;所以球 的表面积 40SR.本题选择 C选项.6、 【解析】因为 M是 S的中点，且 AMB，所以 SAC,因此正三棱锥 AB为正四面体，其体积为 323128341aa，
8、外接球直径为2，表面积为241.7、 【答案】C8、解析：（1） 四面体的三组对边分别相等， 四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为 ,abc，则22534 1abc，解得43 5abc，四面体的体积 14063V.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长225abc， 外接球的半径为 52r， 外接球的表面积为 2450Sr二、借肋球的有关几何性质解题1、 【解析】在 ABC中，由余弦定理可得 3BC ABC外接圆半径32sinr球 O的半径2285410RS，故选 C。2、 【解析】由题，侧棱 S底面 A， ， ， 6，则根据
9、余弦定理可得 215872BC ， BC的外接圆圆心 72sin32Brr 三棱锥的外接球的球心到面 ABC的距离 5,dSA 则外接球的半径22764533R，则该三棱锥的外接球的表面积为 25643SR 3、 【解析】因为 ，由勾股定理可得 ，故平面 .由于有一条棱垂直于底面，所以该三棱锥可以补成一个直三棱柱 ，则直三棱柱的外界球的球心正好是直三棱柱的中截面的外接圆圆心，而该直三棱柱的中截面是三边长为 1，1， 的三角形，其外接圆半径 .又棱柱的高为 ，所以三棱锥的外接球半径为 ，所以外接球表面积 ，故选 D.4、 【解析】如图，过 S作 SO1平面 ABCD，由已知 112OCA=1.在
10、RtSO 1C中， SC 2 ， S， O1SO 1AO 1BO 1CO 1D，故 O1是过 S，A，B，C，D 点的球的球心， 球的半径为 r1， 球的体积为 34r.5、根据三视图知几何体是：三棱锥 D？ABC 为棱长为 4的正方体一部分，直观图如图所示：该多面体的所有顶点都在球 O，由正方体的性质得，球心 O到平面 ABC的距离 d=2，4由正方体的性质可得， 245,42ABDAC，设ABC 的外接圆的半径为 r，在ABC 中，由余弦定理得，22302CcosA 45B,则 sinAB，由正弦定理可得, 25210ABrsinC,则r= 10，即球 O的半径 214Rrd，球 O的表面
11、积 2456SR，故选：C.6、 【解析】如图,设球的半径为 r,O是ABC 的外心，外接圆半径为 R，则 OO面 ABC.AB=BC=2,B=120，在 RtOOB 中,则sinOBO= .在ABC 中,由正弦定理得 ,R=2,即 OB=2.在 RtOBO中,由题意得 ,得 .球的表面积.本题选择 A选项.7、 【答案】A8、 【解析】如图所示：设两圆的圆心分别为 12,O，球心为 ，公共弦为 AB，其中 点为 E，则 12E为矩形，于是 213E， 132AB， 34A，圆 O2的半径为 4故选 B.三、有关最值问题1、 【解析】由 ,B是球 的球面上两点， 21AOBSR可知，OAOB如
12、图所示，当点 C位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O的半径为 R，此时 VOABC =VCAOB = 213R=36，故 R=6，故选 A2、 【解析】设正ABC 的中心为 O1，连结 O1AO 1是正ABC 的中心，A、B、C 三点都在球面上，O 1O平面 ABC，球的半径 R=4，球心 O到平面 ABC的距离为 2得 O1O=2，RtO 1OA中，O 1A= 243 ，又E 为 AB的中点，ABC 是等边三角形，AE=AO 1cos30=3过 E作球 O的截面，当截面与 OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OE垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的
13、半径 r=3，可得截面面积为 S=r 2= 9故选 D3、 【解析】M 是线段 BC上一动点，连接 PM，PA、PB、PC 互相垂直，AMP 就是直线 AM与平面 PBC所成角，当 PM最短时，即 PMBC 时直线 AM与平面 PBC所成角的正切的最大。此时 62,3APM，在 RtPBC 中, 1223BCPCPC.三棱锥 P？ABC 扩充为长方体,则长方体的对角线长为 ，三棱锥 P？ABC 的外接球的半径为 R=1，三棱锥 P？ABC 的外接球的表面积为 24R.本题选择 D选项.4、 【解析】由于 ABC确定，所以当 DACB面 面 时，三棱锥 体积取最大值，此时由于 ,所以 ,ADC面 因此 ,BA而CD，从而 面 ，即 ，因此 中点到 A,B,D三点距离相等，又,A所以 B中点到 A,B,C三点距离相等，从而 B中点到 A,B,C,D四点距离相等，即为外接球的直径，所以外接球的体积为34.2A（ ）选 B.5、 【答案】 163
