1、1第1章 质点运动学 P211.8 一质点在 平面上运动，运动方程为： =3 +5, = 2+3 -4.xOyxty1t式中 以 s计， , 以m计。 以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示t t式；求出 =1 s 时刻和 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；t计算 0 s时刻到 4s时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计算 4 s 时质点的速度；(5)计算 0s 到 4s 内质点的平均加速度；t tt(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 4s 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。解：（1） jtit
2、r)4321()53(m s, s 时， ；tr.081214rij 2.5 s 时， ； s 时，0t054rijt476rij 11035msjijt v ，则： 1d3()sritjt47ijv1(5) s 时， ； s 时，00vt32401 mjat (6) 这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。2d1 msjty1.9 质点沿 轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a的单位为x 26xm/s2，x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。解：由 得：ddxattvv2d(6)daxx两边积分 得：2100(6)2350 3125 msxv1.11 一
3、质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 ，式中 以3t弧度计， 以秒计，求： 2 s时，质点的切向和法向加速度；当加速tt度的方向和半径成45角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2 时， st 2sm36Ra229)(n 当加速度方向与半径成 角时，有：45tan451n即： ，亦即 ，解得：2t18)9(23则角位移为： 3.67rd1.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s2，求 2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切t向加速度和合加速度。解： 时， s2t 4.01srad则 0.4.16Rv1sm)(
4、2an 2.082222 s0.).(n与切向夹角 arct6483n23第2章 质点动力学2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 ( 为常数) 作用，kv=0时质点的速度为 ，证明： 时刻的速度为 ； 由0到t0vt0=tme的时间内经过的距离为 ( )1- ；停止运动前经过的距x0mktmke)(离为 ；当 时速度减至 的 ，式中m 为质点的质量。0()mkvt0v1解： ，faf 由 得： dtdkttv分离变量得： ，即 ，m0dtv因此有： ， 0lnlktevkmte 由 得： ，两边积分得：dxt0dkttv00dkmxttev 0(1)kmte 质点停止运动时速
5、度为零， ，即 t，0kmte故有： 0dkmtxv 时，其速度为： ，t100kmvev即速度减至 的 .01e2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为 N，式中 的单位是(2)Ftits， 求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。 为了使这力的冲量为200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 m/s的物体,回答这两个问题。j6解： 若物体原来静止，则,沿 轴正向，ititFp 10401 smkg5d)21(d x1 11 15.6ms 56kgmspiIpi ；v若物体原来具有 初速，则10000 ,(d)dt tpmFtFv于
6、是： , 同理有： ,tpp122112I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量 )就一定相同，这就是动量定理。 同上理，两种情况中的作用时间相同，即：t ttI0210d)2(亦即： ， 解得 ，( 舍去)s10ts2t2.17 设 。 当一质点从原点运动到N67jiF合时，求 所作的功。 如果质点到 处时需0.6s，m43kjirFr试求平均功率。 如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。解： 由题知， 为恒力，且合 0r (76)(3416)245JArijijk合 w5.04tP 由动能定理， JAEk2.20
7、 一根劲度系数为 的轻弹簧 的下端，挂一根劲度系数1为 的轻弹簧 ， 的下端又挂一重物 ， 的质量为 ，2kBCM如图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。解： 弹簧 及重物 受力如题 2.20 图所示平衡时，有：A、，MgFBA又 ，1xk2xkB所以静止时两弹簧伸长量之比为： 121k弹性势能之比为： 22pE45第3章 刚体力学基础3.7 一质量为 的质点位于( )处，速度为 , 质点m1,yxxyijv受到一个沿 负方向的力 的作用，求相对于坐标原点的角动量以xf及作用于质点上的力的力矩。解： 由题知，质点的位矢为： jir1作用在质点上的力为： f所以，质点对原点的角动
8、量为： 01 11()()()xyyxLrmxiyjijxmkvvv作用在质点上的力的力矩为： fyifjifrM10 (3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为8.7510 10m 时的速率是 5.4610 4m/s，它离太阳最远时的速率是1r19.0810 2 m/s,这时它离太阳的距离 是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。2v2r)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有： 12rmv1041212 28.75.65.0m9rv3.9 物体质量为3kg， =0时位于 , (m/
9、s)，如一恒力tm4ijv作用在物体上,求3秒后， 物体动量的变化； 相对 轴角动N5jf z量的变化。解： 301skg15djtjtfp 解法(一) 由 得：53 Nafj0347xttv222163.yta j即有： ,ir1ji5.；0xv01yv即有： ,216ijv21ij 43()72Lrmk225.(1)54.ijijk 1sg8k解法(二) ， dLMt 2003 10d(d5(4)6)d358.kgmsttMrfttijtk3.10 平板中央开一小孔，质量为 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂m一质量为 的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为 时重物达到平衡。1 0r今在 的
10、下方再挂一质量为 的物体，如题23.10图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径 为多少?r解：只挂重物 时，小球作圆周运动，向心力1M为 ，即： g120mr挂上 后，则有： 2 21)(rg重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。即： 0rv202r联立 、 、 得： ，10gm21301()Mgr12132()r 3.11 飞轮的质量 60kg，半径 0.25m ，绕其水平中心轴 转动，转RO速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 ，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11F图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可
11、按匀质圆盘计算。试求：6 设 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动 ?在这段时间里飞轮转F了几转? 如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 ?F解： 先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)。图中 、 是正压力，N、 是摩擦力， 和 是杆rxyF在 点转轴处所受支承力， 是轮AR的重力， 是轮在 轴处所受支承PO力。杆处于静止状态，所以对 点的合A力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有：，121()0FlNl对飞轮，按转动定律有 ，式中负号表示 与角速度 方向相反。rFRI ， NFr FlNr12又 ， 21ImR2()FImR以 等代入上式，得：0 2srad340150.26)7(4.
12、 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为： s6.4390t这段时间内飞轮的角位移为： 2 201091409 ()53.1rad623tt可知在这段时间里，飞轮转了 转。.5 ，要求飞轮转速在 内减少一半，可知10srad6292ts0015radtt用上面式所示的关系，可求出所需的制动力为： 126.17()04(50.)2mRlF N3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m 1=50kg，m 2=200 kg，M =15 kg，r=0.1 m解：分别以 m1、
13、m 2 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 m1、m 2 运用牛顿定律，有： ；aTg2a1对滑轮运用转动定律，有： 又 )(21rrr由以上 4 个方程解得： 22109.87.6 s51gamM题 3.13(a)图 题 3.13(b)图3.14 如题3.14图所示，一匀质细杆质量为 ，长为 ，可绕过一端 的水mlO平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。求： 初始时刻的角加速度； 杆转过 角时的角速度.解： 由转动定律有： ，21()3gll7 lg23 由机械能守恒定律有： 2)31(sin2mllglgsin33.15 如题3.15图所示，质量为 ，长为 的均匀直M棒，可绕垂直于
14、棒一端的水平轴 无摩擦地转动，O它原来静止在平衡位置上。现有一质量为 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处。设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 的值；0v相撞时小球受到多大的冲量?解： 设小球的初速度为 ，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小0 球的速度变为 ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量v守恒定律和机械能守恒定律，可列式： 0mlIl22211vv上两式中 ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰23IMl撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度 ，按机械能守恒定律可列式：o30)cs1(212lMgI由式得：21
15、)cos( lIgl由式得： 由式得： 0mlv220Imv所以： 220()IIl求得： 26(23)11()31gllMM相碰时小球受到的冲量为： 0d()Ftmv由式求得： 0 6(23)1d3glIt MlMlv负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。3.17 一质量为 、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可m绕轴自由转动。另一质量为 的子弹以速度 射入轮缘(如题3.17图所示方00v向)。开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?用 , 和 表示系统(包括轮和质点 )最后0动能和初始动能之比。解： 射入的过程对 轴的角动量守恒：O200)(sinRmvR si 022
16、00 20sin1()()sikEmv3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N/m；定滑轮的转动惯量是0.5kgm 2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下 0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长。解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有： 2211mghIkhv又 ，/Rv故有：2 221()(6.098.40.).335 .0skI89第5章 机械振动5.7 质量为 的小球与轻弹簧组成的系统，按kg103的规律作谐振动，求：.cos
17、(82) (SIxt 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? 与 两个时刻的位相差；52t1t解：设谐振动的标准方程为 ，则知：)cos(0tAx3/2,412,8,m.0TA又 ，mv1s5.s .6Aam2s ，.63NmFaJ10.322vE58kp当 时，有 ，即：pkE )(122Ax m20Ax 32)15(8)(1t5.8 一个沿 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 ，周期为 ，其振动xAT方程用余弦函数表示。如果 时质点的状态分别是：0t ； 过平衡位置向正向运动；A0过 处向负向运动； 过 处向正
18、向运动。2x2x试求出相应的初位相，并写出振动方程。解：因为 00cosinxAv将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有： ， )2cos(1 tTx323A， )cs(3tx452o45T5.9 一质量为 的物体作谐振动，振幅为 ，周期为 ，kg103cm24s0.4当 时位移为 。求：tcm 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；s5.0由起始位置运动到 处所需的最短时间；2x在 处物体的总能量。12x解：由题已知 ， s0.4,14TA -120.5 radsT又， 时，0t 故振动方程为： m)5.cos(22tx 将 代入得：s5.t 0.17.1
19、0425.0 t23 3()42NFmax 方向指向坐标原点，即沿 轴负向。 由题知， 时， ； 时，0tt0,0,txA且 故v10 s32/t 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为： 223224110()0.4)7.10JEkAm5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 的物体时，伸长为 。用这g. cm9个弹簧和一个质量为 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉g.8开 后，给予向上的初速度 ，求振动周期和振动表达式。c0.105.cm/sv解：由题知 1231 N.9.48xmk而 时， ( 设向上为正)0t -120s.5,. v又 3.2 ,.681k
20、Tm即 222 205.01 ()(.)()10mvAx 20 05.1tan ,4即 m)4cos(2tx5.11 题5.11图为两个谐振动的 曲线，试分别写出其谐振动方程。tx 解：由题5.11图(a)， 时，0t00 , ,32 ,10cm ,2sx AT又v即： ，故 1srad2T)3o(.txa由题5.11图(b) 时，t005,2v时，01t05,23Ax又 ， 356故 mtxb)6cos(.5.12 一轻弹簧的倔强系数为 ，其下端悬有一质量为 的盘子。现有一kM质量为 的物体从离盘底 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于h是盘子开始振动。 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? 此时的振动振幅多大? 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程。解： 空盘的振动周期为 ，落下重物后振动周期为 ，kM2kmM2即增大。
