1、竖直平面内的圆周运动和能量综合题1、如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球线长为 L小车以速度 V0做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时小球上升的高度的可能值是 ( )A. 等于 B. 小于 C. 大于 D 等于 2L20vg20vg20vg2、长为 L 的轻绳的一端固定在 O 点，另一端拴一个质量为 m 的小球，先令小球以 O 为圆心，在竖直平面内做圆周运动，小球能通过最高点，如图则（ ） A小球通过最高点时速度可能为零B小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零C小球通过最低点时速度大小可能等于 gL2D小球通过最低点时所受轻绳的拉力一定不小于 6mg3、如图所示，O 点离地
2、面高度为 H，以 O 点为圆心，制作一半径为 R 的四分之一光滑圆弧轨道，小球从与 O 点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：小球落地点到 O 点的水平距离 S；要使这一距离最大，R 应满足什么条件？最大距离为多少？（1）s=（2）R= 时， s 最大，最大水平距离为 smax=H解析:（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度 v0.根据机械能守恒定律得 mgR=设水平距离为 s，根据平抛运动规律可得 s= .L（2）因 H 为定值，则当 R=H-R，即 R= 时，s 最大，最大水平距离为 smax= =H4、 （
3、10 分）如图 7 所示，质量 m=2kg 的小球，从距地面 h=3.5m 处的光滑斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径 R=1 m 的光滑圆轨道，如图所示，试求：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；（2）小球应从多高范围内由静止滑下才能使小球不脱离圆环。 （ ） （1）40N （2）h2.5m 或 h1m2/0smg5.如图 6 所示， 和 为两个对称斜面，其上部足够长，下部分分别与一个光滑的圆ABCD弧面的两端相切，圆弧圆心角为 120，半径 2.0，一个质量为R1的物体在离弧高度为 3.0处，以初速度 4.0沿斜面运h动，若物体与两斜面间的动摩擦因数 0.2，重力加速度 10 2
4、，g则（1）物体在斜面上（不包括圆弧部分）走过路程的最大值为多少？（2）试描述物体最终的运动情况（3）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为多少？5、解：（1）物体在两斜面上来回运动时，克服摩擦力所做的功 -（1max60cosSgWf 分）物体从开始直到不再在斜面上运动的过程中 -（2 分）201vmghf解得 -（3 分）38maxS(2)物体最终是在 、 之间的圆弧上来回做变速圆周运动，-（4 分）BC且在 、 点时速度为零。-（5 分）（3）物体第一次通过圆弧最低点时，圆弧所受压力最大由动能定理得-（7 分）202160sinco)60cos1( mvhmgRhmg 图 6图 7由
5、牛顿第二定律得 -（8 分）RvmgN21ax解得 N-（9 分）5.4max物体最终在圆弧上运动时，圆弧所受压力最小由动能定理得-（10 分）21)60cos1(vgR由牛顿第二定律得 -（11 分）RmgN2in解得 N-（12 分）20min6.如图所示，水平轨道 AB 与位于竖直平面内半径为 R 的半圆形光滑轨道 BCD 相连，半圆形轨道的 BD 连线与 AB 垂直。质量为 m 的小滑块（可视为质点）在恒定外力作用下从水平轨道上的 A 点由静止开始向左运动，到达水平轨道的末端 B 点时撤去外力，小滑块继续沿半圆形光滑轨道运动，且恰好通过轨道最高点 D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到 A
6、点。已知重力加速度为 g。求：（1）滑块通过 D 点的速度大小；（2）滑块经过 B 点进入圆形轨道时对轨道的压力大小；（3）滑块在 AB 段运动过程中的加速度大小。 6、解：（1）设滑块恰好通过最高点 D 的速度为 vD，根据牛顿第二定律有mg=mvD2/R 解得：v D= g（2）滑块自 B 点到 D 点的过程机械能守恒，设滑块在 B 点的速度为 vB，则有mvB2= mvD2+mg2R，解得：v B2=5gR 1设滑块经过 B 点进入圆形轨道时所受的支持力为 NB，根据牛顿第二定律有NB-mg=mvB2/R 解得 NB=6mg 由牛顿第三定律可知，滑块经过 B 点时对轨道的压力大小 NB=
7、6mg （3）对于滑块自 D 点平抛到 A 点，设其运动时间为 t，则有 2R= gt2，s AB=vDt。可解得 sAB=2R 1设滑块由 A 点到 B 点的过程中加速度为 a，则有 vB2=2asAB 解得：a=5g4 DABOC25、如图所示，半径 R = 0.4m 的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于 A 点，质量为 m = 1kg 的小物体（可视为质点）在水平拉力 F 的作用下，从 C 点运动到 A 点，物体从 A点进入半圆轨道的同时撤去外力 F，物体沿半圆轨道通过最高点 B 后作平抛运动，正好落在 C 点，已知 AC = 2m，F = 15N，g 取 10m/s2，试求：（1）物体在
8、 B 点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力（2）物体从 C 到 A 的过程中，摩擦力做的功7、 （20 分）如 25 题图所示，竖直平面内的轨道 ABCD 由水平轨道 AB 与光滑的四分之一圆弧滑道 CD 组成，AB 恰与圆弧 CD 在 C 点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为 m的小物块（可视为质点）从轨道的 A 端以初动能 E 冲上水平轨道 AB，沿着轨道运动，由DC 弧滑下后停在水平轨道 AB 的中点。已知水平滑道 AB 长为 L，求：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数 。（2）为了保证小物块不从轨道的 D 端离开轨道，圆弧轨道的半径 R 至少是多大？（3）若圆弧轨道的半径 R 取第
9、（ 2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是 1.5R 处，试求小物块的初动能并分析小物块能否停在水平轨道上，如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？13、 （本题 20 分）解：(1) （6 分） ）（ ）（中 点 ， 则已 知 滑 块 停 在 2 32 10)5.(mgLEB（2） （6 分） 4 3gR (3)0）（得 ， 则设 轨 道 半 径 最 小 为 R（3） （8 分）25 题图(9) L41x 80)( xAB E32mgE (7) 21.5gR C 6 67 50. C CExEmLE点 距 离 为上 ， 设 到故 停
10、在 轨 道由 于 处 ：小 物 块 滑 回 ）（ ）（设 小 物 块 初 动 能 增 至8 （10分）如图所示，粗糙的水平面右端B处连接一个竖直的半径为R 的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在距离B点长为X的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C 处后又正好落回A点，质点和水平面间的动摩擦因数为。（1）求在上述运动过程中推力对小球所做的功。（2）x为多大时，完成上述运动过程所需的推力最小?最小的推力F为多大？8（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到 A 点 在水平方向： x=vCt （1 分） 竖直方向上：2R= gt2 （1 分） 1解得
11、 vC= （1 分）2xRg质点从 A 到 C 由动能定理 WFmgxmg 2R= mv （1 分） 21c解得 WF=mgx+mg 2R +mgx2/8R （1 分） （2） 由 WF=mgx+mg 2R +mgx2/8R 和 WF=F x 得： （2 分） mgxg8F 有最小值的条件是： = , 即 x=4R （2 分） xR16最小的推力 F=mg (+1) （1 分）26、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008” ，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多） ，底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可
12、视为质点）以 v=5m/s 的水平初速度由 a 点弹出，从 b 点进人轨道，依次经过“8002 ”后从 p 点水平抛出。小物体与地面ab 段间的动摩擦因数 =0.3 ，不计其它机械能损失。已知 ab 段长 L=1 . 5m，数字“0”的半径 R=0.2m，小物体质量 m=0 .0lkg ，g=10m/s 2 。求：( l ）小物体从 p 点抛出后的水平射程。 （s=0.8m） ( 2 ）小物体经过数字“0” 的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向（F=0.3N）25解析： (1)设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得 小物体自 P 点做平抛运动，设运动时间
13、为 t水平射程为 s，则 s=vt 联立式，代入数据解得 s=0.8m (2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为 F 取竖直向下为正方向 联立式，代入数据解得F=0.3N 方向竖直向下24(20 分）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内。左右两侧的斜直管道 PA 与 PB 的倾角、高度、粗糙程度完全相同，管口 A、B 两处均用很小的光滑小圆弧管连接（管口处切线竖直)，管口到底端的高度H1=0.4m。中间“8”字型光滑细管道的圆半径 R=10cm(圆半径比细管的内径大得多)，并与两斜直管道的底端平滑连接。一质量 m=0.5kg 的小滑块从管口 A
14、的正上方 H2处自由下落，第一次到达最低点 P 的速度大小为 10m/s.此后小滑块经“8”字型和 PB 管道运动到 B 处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复。小滑块视为质点，忽略小滑块进入管口时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，且取 g=10m/s2。求：(1) 滑块第一次由 A 滑到 P 的过程中，克服摩擦力做功；(2)滑块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力；(3)滑块第一次离开管口 B 后上升的高度；(4）滑块能冲出槽口的次数。18. 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内。左右两侧的斜直管道 PA 与 PB 的倾角、高度完全相同，粗糙程度均
15、匀且完全相同，管口A、B 两处均用很小的光滑小圆弧管连接（管口处切线竖直） ，管口到底端的高度H1=0.4m。中间“8”字型光滑细管道的圆半径 R=10cm（圆半径比细管的内径大得多） ，并与两斜直管道的底端平滑连接。一质量 m=0.5kg 的小滑块从管口 A 的正上方 H2=5m处自由下落，第一次到达最低点 P 的速度大小为 10m/s。此后小滑块经 “8”字型和PB 管道运动到 B 处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复。小滑块视为质点，忽略小滑块进入管口时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，g 取 10m/s2。（1）求滑块第一次由 A 滑到 P 的过程中，克服摩擦力做的功；（2）求滑
16、块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力；（3）求滑块能冲出两槽口的总次数；（4）若仅将“8”字型管道半径变到 30cm，能从 B 口出来几次？从 A、B 口出来的总次数是几次？18.（12 分）（1）滑块第一次滑到 P 的速度计为 V1，由 A 滑到 P 的过程中克服摩擦力做功计为W1- 2 分12121)(WHmgv代入数据得 W1=2J - 1 分（2）滑块第一次滑到顶端的速度计为 V2-1 分Rv421-1 分2NmvgFRFN =455N，滑块管道对的弹力大小为 455N，方向向上 -1 分（3）滑块第一次由 A 到 B 克服摩擦力做的功 W2=2W1=4J -1 分- 1 分
17、25.6WHn所以滑块能离开槽口的次数为 6 次 - 1 分（4）要想达到“8”字型管道最高点，在 P 点的动能临界值为 Ek 临 =4mgR=6J滑块具有的初始能量 mg(H1+H2)=27J第 6 次经过 P 处(V P 向右) 的动能 Ek6=27 -11W1=5J，由于 5JmgH1+W1 = 2+2=4J，还能第 4 次从 B 冲出。第 4 次从 B 冲出再回到 P 处(V P 向右)的动能为 1J，再无法冲出所以，冲出 B 口的次数为 4 次，-1 分冲出 A 口的次数为 2 次，-1 分冲出的总次数为 6 次。-1 分9、 （20 分）如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光
18、滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动。弹射装置将一个小球（可视为质点）从 a 点水平弹射向 b 点并进入轨道，经过轨道后从最高点 d 水平抛出。已知小球与地面 ab 段间的动摩擦因数 =0.2，不计其它机械能损失，ab 段长 L=1.25m，圆的半径 R=0.1m，小球质量 m=0.01kg，轨道质量为 M=0.26kg，g=10m/s 2，求：（1）要使小球从 d 点抛出后不碰轨道，小球的初速度 v0 需满足什么条件？ （2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身
19、的重力，当 v0 至少为多少时，小球经过两半圆的对接处 c 点时，轨道对地面的压力为零。（3）若 v0=3m/s，小球最终停在何处？9.（20 分）（1）设小球到达 d 点处速度为 vd，由动能定理，得（1）22014mgLRm如小球由 d 点做平抛运动刚好经过图中的 O 点，则有（2）23t 3）dV联立并代入数值得 （4）07913./6vms小球的初速度 v0 需满足 （5）013./s（2）设小球到达 c 点处速度为 vc，由动能定理，得（6）202RgLO当小球通过 c 点时，由牛顿第二定律得（7）RvmgN2要使轨道对地面的压力为零，则有N=Mg （8）联立并代入数值，解得小球的最
20、小速度v0=6 m/s （9）（3）小球能通过 d 点，需满足 ，由动能定理0dv（10）214mgLRm得： 013/vs因 ，小球过不了 d 点而沿轨道原路返回（11）对整个过程由动能定理，有（12）20gxv得 （13）2.5m小球最终停在 a 右侧 处 （14）.5评分标准：共 20 分，其中（1） （6）各 3 分（7） （12）各 2 分，其余各 1 分。21、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与C、D 间距相等，半径 R1=2.0m、R 2=1.4m。一个质量为
21、 m=1.0kg 的小球（视为质点） ，从轨道的左侧 A 点以 v0=12.0m/s 的初 速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数 =0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C 间距 应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件；小球最终停留点与起点 的距离。AR1 R2 R3A B C
22、Dv0第一圈轨道第二圈轨道 第三圈轨道LLL121 答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当 m4.03时， 6.0L；当m7.9.03R时， 026.解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1根据动能定理202111vgRL-小球在最高点受到重力 mg 和轨道对它的作用力 F，根据牛顿第二定律12RvmgF由得 0.N （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，由题意2g 202211mvmRL由得 2.5 （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为 v3，应满足3Rvmg2 20231 1mvL3 由得 .340II轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理20112vgLmg解得 .03R为了保证圆轨道不重叠， R3最大值应满足2322-L解得 R3=27.9m综合 I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件m4.03或 2791.当 4.03R时，小球最终焦停留点与起始点 A 的距离为 L，则20mvLg-36.当 27.9m1.03时，小球最终焦停留点与起始点 A 的距离为 L，则026.1LL
