1、1第七章 空间解析几何与向量代数7.1 向量及其线性运算必作题：P300-301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19.必交题：1、 求点 分别关于各坐标面；各坐标轴；坐标原点的对称(,)abc点的坐标.解：（1） xoy 面（a,b,-c）,yoz 面（-a,b,c）, xoz 面（a,-b,c）;(2）ox 轴（a,-b,-c）, oy 轴（-a,b,-c）, oz 轴（-a,-b,c）;(2）关于原点（-a,-b,-c） 。2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置 (3,40)(,3)(,0)(,10).ABCD解：xoy 面：z=
2、0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0.ox轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A在 xoy面上，B 在 yoz面上， C 在 x轴上， D 在 y轴上。3、 在 轴上求与点 和点 等距离的点的坐标.z(4,17)(3,52)B解：设 C（0，0，z） ，有|AC|=|BC|，解得：z= ，所求点为(0,0, ).1491494、 设 试用 表示2,uabcvabc,a3.uv解： .35175、已知两点 和 求向量 的模，方向余弦和(4,)M2(3,0)12M方向角.解： ， ，方向余弦为 ，12,121cos， ，方向角 ， ， .cosc
3、os34326、设向量 的模 方向余弦 求a2,13cos0,cos,2.a解：设 ，则 ， ， ，所以 ， ，,xyzx12y30x1y，3z0,13a7、设有向量 它与 轴、 轴的夹角分别为 如果已2P,xy34和 ，知 求 的坐标.1(,)解：设 的坐标为 ，2(,)xyz， ，所以 ；1,3P1cos232x，所以 ，又 ，所以cos24yy1,P，解得 或 ，所以 的坐标为21(3)z2z42(,2)或者 .,8、求平行于向量 的单位向量.6,7a解： ，与 平行的单位向量为 ，即3491a16,7为 ，或者 .67,16,7.2 数量积 向量积 混合积必作题： P309-310：1
4、，2，3，4，6，7，8，9.必交题：1、已知向量 与 垂直，向量 与,a2,3b 1,2c平行，求 的值.2,d和3解： ， ，ab2602， ， .A1u42、已知向量 ,分别计算以下各式.3,3,ijkbijkcij ； ； .(abcA） ） ()a()abcA解： (824cjk） ） ()34)(3)ijijk .21()0abcA3、已知 ，求 的面积.3,OikBjkABO解： A的面积 .B11922S7.3 曲面及其方程必作题：P318-319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点 等距离，求该动点的轨迹方程.,314,56AB和解：设动点 ，因为
5、，所以(,)PxyzP，解得动点的222222()()()(6)xxyz轨迹方程为 .635yz2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形. ； ； ；1x24x21xy4 ； .2xy20xy解：直线；平面 圆；援助面 双曲线；双曲柱面 抛物线；抛物柱面 原点； 坐标轴Oz3、说明下列旋转曲面是怎样形成的. ； .22149xyz22()zaxy解： 坐标面上椭圆 绕 轴旋转形成，或者 坐标O249xyOxOz面上椭圆 绕 轴旋转形成。2149xz（2） 坐标面上 绕 轴旋转形成，或者 坐标面上axzyz绕 轴旋转形成.zayOz4、指出下列方程表示什么曲面 ； ；221
6、94xz2349zxy ； .22y22解： 椭球面 椭圆抛物面 圆锥面 旋转双叶双曲面.5、建立单叶双曲面 与平面 的交线关于2211645xz30xz面的投影柱面与投影曲线方程.xoy解：将曲面与平面方程联立，消去变量 得到投影柱面 ，z22(3)11640xy投影曲线为 .22(3)11640xyz56、画出下列各曲面所围立体图形. ， ； ， ；2zxy1z 26zxy0z ， .22xy解：略7.4 空间曲线及其方程必作题：P324-325：3，4，5，6，7，8.必交题：1、下列方程组各表示什么曲线？ ； ；123yx21493xyz ； ；461z2804yxy .22236()
7、()()5xyzx解： 直线 椭圆 双曲线 （4） 抛物线 圆2、求由上半球面 ，柱面 及平面22zaxy20xya所围立体在 坐标面和 坐标面的投影.0zoyz解：在 平面投影 ，xO22()4ax0在 平面投影 ， ，z2zayx1、 将曲线的一般方程 化为参数方程.29xz6解： ，3cos23sinxtyzt02t7.5 平面及其方程必作题： P329-330：2，4，6，7，8.必交题：1、求满足下面条件的平面方程 过点 且与向量 垂直;3,013,75a 过点 且与二向量 ， 平行;21,10b 过点 且在三坐标轴上的截距相等且不为零;5,74 过 轴，且与平面 的夹角为z50xy
8、z.3解： ，即3()(1)xz754xyz ，所以 ，即2310ijkabijk (1)3()034xyz 设平面方程为 ，过点 ，所以 ，即xyza5,742a2xyz 设平面方程为 ， ，解得 0AxBy2cos310AB或 ，所以方程为3AB，即 ，或者 ，即 .0xy3xy3xy72、求两平行平面 与 之间的距1:0xyz2:30xyz离.解：在 上任取一点 ，距离 .1(,)564d7.6 空间直线及其方程必作题：P335-336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.必交题1、 求过点 且与两平面 和 平行的直线(0,)1:2xz2:3yz方程.解：方向向量 1,20,
9、3,s以直线方程为 4xyz2、求直线 和平面 间的夹角.:0Lz:10xyz解： ，1,3,12,4s ,n，所以24in06 3、求点 到直线 的距离.(,1)P124xyz解： ,0,3s在直线上任取一点 ， ，(1)M,1P3,6PMs距离 32Psd第七章总复习8必作题: P337-338: 总习题七.必交题: 第七章模拟检测题1、填空题(1) 设 与 垂直， 与 垂直，则 = . 25ab23ab5A(,)ab或3(2) 已知 ，则 在 的投影为 ；(,1) (8,41)与 同方向的单位向量为 ； 的方向余弦为 .ab1； ； ， ，2,3cos9cs91cos(3) 空间曲线 在
10、 xOy面上的投影曲线的方程为 . 2()zxy210xyz(4) 与两直线 及 都平行且过原点的平2xytz121yz面方程为 . 0xz(5) 点 关于平面 的对称点的坐为 .(3,57)P6342xyz91041、 选择题(1) 设 ， ，则向量 与 的夹角为（ D ）;3abA(1,)abA B C D246(2) 设两直线 L1： ，L 2： ，则此两条xyz1234xyz直线（ A ）;9A异面 B相交 C平行 D重合(3) 通过 轴且垂直于平面 的平面方程为（ B ）;x54230xyzA B. C D20zy2xz(4) 平面 与平面 的夹角为（ D 43xz90y）;A B
11、C D632(5) 点 到直线 的距离为（ B ）.(1,0)M20:yzLxA B C D343413413413、计算题(1) 求点 A（-1，2，0）在平面 上的投影.20xyz解：垂涎方程为 ，令1xy12zt代入平面方程解得 ，所以 ， ， ，即投影为3t53xy352(,)3(2) 设平面过点（0，1，3） ，且平行于直线 ，又垂121xyz直于已知平面 ，求此平面方程.210xyz解：法线向量 ，所求平面方程为,53n，即(0)5()3()xyz 14xyz(3) 求直线 绕 z轴旋转一周所成曲面方程.12x10解： ，2,31s1cot493曲面方程为 ，即22()()cotzxy2221()(3)zxy(4) 求以点 A（3，2，1）为球心，且与平面 相切的球18面方程.解：点 A到平面的距离 ，341849dr球面方程为 .222(3)()()xyz(5) 求空间曲线 在三个坐标面上的投影曲线方程.21解：在 平面的投影 ，在 平面的投影xOy20xyzOz2(1)0zx在 平面的投影 .Oz10xzy4、证明题(1) 证明向量 共32, 34, 3126aijkbijkcijk面.证明： ，所以三个向量共面.1()40326bc或者 ，三个向量线性相关，所以共面.5a
