1、高等数学课程教学大纲Advanced Mathematics A 课程代码：03100A01, 03100A02 课程性质：公共基础理论课(必修)适用专业：各工科专业（创新班） 总学分数：11 总学时数：176 修订年月：2015 年 12 月编写年月：2013 年 7 月 执 笔：许君臣、王振友、李锋课程简介(中文) ：高等数学是一门工科各专业必修的公共基础理论课。主要讲授分析学基础、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、空间解析与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数等方面内容。为后序课程的学习奠定必要的数学基础。课程简介(英文) ：Advanced mathematic
2、s is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. It mainly concerns basic analysis, calculus of unary functions, ordinary differential equations, spatial analysis and vector algebra, calculus of multivariate functions, infinite series, etc. Also it lays the nec
3、essary mathematical foundation for the study of subsequent courses.一、课程目的通过对本课程的学习，要使学生掌握相应的基本概念、基本理论和基本运算技能，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力，为后序课程的学习奠定必要的数学基础，提供了必备的数学工具。二、课程教学内容及学时分配（总 176 学时 理论 176 学时）(一) 教学内容1函数、极限、连续函数：映射及函数的概念，函数的表示法，函数的特性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念
4、，基本初等函数的性质及图形。初等函数。简单应用问题函数关系的建立。极限：数列极限的定义，收敛数列的性质；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质，无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则） ，两个重要极限，无穷小的比较。函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点定理和介值定理） 。2一元函数微分学导数与微分：导数的定义，导数的几何意义及物理意义，函数的可导性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初
5、等函数的一、二阶导数的求法，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算法则（含微分形式的不变性） ，微分的应用。中值定理与导数的应用：费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式；洛必达法则；用导数判定函数的单调性，函数极值概念及其求法，简单的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，渐近线，函数作图；弧微分，曲率的定义及其计算，曲率圆及曲率半径。3一元函数积分学不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分
6、上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；定积分在几何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长） ；定积分在物理中的应用（变力沿直线作功、水压力、引力） 。4常微分方程微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题、积分曲线。一阶微分方程：可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程， 。可降阶的高阶微分方程： 型， 型， 型。()nyfx(,)yfx(,)yf高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程（
7、，()()xmfeP） 。()()cos()sinxlfePxx用微分方程解简单的几何及物理问题。5. 向量代数与空间解析几何向量代数：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量的向量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件。单位向量，方向数与方向余弦平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式） ，直线的方程（参数式、对称式、一般式） ，夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线） ，平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线） 。点到平面和点到直线的距离。曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程
8、；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线与曲面在坐标面上的投影。常用的二次曲面的方程及其图形。6 多元函数微分学多元函数：多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质。偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式；方向导数和梯度。偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。7多元函数积分学二重积分：二重积分的概念、性质及
9、计算（直角坐标、极坐标） 。三重积分：三重积分的概念、性质与计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。重积分的应用：在几何中的应用（曲面面积、立体体积） ；物理中的应用（质心、转动惯量、引力） 。曲线积分：两类曲线积分的定义与性质，两类曲线积分的计算法；两类曲线积分的联系，曲线积分的应用；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件；二元函数的全微分求积。曲面积分：两类曲面积分的定义与性质，两类曲面积分的计算法；两类曲面积分的关系；高斯公式、通量与散度；斯托克斯公式、环流量与旋度。曲线及曲面积分的应用。8无穷级数常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，收敛级数的和的概念、无穷级数的基本性质，级数收敛
10、的必要条件，几何级数和 级数的敛散性；正项级数的比较、比值及p根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。幂级数：函数项级数的收敛与和函数的概念，幂级数的概念，阿贝尔定理，较简单的幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质，求幂级数的和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：三角级数概念，狄利克雷充分条件，函数展开为傅里叶级数，奇偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦或余弦级数，定义在 ， 区间上函数的傅里叶,0级数；一般周期函数的傅里叶级数。(二) 学时分配本课程的教学时数为 176 学时，分上、下两学期，各学期的教学内容及课时分配如下表：（课内外学时比例均为 1
11、:2）学时数分配序号 课程内容 总学时数理论学时实训学时习题课上机学时小计1 函数、极限、连续 16 14 2 162 导数与微分 14 10 4 143 中值定理与导数应用 16 14 2 164 不定积分 10 8 2 105 定积分及其应用 16 12 4 16高等数学A（1）6 微分方程 16 14 2 16合 计 88 72 16 881 向量代数与空间解析 16 14 2 162 多元函数微分学 20 16 4 203 重积分 16 12 4 164 曲线积分与曲面积分 20 16 4 20高等数学A（2）5 无穷级数 16 14 2 16合 计 88 72 16 88总 计 17
12、6 144 34 176三、课程教学的基本要求高 等 数 学 A(1)1、 函 数 、 极 限 、 连 续 、（ 1） 理 解 函 数 的 概 念 ， 了 解 函 数 的 性 质 （ 有 界 性 、 单 调 性 、 奇 偶 性 、 周 期 性 ） 。（ 2） 理 解 复 合 函 数 和 反 函 数 的 概 念 。（ 3） 会 建 立 简 单 实 际 问 题 中 的 函 数 关 系 式 。（ 4） 理 解 极 限 的 概 念 ， 了 解 极 限 的 定 义 ， 掌 握 极 限 四 则 运 算 法 则 及 复 合函 数 极 限 运 算 法 则 。（ 5） 了 解 极 限 的 性 质 ， 掌 握 函
13、 数 与 子 序 列 极 限 之 间 的 关 系 。（ 6） 理 解 极 限 存 在 的 夹 逼 准 则 ， 会 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 。（ 7） 理 解 无 穷 小 、 无 穷 大 、 以 及 无 穷 小 的 阶 的 概 念 及 性 质 。 会 用 等 价 无 穷小 求 极 限 。（ 8） 理 解 函 数 连 续 的 概 念 ， 了 解 间 断 点 的 概 念 ， 并 会 判 别 间 断 点 的 类 型 。（ 9） 了 解 初 等 函 数 的 连 续 性 ， 理 解 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 (最 大 最 小 值定 理 、 零 点 定 理 、 介 值 定
14、理 )。2、 一 元 函 数 微 分 学（ 1） 理 解 导 数 和 微 分 的 概 念 、 导 数 的 几 何 意 义 及 物 理 意 义 ， 理 解 函 数 的可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 。 会 用 导 数 表 达 一 些 实 际 问 题 量 的 变 化 率 。（ 2） 熟 练 掌 握 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法 ， 掌 握 基 本 初 等 函 数的 导 数 公 式 ， 了 解 反 函 数 的 求 导 法 则 。 （ 3） 了 解 高 阶 导 数 的 概 念 。 掌 握 初 等 函 数 一 阶 、 二 阶 导 数 的 求 法
15、。（ 4） 会 求 隐 函 数 和 参 数 式 所 确 定 的 函 数 的 一 阶 、 二 阶 导 数 ， 会 求 一 些 简单 实 际 问 题 的 相 关 变 化 率 问 题 。（ 5） 了 解 微 分 的 四 则 运 算 法 则 和 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 。（ 6） 理 解 罗 尔 (Rolle)定 理 和 拉 格 朗 日 (Lagrange)定 理 ， 了 解 柯 西 (Cauchy)定 理 和 泰 勒 (Taylor)定 理 。 会 应 用 中 值 定 理 证 明 简 单 的 等 式 或 不 等 式 。（ 7） 会 用 洛 必 达 (LHospital)法 则 求 未 定
16、 式 的 极 限 。（ 8） 理 解 函 数 的 极 值 概 念 ， 掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 极 值 的 方 法 。 会求 解 较 简 单 的 最 大 值 和 最 小 值 的 应 用 问 题 。（ 9） 会 用 导 数 判 断 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ， 会 求 拐 点 ， 会 描 绘 函 数 的 图 形 (包括 水 平 和 铅 直 渐 进 线 )。（ 10） 了 解 有 向 弧 与 弧 微 分 的 概 念 。 了 解 曲 率 和 曲 率 半 径 的 概 念 并 会 计 算 曲 率和 曲 率 半 径 。（ 11） 了 解 求 方 程 近 似 解 的
17、二 分 法 和 切 线 法 的 思 想 。3、 一 元 函 数 积 分 学（ 1） 理 解 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 及 性 质 ， 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式 、 换 元 法和 分 步 积 分 法 。 会 求 简 单 的 有 理 函 数 及 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分 。（ 2） 理 解 定 积 分 的 概 念 及 性 质 ， 了 解 函 数 可 积 的 充 分 条 件 。（ 3） 理 解 变 上 限 的 积 分 作 为 其 上 限 的 函 数 及 其 求 导 定 理 ， 掌 握 牛 顿(Newton)莱 布 尼 兹 (Leibniz)公 式 。
18、（ 4） 掌 握 定 积 分 的 换 元 法 和 分 步 积 分 法 。（ 5） 了 解 两 类 广 义 积 分 的 概 念 及 广 义 积 分 的 换 元 法 和 分 步 积 分 法 。（ 6） 掌 握 用 定 积 分 表 达 一 些 几 何 量 与 物 理 量 (如 面 积 、 体 积 、 弧 长 、 功 、 引力 等 )的 方 法 。（ 7） 了 解 定 积 分 的 近 似 计 算 法 (矩 形 法 、 梯 形 法 、 抛 物 线 法 )。4、 常 微 分 方 程（ 1） 了 解 微 分 方 程 、 解 、 阶 、 通 解 、 初 始 条 件 和 特 解 等 概 念 。（ 2） 掌 握
19、变 量 可 分 离 的 方 程 及 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 。 会 解 齐 次 方 程 和 伯 努 利(Bernoulli)方 程 ， 了 解 用 变 量 代 换 求 解 方 程 的 思 想 。（ 3） 会 用 降 阶 法 解 下 列 方 程 ： ， 和 。)()(xfyn),(yxf ),(yf（ 4） 理 解 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 ， 了 解 常 数 变 易 法 。（ 5） 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 解 法 ， 会 求 自 由 项 形 如 和xneP)(的 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 的 特 解 。sin)(cos)(
20、xPxelnx （ 6） 会 用 微 分 方 程 解 一 些 简 单 的 几 何 问 题 和 物 理 问 题 。高 等 数 学 A(2)5、 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何（ 1） 理 解 空 间 直 角 坐 标 系 ， 理 解 向 量 的 概 念 及 其 表 示 ， 掌 握 向 量 的 运 算(线 性 运 算 、 数 量 积 、 向 量 积 、 混 合 积 )， 掌 握 两 个 向 量 垂 直 、 平 行 的 条 件 。（ 2） 掌 握 单 位 向 量 、 方 向 余 弦 、 向 量 的 坐 标 表 达 式 以 及 用 坐 标 表 达 式 进 行 向 量运 算 的 方 法 。（
21、3） 掌 握 平 面 的 方 程 和 直 线 的 方 程 及 其 求 法 ， 会 利 用 平 面 、 直 线 的 相 互 关 系 解决 有 关 问 题 。（ 4） 理 解 曲 面 方 程 的 概 念 ， 了 解 常 用 二 次 曲 面 的 方 程 及 其 图 形 ， 了 解 以 坐 标 轴为 旋 转 轴 的 旋 转 曲 面 及 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程 。（ 5） 理 解 解 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程 ， 了 解 曲 面 的 交 线 在 坐 标 平 面上 的 投 影 。6、 多 元 函 数 微 分 学（ 1） 理 解 多 元 函 数 的
22、概 念 。（ 2） 了 解 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 性 的 概 念 ， 以 及 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 。（ 3） 理 解 偏 导 数 和 全 微 分 的 概 念 ， 了 解 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 ， 了解 一 阶 全 微 分 形 式 的 不 变 性 。（ 4） 了 解 方 向 导 数 与 梯 度 的 概 念 ， 掌 握 求 方 向 导 数 与 梯 度 的 计 算 方 法 。（ 5） 掌 握 复 合 函 数 一 阶 偏 导 数 的 求 法 ， 会 求 复 合 函 数 的 二 阶 偏 导 数 。（ 6） 会 求 隐
23、 函 数 (包 括 由 两 个 方 程 组 成 的 方 程 组 确 定 的 隐 函 数 )的 偏 导 数 。（ 7） 了 解 曲 线 的 切 线 和 法 平 面 及 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 ， 并 会 求 它 们 的 方 程 。（ 8） 理 解 多 元 函 数 极 值 与 条 件 极 值 的 概 念 ， 会 求 多 元 函 数 的 极 值 。 了 解 求 条 件极 值 的 拉 格 朗 日 乘 数 法 ， 会 求 解 一 些 较 简 单 的 最 大 值 和 最 小 值 的 应 用 问 题 。 了 解 最小 二 乘 法 。（ 9） 了 解 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 。（ 10
24、） 了 解 向 量 函 数 与 矢 端 曲 线 的 概 念 ， 了 解 向 量 函 数 的 导 向 量 与 微 分 的 概 念 。7、 多 元 函 数 积 分 学（ 1） 理 解 二 重 积 分 、 三 重 积 分 的 概 念 及 性 质 。（ 2） 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 (直 角 坐 标 、 极 坐 标 )， 会 计 算 简 单 的 三 重 积分 (直 角 坐 标 、 柱 面 坐 标 、 球 面 坐 标 )。 了 解 重 积 分 的 换 元 法 。（ 3） 理 解 两 类 曲 线 积 分 的 概 念 、 性 质 及 相 互 间 关 系 ， 掌 握 两 类 曲 线 积 分
25、 的 计 算方 法 。（ 4） 掌 握 格 林 (Green)公 式 及 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 。 会 解 全 微分 方 程 ， 能 观 察 出 最 简 单 的 积 分 因 子 。（ 5） 理 解 两 类 曲 面 积 分 的 概 念 、 性 质 及 相 互 间 的 关 系 ， 会 计 算 两 类 曲 面 积 分 。（ 6） 掌 握 高 斯 公 式 ， 了 解 斯 托 克 斯 (Stokes)公 式 。（ 7） 了 解 数 量 场 、 向 量 场 及 向 量 微 分 算 子 的 概 念 ， 了 解 散 度 、 旋 度 的 概念 及 其 计 算 公 式 ， 了 解
26、 通 量 与 散 度 之 间 的 关 系 以 及 环 流 量 与 旋 度 之 间 的 关 系 。（ 8） 会 用 重 积 分 和 曲 线 积 分 以 及 曲 面 积 分 求 一 些 几 何 量 与 物 理 量 (如 体 积 、曲 面 面 积 、 弧 长 、 质 量 、 重 心 、 转 动 惯 量 、 引 力 、 功 、 通 量 等 )。8、 无 穷 级 数（ 1） 理 解 无 穷 级 数 收 敛 、 发 散 以 及 和 函 数 的 概 念 ， 熟 悉 无 穷 级 数 基 本 性 质 及 收敛 的 必 要 条 件 。（ 2） 了 解 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 和 极 限 审 敛 法
27、 ， 掌 握 几 何 级 数 和 级p数 的 收 敛 性 ， 熟 练 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 。（ 3） 了 解 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 定 理 ， 理 解 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 以 及绝 对 收 敛 与 收 敛 的 关 系 。（ 4） 了 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 的 概 念 ， 掌 握 比 较 简 单 的 幂 级 数 收敛 域 的 求 法 。（ 5） 了 解 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 ， 会 求 简 单 幂 级 数 的 和 函 数 ，会 由 幂 级 数 的 和 函
28、数 求 简 单 的 数 项 级 数 的 和 。（ 6） 了 解 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 分 必 要 条 件 ， 会 利 用 ，xe， ， 和 的 马 克 劳 林 (Maclaurin)展 开 式 将 一 些 简 单 的 函xsincos)1ln(x)(数 间 接 展 开 成 幂 级 数 。（ 7） 了 解 幂 级 数 在 近 似 计 算 上 的 简 单 应 用 。（ 8） 了 解 函 数 展 开 为 傅 里 叶 (Fourier)级 数 的 狄 利 克 雷 (Dirichlet)条 件 ， 会将 定 义 在 和 上 的 函 数 展 开 为 傅 里 叶 级 数 ， 并 会 将
29、 定 义 在 及),(),(l ,0(上 的 函 数 展 开 为 正 弦 或 余 弦 级 数 。),0(l四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：无后续课程：作为公共基础课，它是许多后继公共基础课、专业基础课及专业课的基础，如工程数学、大学物理、材料力学、电工与电路等。五、建议教材及教学参考书1同济大学数学教研室主编， 高等数学 ，第七版，高等教育出版社2吴赣昌主编， 高等数学 ，理工类，第四版，中国人民大学出版社3马知恩、王绵森主编，工科数学分析基础上、下册，高等教育出版社4工科数学课程教学指导委员会编，高等数学释疑解难，高等教育出版社5同济大学数学教研室编， 高等数学习题全解指南解 ，高等教育出版社
