1、概率论与数理统计 习题三 答案1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】 的可能取值为：0，1，2，3； 的可能取值为：0，1.X和 的联合分布律如下表：Y0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】 的可能取值为：0，1，2，3； 的可能取值为：0，1，2.XX 和 Y 的联合分布律如下表：0
2、1 2 30 0 0 3247C5A13247C5A1 0 12347C65A21347312472 247C5A123472347C5A03.设二维随机变量 的联合分布函数为(,)XYsin,0,(,)2,xyxyFy 其 它求二维随机变量 在长方形域 内的概率.(,)XY36,4yx【解】如图 0,(3.2)46P公 式(),0,(,)466FFXYXYsinsinsi0sin436362(1).AA题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量 的分布密度(,)XY(34)e,0,(,)0,xyAfxy 其 他求：（1） 常数 ；A（2） 随机变量 的分布函数；(,)XY（
3、3） P0X1，0Y2.【解】 （1） 由 -(34)0(,)ded12xyAfxy得 =12A（2） 由定义，有(,)(,)yxFfuv3434012ed(1e)0, xyx 其 他(3) PXY12(34)380,ed(1e)0.94xy5.设随机变量 的概率密度为,(6),2,(,)0,kxyxyfxy 其 它（1） 确定常数 ；k（2） 求 PX1，Y 3；（3） 求 PX1.5；（4） 求 PX+Y4.【解】 （1） 由性质有 240(,)d(6)d81,fxykxyk故 18k（2） 13,(,)PXYfxy0236d8k(3) 11.5.(,)a(,)x Dfyxfxy如 图40
4、227d).83(4) 24(,(,)dXYDPfyxfxy如 图 b2016).题 5 图6.设 和 是两个相互独立的随机变量， 在（0，0.2）上服从均匀分布， 的密度函数XYXY为 5e,().yYf其 它求：（1） 与 的联合分布密度；（2） .XPYX题 6 图【解】 （1） 因 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 的概率密度函数为XX1,0.2,().2Xxfx其 它而 5e,0,().yYf其 它所以(,)()*XYfxyfxfy独 立551e2,0.2,00.,yyxy 其 它(2) 5()()dedyyxDPYXf如 图0.20.2-5-1e()=.3679yx7.设二维随
5、机变量 的联合分布函数为(,)XY42(e)1,0,0, .xyxFxy其 他求（X，Y）的联合分布密度.【解】(42)28e,(,)(,),xyfxy其 他 .8.设二维随机变量 的概率密度为,)Y4.8(2),01,(, .yxyxfx其 他求边缘概率密度.【解】 的边缘概率密度为X()(,)dfxfyx204.8(2)d.4(),01yxx ， 其 它的边缘概率密度为Y()(,)fyfx1 2y4.82d.4(3),01yy ， 其 它题 8 图 题 9 图9.设二维随机变量 的概率密度为(,)XYe,0(,)yxfx， 其 它求边缘概率密度.【解】 的边缘概率密度为X()(,)dfxf
6、ye,00,yxx 其 它的边缘概率密度为Y()(,)dYfyfxy0e,0,yxy 其 它题 10 图10.设二维随机变量 的概率密度为(,)XY2,1(,)0cxyf， 其 它（1） 试确定常数 ；c（2） 求边缘概率密度.【解】 （1） (,)d(,)dDfxyfxy如 图21- 4=1.xcc得 .214c(2) ()(,)dXfxfy21241=(),1480,xxx 其 它()()dYfyfy52217,0140,yxy 其 它11.设随机变量 的概率密度为()XY1,01(,)yxfx 其 它求条件概率密度 ， .YXfyXYf题 11 图【解】 ()(,)dXfxfy12,01
7、,0,.xyx其 他1,()(,)d010,.yY xyfyfx 其 他所以|1,|1,(,)()20.YXXyxfxyfy其 他|1, 1,(,)(),0.XYYyxfxyf其 他12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 ，最X大的号码为 .（1） 求 与 的联合概率分布；（2） 与 是否相互独立？XYXY【解】 （1） 的可能取值为：1,2,3； 的可能取值为 3,4,5.与 的联合分布律及边缘分布律如下表：3 4 5 iPXx1 351C0352C10351062 0 3535233 0 0 251C01iPYy103106(2) 因 61,3,
8、XPYPXYA故 与 不独立Y13.设二维随机变量 的联合分布律为(,)2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1）X 和 Y 的边缘分布如下表2 5 8 PY=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.80.8 0.05 0.12 0.03 0.2iPXx0.2 0.42 0.38YXXYXY(2) 因 20.42.8PXYA016.5(2,0.4),PXY故 与 不独立.Y14.设 与 是两个相互独立的随机变量， 在（0，1）上服从均匀分布， 的概率密度X为 /2
9、e,()0.yYf其 他（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .【解】 （1） 因 1,0,()Xxfx其 他 ;21e,()0yYf其 他 .故/2e1,0(,)(),.yXYxyfxyfxA独 立 其 他题 14 图(2) 方程 有实根的条件是20aXY2()40XY即 ，从而方程有实根的概率为： 22(,)dxyPYfx22211/0010eed()0.45xyx15.设 X和 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设 和 相互独立，且Y XY服从同一分布，其概率密度为f（x）= .,0,102他x
10、求 的概率密度./ZXY【解】因为 和 相互独立，所以 与 的联合概率密度为XY621,0,1(,)0xyfxy 其 它如图,Z 的分布函数 ()ZFzPzzY(1) 当 z0 时， （2） 当 0z1 时， （这时当 x=1000 时,y= ）(如图 a)10z33661022()(,)dddyzZ zxxyyzzFf x361023=z题 15 图(3) 当 z1 时， （这时当 y=103 时，x=10 3z） （如图 b） 33662210()(,)dddzyZxxyyzzFf x362310=z即 1,(),0,2.ZzFz其 他故 21,(),0,.Zzfz其 他16.设某种型号的
11、电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N（160，20 2）分布.随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率.【解】设取到的四只电子元件寿命为 (i=1,2,3,4)，则 ，X(160,)iX从而 1234 12min(,)1808iPXPA之 间 独 立34011280180880PXXAAA4414 6()0.58).03.PX17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 (),1,23kp0PYrq证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为，i =0，1，2，.0()()ikpk【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以Zii,0YXYiXiY于是 0,ikPik0,ikXYPXYikA相 互 独 立 0()ipqik18.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布.证明 Z=X+Y 服从参数为 2n，p 的二项分布.【证明】方法一：X+Y 可能取值为 0，1，2，2n.
