1、i非线性动力系统混沌运动的分析方法摘 要混沌是近 20 多年来由于计算机的发展而新兴起来的学科。它一出现，就很快在许多领域得到广泛应用，开阔和加深了人们对许多自然现象的认识。混沌被誉为是继相对论和量子力学问世以来,二十世纪物理学中的第三次革命。由于混沌是非线性动力学方程解的一种类型，混沌理论自然与非线性动力学理论紧密相关。本论文在概述非线性系统和混沌运动特性的基础上，总结了混沌运动的研究方法：时程曲线、相平面图、Poincare 映射、功率谱图、Lyapunov指数和分岔。以 Van der Pol 方程为数学模型，编制了计算机程序，利用时程曲线、相平面图、功率谱图和分岔的方法，研究了混沌现象
2、在动力系统中的存在，分析了混沌现象演化的过程。关键词: 非线性系统, 混沌, 相平面, Poincare 映射iiAnalysis Methods Of Chaotic Motion In Nonlinear Dynamic SystemSpecialty: Information and computing science Student: Yang YadiAdvisor: Zhao FengqunABSTRACTChaos is a new and developing subject with the development of computer in recent more tha
3、n twenty years. Once appears, it has been generally used in lots of fields. It widens and deepens peoples knowledge to many natural phenomena. Chaos is considered to be the third revolution in physics of the 20th century after the Theory of Relativity and quantum mechanics came out. Because chaos is
4、 a type of the solution of nonlinear dynamic equation, chaos theory has a close relation with nonlinear dynamic theory naturally.Nonlinear system and the chaotic motive Characteristics are briefly introduced; the research methods of chaotic motion are summed up in this paper: response curve, phase p
5、osition map, Poincare mapping, power spectrum map, Lyapunov exponents and the bifurcation. Given an example of the Van der Pol equation, the computer programs are presented in this paper. The existence of the chaotic phenomenon in the dynamic system is proved by using the methods of response curve,
6、phase position map, power spectrum map and the bifurcation, and the evolutionary process of the chaotic phenomenon is also analyzed.KEY WORDS: nonlinear system, chaos, phase position, Poincare mappingiii目 录中文摘要 .i英文摘要 .ii1. 绪 论 .11.1 非线性系统与混沌 .11.2 非线性系统与混沌研究的目的和意义 .21.3 非线性系统与混沌研究的发展情况 .42.混沌及其特征 .
7、62.1 混沌的定义 .62.2 混沌运动的特征 .62.3 奇怪吸引子 .73.混沌的研究方法 .93.1 时程曲线 .93.2 相平面 .93.3 庞加莱（Poincare）截面 .113.4 功率谱 .123.5 Lyapunov 指数 .173.6 分岔 .204.混沌典型实例分析 .285. 结 论 .31致 谢 .32参 考 文 献 .33附 录（程序） .35iv”11. 绪 论1.1 非线性系统与混沌二十世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特
8、有的一种复杂状态。 “线性系统”是我们熟知的。如函数 就是一个最简单)(xfy的线性系统，此函数在 平面中的图像是一条直线，函数 对),(yx )(xfy自变量 的依赖关系是“一次”多项式。但如果函数 对 的依赖x )(f关系高于一次，就像抛物线函数（其中 项是非线性项） ，那么这个函数x所描述的系统就是“非线性系统” 。可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。 “线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能！第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。非线性系统往往错综复杂，对它的
9、进一步研究呼唤着新的方法和思维方式。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构等理论，成为研究非线性系统的有力武器。混沌理论（chaos theory）作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为二十世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命 1,9。混沌(Chaos)是一种貌似无规则的运动,指在确定性非线性系统中,不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为(内在随机性)。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感,因此从长期意义上讲,系
10、统的未来行为是不可预测的。混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展,尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的新兴交叉学科。在现代的物质世界中,2混沌现象无处不有,大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配。如气候变化会出现混沌,数学，物理,化学,生物,哲学,经济学,社会学,音乐,体育中也存在混沌现象。因此,科学家认为,在现代的科学中普遍存在着混沌现象,它打破了不同学科之间的界线,它是涉及系统总体本质的一门新兴学科 5。1.2 非线性系统与混沌研究的目的和意义真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统
11、中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。通常在某些情况下，线性系统模型可提供对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多情况下并非总是可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的误差，使理论结果与实际情况有着失之毫厘，差之千里之别。特别对于系统的长时间历程动力学问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。近年来，人们认识到，只有把握了系统的非线性动力学行为，才能设计、制造出性能优质的系统。人们还发现，利用非线性动力学规律来改造世界大有可为，发明了混沌振动筛、混沌保密通信技术等。当前，自然科学正面临着深刻的变化，学科之同的相互渗透，正在推
12、动着许多交叉和综合性科学产生，突飞猛进地发展的非线性科学是国内外科学研究的热点 10。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。著名的比利时科学家,诺贝尔奖金获得者 Prigogine 等人在探索复杂性专著中,又从多方面研究了混沌问题.他们通过对一些非平衡过程可以以各种不同的方式进入混沌,以及对混沌特性的研究后发现,这种混沌不同于宇宙早期热力学平衡态的混沌,它是有序和无序的对立统一,既有复杂性的一面,又有规律性的一面。这就意味着,对混沌的深入研究,将会对自然科学带来新的突破。正如日本著名统计物理学家久保在 1978 年所指出的:“在非平衡,非线性的研究中,混沌问题揭示了新的一
13、页。 ”美国一个国家科学机构,把混沌问题列为当代科学研究的前沿之一。混沌科学最热心的倡导者,美国海3军部军官 Shlesinger 说:“20 世纪科学界将永远铭记的只有三件事:相对论,量子力学与混沌。 ”物理学家 Ford 认为,混沌是 20 世纪物理学第三次最大的革命,与前两次革命相似,混沌也与量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说:“相对论消除了 Laplace 关于绝对空间与时间的幻想,量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦,而混沌则消除了 Laplace 关于决定论式可预测性的幻想。 ”与牛顿力学的应用经受相对论和量子力学革命性的突破有所不同,这次革命的实质就在于混沌是直接用于研
14、究人们所感知的真实宇宙,是在人类本身的尺度大小差不多的对象中所发生的过程。人们研究混沌时所探索的目的就处在日常生活经验与这个世界的真实图像之中。混沌理论研究大千世界中的复杂奇妙现象,独步经典科学之外,另辟蹊径,开创了一条新的科学革命的道路。混沌学改变了科学世界的图景,认为世界是一个有序与无序的统一,确定性与随机性的统一,简单性与复杂性的统一,稳定性与不稳定性的统一,完全性与不完全性的统一,自相似性与非相似性的统一的世界。显然,以往那种只追求有序,精确,简单的观点是不全面的。因为牛顿力学所描绘的世界是一副静态的,简单的,可逆的,确定性的,永恒不变的自然图景,形成了一种关于“存在”的机械自然观。而
15、人们真正面临的世界却是地址变迁,生物进化,社会变革这样一幅动态的,复杂的,不可逆的,随机性的,千变万化的自然图景,形成的是关于“演化”的自然观。因此,只有抓住复杂性并对它进行深入研究,才能为人们描绘一个客观的世界图景。这说明混沌是一种关于过程而不是关于状态的科学,是关于演化的科学而不是关于存在的科学。混沌研究的重要特点就是跨越了学科界限。混沌学的普适性,标度律,自相似性,分形,奇怪吸引子,重整化群等概念和方法,正超越原来数理学科的狭窄背景,走进化学,生物学,地学,医学及至社会科学的广阔天地。混沌现象是丝毫不带随机因素的固定规律所产生的,研究动态系统的混沌机制在今天有更好的现实意义:它说明精确的
16、预测从原则上讲是能够实现的,加上计算机的快速跟踪,就能够深入探讨各种非线性系统的特征,开创了模型化的新途径。现如今,混沌已成为各学科关注的一个学术热点。确定性系统的混沌使人们看到了普遍存在于自然界而人们多年来视而不见的一种运动形式。4混沌无所不在,它存在于大气中,海洋湍流中,野生动植物种群数的涨落中,风中飘拂的旗帜中,心脏和大脑的振动中,还有秋千,摆钟,血管,嫩芽,雪花等之中。世界是混沌的,混沌遍世界!目前,许多科学家都在利用非线性动力学的方法来研究混沌运动,探索复杂现象的无序中的有序和有序中的无序,就是新兴的混沌学的任务。综上所述,通过对混沌的研究,极大地扩展了人们的视野,活跃了人们的思维。
17、过去被人们认为是确定论的和可逆的某些力学方程,却具有内在的随机性和不可逆性。确定论的方程可以得出不确定的结果,这就跨越了确定论和随机论这两套描述体系之间的鸿沟,给传统科学以很大冲击,在某种意义上使传统科学被改造,这必将促进其他学科的进一步发展 4,5。1.3 非线性系统与混沌研究的发展情况非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。第一个阶段是从 1881 年到 1920 年前后，第二阶段从 20 世纪 20 年代到 70 年代，第三阶段从 20
18、世纪 70 年代至今。人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到 1673 年 Huygens 对单摆大幅摆动等非时性的观察。第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家 Poincare 从 1881 年到 1886 年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线” ，俄罗斯科学家 Lyapunov 从 1882 年到 1892 年期间完成的博士论文“运动稳定性通论” ，以及美国科学家 Birkhoff 在 1927 年出版的著作“动力系统” 。第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家 Krylov、Bogliubov，乌克兰
19、科学家 Mitrpolsky，美国科学家 Nayfeh 等等。他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和工程科学中的许多问题。在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如 Duffing 方程、van der Pol 方程、Mathieu 方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。近年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展。随着非线性动力学理论和相关学科的发展，人们基于非线性动力学的观点以及现代数学和计算机等工具，对工程科学等领域中的非线性系统建立动5力学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略。一系列成功的实践使人
20、们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现出的分岔、混沌和分形等复杂非线性现象具有正确的认识和理解 1,10。随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学理论正在从低维向高维发展，非线性动力学理论和方法所能处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近实际系统。在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象已经发生了变化。人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学特性的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求；而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类 6,8。高维乃至无限维非线性系统的分岔和混沌动力学是
21、目前国际上非线性动力学领域的前沿课题，并且已经列入我国力学学科“十五”发展规划 10。当代科学对混沌,分形的研究才刚刚开始,目前仍处于具体分析阶段,尚未奠定统一的理论基础,因而对它们的深入研究还有待于科学的进一步发展。对混沌,分形进行广泛,深入和细致的研究,无论在理论上还是在应用上都具有重大而深远的意义,它们代表了时代发展的方向,可以预言,21世纪将是非线性科学迅猛发展的时代 4。62.混沌及其特征2.1 混沌的定义系统的混沌行为是非常复杂的，人们对这种力学行为的复杂性尚无一个统一的定义来描述 3。众多的文献中，人们常根据侧重点的不同或偏好的不同用拓扑熵、混合性、连续能量谱等来刻画混沌。其中从
22、数学角度定义的广为人知的混沌定义是 R.L.Devancy 定义 4。设 是一个度量空间， 是混沌的，是指它满足：XXF:(1) 的周期点在 中稠密。F(2) 是拓扑可迁的。(3) 是初值敏感的。条件(1)说明一个系统的渐近状态的不可分割性，即不能分成两个互不相关的状态。条件(2)说明 在 中具有准遍历性，从而也具有准回归FX性。条件(3)表明系统的不可预言性。2.2 混沌运动的特征混沌运动在自然界中是客观存在的，它是一种有界的、不规则的、更复杂的运动形式，并具有以下主要特征 4,5：(1)长期运动对初值的极端敏感依赖性，即长期运动的不可预测性，通常称为“蝴蝶效应” 。(2)运动轨迹的无规律性，相空间的轨迹具有复杂、扭曲、缠绕的几何结构。 （所谓相空间就是由所要研究的物理量本身作为坐标分量所构成的广义空间，系统的任意状态相当于相空间中的一个代表点，系统的状态随时间变化过程对应于代表点在相空间中的变化。 ）(3)是一种有限范围的运动，即在某种意义下（以相空间的有限区域为整体来看）不随时间而变化。
