1、1三角恒等变换专题复习教学目标：1、能 利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式；,22、理解同角三角函数的基本关系式： ；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系： 倒数关系 tan cot =1 商数关系 = tan ； = cotsincocosin 平方关系 22sincos1温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。来源:学 +科+网 （2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号。二、
2、诱导公式口诀： 奇变偶不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成 的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面,2kz的角是 90 度的奇数倍，就是 “奇”，是 90 度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把 看作是锐角，判断角 在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面） 。2k用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间 的角，再变到区间0(,36)的角，再变到区间 的角计算。0(,18)0(,9)三、和角与差角公式 ：;sin()sicosin;cotanta1t变 用 = ( )(1 )tan四、二倍角公式：= .sin2sico.22
3、22concs1sitata12五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式 推导出来。cos()csosin六、注意公式的顺用、逆用、 变用。如：逆用 sincsinsi()1sicosin2变用 2o122c1i224七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。BxAy)sin(，其中 2sincossinAAtanA八、万能公式2tan1si2tan1cos2tan1ta九、用 ， 表示istainco12tan十、积化和差与和差化积积化和差 ；)sin()si(cosi ；n；)cos()cs(cs.oi 和差化积 2cssin2sn
4、iicoscos2ini2十一、方法总结31、三角恒等变换方法观察（角、名、式）三变（变角、变名、变式）（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如 =(+)=()+ , 2=(+)+ () , 2=(+)() ,+=2 , = ( )( ) 等.+2 +2 2 2（2） “变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦 ） ，sincostatcoin（3） “变式指的是利用 升幂公式 和 降幂公式 升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁
5、到简.左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.比较法, 即设法证明: “左边右边=0“ 或“ =1“;左右分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例 1 已知 为第四象限角，化简： cos1sini1cos解：（1）因为 为第四象限角所以原式= 22cos)(sini1)(cos sinco1iicoin 例 2 已知 ，化简36072cos2解： ，00s,co所以原式= 21s1co221coscos例 3 tan20+4sin20解：tan20+4sin
6、20= 0cos4ini=000sin(64)2icos0003sin43cos22c4例 4 （05 天津）已知 727sin(),cos4105，求 sin及 ta()3解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cs(i2)4sin(1027，即 csin由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(co57)si)(osi(osincos2522 故 51inco 由和式得 3n， 4因此， 43ta，由两角和的正切公式 1325483431tan1)3tn( 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 2sin2cos57，解得 259sin，即 3sin 由 107)4in(可得
7、57cosi由于 0co7i，且 57sico，故 在第二象限于是 3in，从而 54sin 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含 ）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形例 5 已知 ,ABC为锐角 的三个内角，两向量 (2sin,cosi)pA，(sinco,qA1sin)，若 p与 q是共线向量. （1）求 的大小；（2）求函数 23ico()y取最大值时， B的大小.解：（1） 2/ 1+- pqsinAisinAco2 20 0cosAc102，0 =6（
8、2） 00 B+C12 2013y=sinB+co(62)cosB+2sinB531 =sin2Bcos+=in(2B)16， 2B63当 时 ， 即 =小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例 6 设关于 x 的方程 sinx 3cosx a0 在(0, 2 )内有相异二解 、 .(1)求 的取值范围; (2)求 tan( )的值. 解: (1) sinx 3cosx2( 21sinx cosx)2 sin(x 3), 方程化为 sin(x 3) 2a.方程 sinx cosx a0 在(0, 2 )内有相异二解, sin(x ) sin 2 . 又 sin(x 3)1 (当
9、等于 3和1 时仅有一解), | 2a|1 . 且 a 3. 即| a|2 且 a 3. a 的取值范围是(2, )( , 2). (2) 、 是方程的相异解, sin 3cos a0 . sin 3cos a0 . 得( sin sin ) 3( cos cos )0. 2 sin cos 22 sin sin 20, 又 sin 20, tan 3. tan( ) tan2 3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2 )这一条件.例 7 已知函数 xmfcosin在区间 2,0上单调递减，试求实数 m的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间 ,上恒成立的不
10、等式任取 21,x,0，且 21x，则不等式 21xff恒成立，即 1cosin2x2cosinx恒成立化简得 2112sincosxm由 021x可知： 012x，所以 12cosinxm上式恒成立的条件为： 上 的 最 小 值，在 区 间 cosin12.6由于 2sinco2sinsi2co4cosin2 1212121 xxxx 2sinco2sin112xx 2tant1x且当 021时， 4,01，所以 1ta,021x,从而 0tnt2tanttan 21121 xx ,有 2tant212x, 故 m的取值范围为 2,(.【基础精练】1已知 是锐角，且 sin ，则 sin 的
11、值等于 ( )(2 ) 34 (2 )A. B C. D24 24 144 1442若2 ，则 的值是( )32 1 cos( )2Asin Bcos Csin Dcos2 2 2 23. 等于 ( )sin(180 2)1 cos2 cos2cos(90 )A.sin B.cos C.sin D.cos4.已知角 在第一象限且 cos ，则 等于 ( )35 1 2cos(2 f(,4)sin( f(,2)A. B. C. D. 25 75 145 255.定义运算 adbc.若 cos ， ， 0 ，则 等于( )|a b c d| 17 |sin sin cos cos| 3314 27
12、A. B. C. D. 12 6 4 36.已知 tan 和 tan( )是方程 ax2bxc0 的两个根，则 a、b、c 的关系是 ( )4A.bac B.2ba c C.cba D.cab7.设 a (sin56cos56)，bcos50cos128cos40cos38 ，c ，d (cos802cos 25022 1 tan240301 tan24030 121)，则 a，b，c，d 的大小关系为 ( )A.abdc B.ba dc C.dabc D.cadb8函数 y sin2xsin 2x，xR 的值域是( )12A. B. 12，32 32，12C. D. 22 12，22 12
13、22 12，22 129.若锐角 、 满足(1 tan)(1 tan)4，则 .3 310.设 是第二象限的角，tan ，且 sin cos ，则 cos .43 2 2 211.已知 sin( x)= ，0x ，求 的值。4154)cos(x12.若 ， ，求 +2。),0(,31tan,507cos【拓展提高】1、设函数 f(x)sin( ) 2cos2 1x4 6 x8(1)求 f(x)的最小正周期.(2)若函数 yg(x)与 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，求当 x0 ， 时 yg(x)的最大值 4382.已知向量 a(cos ，sin)，b(cos ，sin)，|ab| 255
14、(1)求 cos()的值；(2)若 0 ， 0，且 sin ，求 sin.2 2 5133、求证： 2cos（+）= .sin2）（ sin【基础精练参考答案】4C【解析】原式1 2(cos2cosf(,4) sin2sinf(,4)cos 2(cossin)2( ) .1 cos2 sin2cos 2cos2 2sincoscos 35 45 1455.D【解析】依题设得：sincoscossinsin () .33140 ，cos() . 又cos ，sin .2 1314 17 437sinsin()sincos()cossin() ， .437 1314 173314 32 396.C
15、【解析】tan()4,bactan tan( ) 1，4 4 ba1 ca 1 ，ba c ， cab.ba ca7.B【解析】a sin(5645)sin11，bsin40cos52cos40sin52sin(52 40)sin12，c cos81sin9，d (2cos2402sin 240)cos80 sin101 tan240301 tan24030 12badc.8.C【解析】y sin2xsin 2x sin2x cos2x sin ，故选择 C.12 12 12 12 22 (2x 4) 129. 【 解析 】由 (1 tan)(1 tan)4， 可得 ，即 tan() .3 3
16、 3 tan tan1 tantan 3 3又 (0 ，)， .310. 解析： 是第二象限的角， 可能在第一或第三象限，又 sin cos ， 为第三象限的55 2 2 2 2角， cos 0.tan ，cos ，cos .2 43 35 2 1 cos2 5512.【解析 】 ， ),0(,507cos),03(71tan),03(1tan ，+2 ,又 tan2= ,),65(, )325( 4t2,来源:Zxxk.Com+2=1tan1t)2tan( 1【拓展提高参考答案】1、 【解析】 (1)f(x)sin cos cos sin cos x sin x cos xx4 6 x4 6
17、 4 32 4 32 410 sin( x )，故 f(x)的最小正周期为 T 834 3 24(2)法一：在 yg (x)的图象上任取一点 (x，g(x)，它关于 x 1 的对称点(2x，g(x).由题设条件，点(2x ，g(x)在 yf(x)的图象上，从而 g(x)f(2 x) sin (2 x) 34 3 sin x cos( x )，32 4 3 3 4 3当 0x 时， x ，因此 yg(x)在区间0， 上的最大值为 g(x)max cos .43 34 323 43 3 3 32法二：因区间0， 关于 x1 的对称区间为 ，2 ，且 yg(x) 与 yf(x) 的图象关于 x1 对
18、称，故43 23yg(x)在0 ， 上的最大值为 yf(x)在 ，2上的最大值，由(1) 知 f(x) sin( x )，43 23 3 4 3当 x2 时， x ，因此 yg(x)在0， 上的最大值为 g(x)max sin .23 6 4 3 6 43 3 6 322、 【解析】(1)a(cos ，sin) ，b(cos ，sin)， ab(coscos ，sinsin).|a b| ， ， 即 22cos() ，cos( ) .255 (cos cos)2 (sin sin)2 255 45 35(2)0 ， 0，0，cos( ) ， sin() sin ，cos ，2 2 35 45 513 1213sin sin( )sin( )coscos()sin ( )451213 35 513 3365
