1、株洲市十七中 20042005 学年下学期期中考试高二数学试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第 I 卷 (选择题，共 50 分)常用公式：球的表面积 ，球的体积 （ ）24RS34RV为 球 的 半 径一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 ,点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点,则四个a数量积: (1) ,(2) ,(3) ,(4) ,结果为 的共有（ ）个ACB2BD2ACF2B22aA
2、1 B2 C3 D42. 在空间,下列命题正确的是 （ ）(1)若两直线 分别与直线 平行,则 ;ba,lba/(2)若直线 与平面 内的一条直线 平行,则/(3)若直线 与平面 内的两条直线 都垂直,则c(4)若平面 内的一条直线 垂直平面 ,则aA(1)(2)(4) B(1)(4) C(1)(3)(4) D(1)(2)(3)(4)3.过球面上两点的大圆的个数有( )A. 0 B. 1 C. 无数 D. 1 或无数4.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则 （ ） A.以下四个图形都是正确的 B.只有（2） （4）是正确的 C.只有（4
3、）是正确的 D.只有（1） （2）是正确的. . . . 5.在正方体 中，M、N 分别是棱 和 的中点，若 为直线 CM 与 所成的角，1DCBA1ABND1则 sin 等于（ ）A. B. C. D. 91327529546.已知直线 和平面 ,则 的一个必要不充分条件是 ( )ml,l/A. B. C . D. /ml,/ 成 等 角与， l7.在斜三棱柱 中, ,过 作 ,1BACAB1091CHABCH垂 足 为平 面 ,则 ( ) A B、 C、 D、上在 直 线H上在 直 线H上在 直 线 内在8. 地球上 A、B 两地都在北纬 45 圈上,且 A、B 两地经度相差 90,若地球
4、半径为 ,R则 A、B 两地的球面距离为 （ ）A B、 C、 D、R36R2R29.在 类 似 有 命 题 ：射 影 定 理是 垂 足 ， 则中 ， ),(, BCAAC在三棱锥 内 ， 则 有在为 垂 足 ， 且平 面平 面中 ， DOOBD ,( )上 述 命 题 是,2BCODABCSSA真命题 B假命题 C增加 的 条 件 才 是 真 命 题“D增加 的 条 件 才 是 真 命 题是 正 三 棱 锥三 棱 锥 “BCA10.用一张钢板制作一个容积为 的无盖长方体水箱。可用的长方体钢板有四种不同的规格（长 宽的34m 尺寸如选项所示，单位均为 ）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的
5、规格是( )A B C D525.21.6253第 II 卷：非选择题部分（共 100 分）二、填空题：(本小题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)11.以 2、3、3、4、5、5、为棱长的四面体的体积可以是 _(只需写出其中的一个)12. 如图，在透明材料制成的长方体容器 ABCD 1DCBA内灌注一些水，固定容器底面一边 BC 于桌面上，再将容器倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形 EFGH 的面积不会改变；（3）棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值，其中所有正确命题的序号是 13
6、.在 |,|,PByAxPCBAPR ， 令、引 球 的 两 两 垂 直 的 弦的 球 面 上 一 点_.的 最 大 值 是则 zyxPCz|,14.我们知道在平面中，过平面内一点可作三条射线，使得这三条射线两两的夹角相等，其夹角为 012那么过空间内一点可作_条射线使得它们之间的夹角两两相等，其夹角为_度15设有四个条件：平面 与平面 、 所成的锐二面角相等；直线 ab，a平面 ，b平面 ；a、b 是异面直线，a ，b ，且 a ，b ；平面 内距离为 d 的两条直线在平面 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线.其中能推出 的条件有_.(填写所有正确条件的代号)D1B1A1D B A FEC
7、C D1 1BGHPEDCBA株洲市十七中 20042005 学年下学期期中考试数学试卷答题卷姓名_ 班级_ 学号_ 分数_一、选择题 (每小题 5 分，共 6 0 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分)11. 12. 13. 14. _ _ 15._三、解答题：（本大题 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）16 （本小题满分 12 分）在四棱锥 P-ABCD 中，PBC 为正三角形，AB平面 PBC，ABCD，AB= DC， .21中 点为 PDEBC,3（1）求证：AE平面 PBC；（2）求证：AE
8、平面 PDC；（3）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小。17. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD， ，E 是 PCABCDP PDDCP的中点，作 交 PB 于点 F。EF（I）证明 平面 ；(II)证明 平面 EFD；(III)求二面角 的大小。 P-BCA BCDPEF18. （本题满分 12 分）如图，正方形 ACC1A1与等腰直角 ACB 所在的平面互相垂直，且 ACBC2， ACB90， E、 F、 G分别是 AB、 BC、 AA1的中点 在下列空间直角坐标系中, 用向量方法解答下列问题.（1）求线段 GF 的
9、长；（2）求异面直线 AC1与 GF 所成角的余弦值Z xyAA1CC1GEFB19 （本小题满分 12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a，点 M 在边 BC 上，AMC 1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求证：点 M 为边 BC 的中点； (2)求点 C 到平面 AMC1 的距离； (3)求二面角 MAC1C 的大小. 20.（本题满分 14 分）在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形,1CBAAB分别为 的中点，点 在 上，且 .EDaABC,3,2,90C1,F1AaF2(1) 求证： 平面 .F1(2) 求异面直线 和 所成的角.ABBAC1B1
10、A1DEFC21. （本小题满分 16 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CD PD.底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC ，AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上，且 PE=2EA.（1）求异面直线 PA 与 CD 所成的角；（2）求证：PC平面 EBD；（3）求二面角 ABED 的大小 .（用反三角函数表示）.株洲市十七中 20042005 学年下学期期中考试高二数学试卷参考答案一：选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B B D D D B C A A C11、 12、 （1） （3） （4） 13. 14. 4 238 R3231arcos1
11、5 16.解：（1）取 PC 的中点为 F，连接 EF，则 EF为PDC 的中位线，即 EF 平行且等于 DC21又ABCD，AB 平行且等于 EF四边形 AEFB 为矩形AEBF，又BF 平面 PBCAE平面 PBC （2）PBC 为正三角形，F 为 PC 的中点，BFPC 又 EFPC，EF BF=F，PC平面 AEFB，AEPC；由（1）知 AEEF，EF PC=FAE平面 PDC. （3）延长 CB 交 DA 于 B ，连接 PB ，设 BC=a，AB= DC，21BB =BP=a，取 B P 的中点为 H，连接 AH，BH，则 BHB P，由三垂线定理知，AHB P，AHB 为平面
12、PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角.在 RtAHB 中，AB= ,3,2sin,23 AHBaA平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 . 317. 解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点。设 .DCa(I)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G。连结 EG。依题意得 (,0)(,)(0,)2aAaPE底面 ABCD 是正方形，是此正方形的中心，G故点 G 的坐标为 且(,)2 GA B CDP yxzEF(,0)(,0).2aPAaEG。这表明 。2E而 平面 EDB 且 平面 EDB， 平面 EDB。GPA(II)证明：依题意得 。又 故(,0)(,)Baa(0,
13、)2aDE2.PDE由已知 ，且 所以 平面 EFD。FB,PB(III)解：设点 F 的坐标为 则0(,),xyzF0(,)xyza从而 所以00,(1).za1(, ,(),().22FExya由条件 知， 即PB.,解得 。22211()()0,aa3点 F 的坐标为 且,3()(,).63EFD22. 0.3aPBD即 ，故 是二面角 的平面角。FCPB且22. ,9186aE2222| ,346| ,9aFDa2. 16cos .|.3aFED3所以，二面角 的大小为CPBD.318解：（1）易知 BCAC， BCCC1，. ACCB 2，则 A（0，2，0） ，C 1（0，0，2）
14、 ， G（0，2，1） ，E（1，1，0） ，F（1，0，0） （1，2，1） ，F | | .6（2） （1，2，1） ，（0，2，2） 1AC 2 ，又 GF110（2）（2）（1）22 cos ， 1AC1236|ACGF19(1)证明：AMC 1 为以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，AMC 1M，且 AMC 1M，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面 ABC.C 1M 在底面内的射影为 CM，AMCM.底面 ABC 为边长为 a 的正三角形，点 M 为 BC 边的中点.(2)解：过点 C 作 CHMC 1 于 H.由(1)知 AMC 1M 且 AMCM，AM平面 C1CM.CH 在平面 C1CM 内，CHAM，CH平面 C1AM.由(1)知，AMC 1M a，CM a 且 CC1BC.23xyzAA1CC1GEFB
