1、1概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设 为三个事件，试写出下列事件的表达式：,ABC(1) 都不发生；(2) 不都发生；(3) 至少有一个发生；(4) 至多有一个发生。,ABC,ABC,ABC解：(1) AB(2) C(3)(4)2. 设 为两相互独立的随机事件, , ,求 。BA4.0)(AP6.)(B(),(),(|)PABPAB解： ；()() )0.76PAB。(.16,(|(43. 设 互斥， ， ，求 。,AB()0.5)09P),)PBA解： 。()(.4,(0.5PA4. 设 ，求 。.,().6,|)5B),解： (|0.3,()()0.8,ABPAPB。)().2P
2、A5. 设 独立且 求 。,C.9,()8,()07,BC()C解： 。()111(0.94ABPPABPB6. 袋中有 个黄球， 个白球，在袋中任取两球，求46(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) ；(2) 。24105CP1462085CP7. 从 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为 的概率。9 5解： 。2153028. 从 中任取两数，求两数之和小于 的概率。(0,1) 0.8解： 。.802.32P9. 甲袋中装有 只红球， 只白球，乙袋中装有 只红球， 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，5145再从乙袋中任取一球，问从
3、乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 “从甲袋中取出的是红球”， “从乙袋中取出的是红球”，则：AB312(),(),(|),(|),42PPA由全概率公式得：。7()(|)(|)40B10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10% ，而三厂产品的合格率分别为95%、85% 、80% ，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， 表示买到合格品，则321,AB23123()0.5().4,()0.,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,PP
4、ABPAPBA由全概率公式得 ；1|.8iiiB(2) 。11()(|)0.4759(|) 1APP二一维随机变量及其数字特征1. 已知 的概率密度函数 ，求 。X1,2()0kxxfels1,2kPXE解： 20 1()2,fxdd ， 。21916Px203EXxdx2. 设 ，求 。).0,3(BX,PX解： 。2 33(.19)0.27101.90271CP3. 设三次独立随机试验中事件 出现的概率相同，已知事件 至少出现一次的概率为 ，求 在一次AA64A试验中出现的概率 。p解：三次试验中 出现的次数 ，由题意：),3(pBX3。41637)1()(101 303 ppCXP4.
5、某种灯管的寿命 （单位：小时）的概率密度函数为 ，20,0()xfxels(1) 求 ；150PX(2) 任取 只灯管，求其中至少有 只寿命大于 的概率。2150解：(1) ；1503dx(2) 设 只灯管中寿命大于 的个数为 ，则 ，故5Y2,3B。541132210PYP5. 设 求 。(,).6,1.28,XBnpEDXnp解： 。1()8,0.2np6. 设 ，求 。(2)2,3P解： ，23Xe。22()() 34237EEXEXD7. 设 ，求 。6,1U24P解： ， 。,6()70xfxels 7310)(21424 dxdxf8. 设 服从 上的均匀分布，求方程X)5,1(
6、210tX有 实 根 的 概 率 。解： ， 。,5()60xfxels 522146Pdx9. 设 ，求 。1,3XU1,EXD解： 。2 31,1()2,(), ln323 20xfxEdxXels410. 设某机器生产的螺丝长度 。规定长度在范围 内为合格，求螺丝不(10.5,36)XN12.05合格的概率。解：螺丝合格的概率为 954.01)2()2 06.6.12.1.05 XPP故螺丝不合格的概率为 。6.94.11. 设 ， ，求 、 及 的分布。)4,0(NX30XYEYD解： 。2,1,(30,16)EXN12. 设 与 独立，且 求 。)1(),(2XY解： 。(),47X
7、YEDYD13. 设 求 。4,0.6,2XYB(32)解： 。(3)9415.6YDXY14. 设 ，求 的概率密度函数。,1U解： )(yXPyFY(1) 当 时， ；0y0)(Y(2) 当 时， ；1ydxyy321(3) 当 时， ；2y 1)(1FY(4) 当 时， ；故 ， 。0,0213(),21YyFyy2,013(),YyfFyels三二维随机变量及其数字特征1. 已知 的联合分布律为：),(YX5YX11250.0.402a.(1) 求 ；a(2) 求 ；0,1,|5PXYPX(3) 求 的边缘分布律；,(4) 求 ；XY(5) 判断 是否独立。,解：(1) ;0.1a(2
8、) ；.3,2(3) ；:5.;:.3,50.2XY(4) ；0,6()cov(,)0,XYEEX(5) ，不独立。.1422. 已知 的联合分布律为：),(YXXY1020a19619b3且 与 相互独立，求：XY(1) 的值；ba,(2) ；0P(3) 的边缘分布律；,XY(4) ；,ED(5) 的分布律。Z6解：(1) ;11296,893aabb(2) ；4500PXYPXY(3) ；12:,;:,63(4) ；2222253(),()639EDEXEYDYE(5) 。511,0,99PZZP3. 已知 的概率密度函数为 ，求：),(YX(),02,1(,)cxyxyfels(1) 常
9、数 ；c(2) 关于变量 的边缘概率密度函数 ；)(xfX(3) 。)(YXE解：(1) ；2120011(,)()23fxydxcydcxdcc (2) ；10(),()(,)332,Xff els(3) 。916)(1)()( 022 dyxdxyfyxYE4. 设 的概率密度函数为： ，,X,Axfels(1) 求 ；A(2) 求 ；(),XYfxy(3) 判断 是否独立；(4) 求 ；1,12P(5) 求 。cov(,)XY解：(1) ；1018xAdy7(2) ，3084,01()(,),xX ydxfxfyels；12(),()(,)0,yY xyfyfxdels (3) 不独立；
10、(,)()XYfxf,(4) ， ；132546Pxd1/20186yPXYdx(5) 。8 4,(),cov(,)()()5925EYEEXY四中心极限定理1. 某种电器元件的寿命服从指数分布 （单位：小时） ，现随机抽取 只，求其寿命之和大于(0.1) 16小时的概率。1920解：设第 只电器元件的寿命为 则 。令 ，i (,26),iX ()0,()0i iEXD16iiX则 。由中心极限定理得160,0EXD。169216092.81(0.)2194P2. 生产灯泡的合格率为 ，记 个灯泡中合格灯泡数为 ，求8.0X(1) 与 ；)(XE)D(2) 合格灯泡数在 之间的概率。4796解
11、：(1) ；(10,8)(10.80,()10.82160BEXD(2) 由中心极限定理得 )(4447964796 pP。82.01)(23. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 的长度不小于 ，现从这批木柱中随机地取 根，问至少有0%m310根短于 的概率是多少？30m解：设这 根木柱中短于 的个数为 ，则3X；(1,.2)1.2,10.2816XBEXD8由中心极限定理得 。30230.51(2.)0616XEPD4. 某单位设置一电话总机，共有 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时2刻每个分机有 的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于 的概率保证每.5
12、 9.个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要 条外线。使用外线的分机数 ，k(20,.5)XB。20.51,20.59.EXDX由中心极限定理得： 10.9.59.5EkkPk。10.2813.4295五抽样分布1. 从一批零件中抽取 个样本，测得其直径为 ，求 。61.5,3.7,251.82,xs解： 。62211.97,()0.4i iixsx2. 设 是来自正态总体 的简单随机样本，已知 服从 分布，求 。21,X),0N21)(XaYa解： 。211212(,8)(,)88XX3. 总体 ，7,0(1) 对容量 的样本，求样本均值 大于 的概率；5n70(2) 为使 大于 的概率
13、不小于 ，样本容量至少应为多少？X0.95解：(1) ；272,(7)11(2)()0.92NPX(2) 1007,() .55/nXnn 。.6457.64. 设 取自正态总体 ，求 。1210,X (0,.9)N102.4iiPX9解：由于 ，故 。)()(221nXnii1022.4(10)6.iiPXP5. 设 来自总体 ， 为样本方差，求 。12,n 2,)NS2,ESD解： 222 22()(1),(1)(1),SESnn。2442 2()()()Dn六参数估计1. 设随机变量 ，其中 已知。 为样本均值, 求 的矩估计量。),(pBXXp解： 。Enn2. 设总体 的概率密度函数
14、为： ，其中 是未知参数，求 的矩估计量。X1,1()0xfxels解： 。122EX3. 设总体 的分布律为 123P12现有样本： ，求 的矩估计值与最大似然估计值。1,3,2,23,解：(1) ，将 代入得 ；3(1)XEX74x512(2) 似然函数 1216,2LPX763(12)P对数似然函数 ，令 ，得 。ln3ln()ln0L1324. 设总体 的概率密度函数为X。1,0()xfels现测得 的 个数据： ，求 的矩估计值和最大似然估计值。80.6,4.8,.,7.6,10解：(1) ，令 ，得10()()1EXxfdxd()EX；.6375.1(2) 似然函数 ，对数似然函数
15、 ，令111()nnniiiiLfxx 1lnl()lniiLx，得 。1lnl0nii18 2.3.76lniix5. 设轴承内环的锻压零件的平均高度 服从正态分布 。现在从中抽取 只内环，其平均高X)4.0,(2N20度 毫米，求内环平均高度的置信度为 的置信区间。32.x %95解： 已知，置信区间为 。将 代入，22,zzn 0.253.,.4,196xnz得所求置信区间为 。(32.15,.47)6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了 个样品作实验,由实验所得数据算得： ，设钢索所能承受的张应力服从正态分布 ,试在置信水平20,6sx95
16、%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。解： 未知，置信区间为 。222(1),(1)SSXtnXtn 将 代入，得所求置信区间为 。0.5670,1,9.6xsnt (652.,87.4)7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取 根，测试折断力，得数据为0578，572 ，570 ，568，572，570，570 ，596，584，572求：(1) 样本均值和样本方差；(2) 方差的置信区间（ ） 。.解：(1) ；10102257.,()7539i iixsx(2) 未知，置信区间为 。221()()9.75.3, ,(.8,25.40)10284nsn七假设检验1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位：千克)服从正态总体分布 ，今随机地抽),(N查了 9 袋，称出它们的重量如下：50，48，49，52，51，47，49，50，50问在显著性水平 下能否认为袋装糖的平均重量为 50 千克？05.
