1、1初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1. O 1、O 2相交于 A、B,O 1的弦 BC 交O 2于 E,O2 的弦 BD 交O 1于 F,求证: （1）若DBA=CBA,则 DF=CE; (2) 若 DF=CE,则DBA=CBA. ABCE FO1 O2证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD在O 1中,由CBA=DBA 得 AC=AF在O 2中,由CBA=DBA 得 AE=AD由 A、C、B、E 四点共圆得1=2由 A、D、B、E 四点共圆得3=4所以ACEAFDDF=CE(2)由（1）得1=2,3=4DF=CEACEAFD2AD=AE在O 2中,由 AD=AE 可得DBA=CB
2、A2. 在ABC 中,AC=BC,ACB=90 O ,D 是 AC 上的一点,AEBD 的延长线于 E,又 AE= BD,12求证:BD 平分ABC.A BCDEF证明:延长 AE,BC 交于点 FEDBC90 ADEC A BFF11E22BDAC又又又 平 分即 平 分3. 已知在凸五边形 ABCDE 中,BAE=3 ,BC=CD=DE,且BCD=CDE=1802 ,3求证:BAC=CAD=DAE. ABC DE证明:连接 BD,得 CBD 是等腰三角形且底角是CDB=180(1802 )2= .BDE=(1802 )- =1803A、B、D、E 共圆同理 A、C、D、E 共圆BAC=CA
3、D=DAE4. 设 H 为锐角ABC 的垂心,若 AH 等于外接圆的半径.求证:BAC=60 AB CHD证明:过点 B 作 BDBC,交圆周于点 D,连结 CD、ADDBC=90, CD 是直径,则CAD=90C4由题,可得 AHBC, BHACBDAH, ADBH 四边形 ADBH 是 AH=BD又AH 等于外接圆的半径(R) BD=R,而 CD=2R 在 RtBCD 中,CD=2BD,即BCD=30BDC=60又BAC=BDC BAC=BDC=605. 在ABC 中,C=90 o,BE 是B 的平分线,CD 是斜边上的高,过BE、CD 之交点 O 且平行于 AB 的直线分别交 AC、BC
4、 于 F、G,求证AF=CE.CEABDFGO123456证明:如图13,1=2.2=3,GB = GO, 5=4=6,CO =CE, FGAB,AFCF=BGCG=GOCG,又FCOCOG,COCF=GOCG=AFCF,CO=AF,CO=CE,AF=CE. 56. 在ABC 中,先作角 A、B 的平分线,再从点 C 作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点 D、E,若 DEBA,求证:ABC 等腰.CA BDE证:如图所示设 AC、ED 的交点为 FAD 是A 的平分线 1=2DEAB 1=3CEAD 3=5, 4=21=2=3=4=5则FAD 和FCE 是等腰三角形AF=DF,EF=CF
5、AC=DE同理可证 BC=DEAC=BCABC 是等腰三角形67. 三条中线把ABC 分成 6 个三角形,若这六个三角形的内切圆中有 4 个相等.求证:ABC 是正三角形r rOF EDB CAHIG L KJ证明:AOF、AOE、COD、COE、BOF、BOD 面积都相等S OFB =SOEC即: BFr+ FOr+ BOr= CEr+ OEr+ OCr212121(BF+FO+BO)r= (CE+OE+OC)r22BF+FO+BO=CCE+OE+OCCE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ2DH+2BH=2FK+2CK2BF=2CE7又 F、E 分别为 AB、AC 之中点
6、AB=AC同理:AB=BC故ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.ABDCEFIHGO证明:又AOB、BOC 、COD、DOA 四个三角形的面积相等1122ODCrOBrCEGIOG22DFCBH四边形为菱形89. 凸四边形被对角线分成 4 个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .ABDCPNO1O2OO3O4MQ证明:连结 O1 、O 2,分别作 O1 、O 2 到 AC 的垂线,垂足分别为 P 、M在ABC 中,BO 是O 1 、O 2的公切线BOO 1 O2又O 1 、O 2半径相同,且都与 AC 相切O 1
7、O2ACBOAC BDAC两个相等的内切圆O 1 、O 3在对顶三角形AOB 与COD 中周长 CAOB =CCODAO+BO+AB=CO+DO+CD又OP=OQ=OM=ON（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)2AB=2CDAB=CD同理 AD=BC9四边形 ABCD 是平行四边形又ACBD四边形 ABCD 是菱形10. 在锐角ABC 中,BD,CE 是两高,并自 B 作 BFDE 于 F,自 C 作CG DE 于 G,证明:EF=DG.MGOFEDCBA证明:设 O,M 分别是 BC,FG 的中点,所以 OMBF,因为 BFFG, 所以 OMFG,又因为
8、BEC=BDC= 90所以 BCDE 四点在以 BC 为直径的圆上,因为 OMDE,所以 OM 平分 ED,所以 FM-EM=MG-MD即 EF=DG.1011. ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心,BC 与内切圆相切与 K.求证:直线 IM 平分线段 AK.IOMLKHGFEDCBA证明:作出A 的旁切圆 O,设它与 BC 边和 AB,BC 的延长线分别切于 D,E,F,（如图）连接 AD 交内接圆于 L,则因内接圆和旁切圆以 A 为中点成位似,则:ILBC,即 K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化 MI 平分 AK,M 平分 DKBD=KC后者利用圆 I 与圆 O 两条外公切线相等EG=FHBD+BK=CD+CK
