1、本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 1 页（共 15 页）导数压轴题之隐零点问题导数压轴题之隐零点问题(共 13 题)1已知函数 f（x）=（ae xax）e x（a0，e=2.718，e 为自然对数的底数） ，若f（x）0 对于 xR 恒成立（1）求实数 a 的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点 x0，且 【解答】 （1）解：f（x） =ex（ae xax）0，因为 ex0，所以 aexax0 恒成立，即 a（e x1）x 恒成立，x=0 时，显然成立，x0 时，e x10，故只需 a 在（0，+）恒成立，令 h（x）= ， （x 0） ，h（x）=
2、 0，故 h（x）在（0，+）递减，而 = =1，故 a1，x0 时，e x10，故只需 a 在（，0）恒成立，令 g（ x）= ， （x0） ，g（x ）= 0，本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 2 页（共 15 页）故 h（x）在（，0）递增，而 = =1，故 a1，综上：a=1；（2）证明：由（1）f （x）=e x（e xx1） ，故 f（x）=e x（2e xx2） ，令 h（x ）=2e xx2，h （x）=2e x1，所以 h（x）在（，ln ）单调递减，在（ln ，+）单调递增，h（0 ）=0，h（ln ）=2eln ln 2=ln210，
3、h（2）=2e2（ 2）2= 0，h（2）h（ln ）0 由零点存在定理及 h（x）的单调性知，方程 h（x）=0 在（2，ln ）有唯一根，设为 x0 且 2ex0x02=0，从而 h（x）有两个零点 x0 和 0，所以 f（ x）在（，x 0）单调递增，在（x 0，0）单调递减，在（0，+）单调递增，从而 f（ x）存在唯一的极大值点 x0 即证，由 2ex0x02=0 得 ex0= ，x 01，f（ x0）=e x0（e x0x01）= （ x01）= （x 0） （2+x 0） （） 2= ，取等不成立，所以 f（x 0） 得证，又2x 0ln ，f（x）在（ ，x 0）单调递增所以
4、f（ x0）f （2）=e 2e2（2） 1=e4+e2e20 得证，从而 0f（x0） 成立2已知函数 f（x）=ax +xlnx（aR）（1）若函数 f（x）在区间 e，+）上为增函数，求 a 的取值范围；本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 3 页（共 15 页）（2）当 a=1 且 kZ 时，不等式 k（x 1）f（x ）在 x（1，+）上恒成立，求k 的最大值【解答】解：（1）函数 f（x ）在区间e ，+）上为增函数，f（x）=a+lnx+10 在区间e，+）上恒成立，a （ lnx1） max=2a 2a 的取值范围是2，+） （2）a=1 时，
5、f（x）=x+lnx，kZ 时，不等式 k（x 1）f （x）在 x（1，+）上恒成立，k ，令 g（ x）= ，则 g（x ）= ，令 h（x）=x lnx2（x1） 则 h（x ）=1 = 0，h （x ） 在 （1，+）上单增，h（3）=1ln30，h（4）=2 2ln20，存在 x0（3， 4） ，使 h（x 0）=0即当 1xx 0 时 h（x） 0 即 g（x ）0xx 0 时 h（x）0 即 g（x ）0g（ x）在 （1，x 0）上单减，在 （x 0+）上单增令 h（x 0）=x 0lnx02=0，即 lnx0=x02，g（ x） min=g（x 0）= = =x0（3，4）
6、kg（x） min=x0（3，4） ，且 kZ，k max=33函数 f（x）=alnx x2+x，g（x）= （x2）e xx2+m（其中 e=2.71828） （1）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 4 页（共 15 页）（2）当 a=1，x（0，1时，f（x）g（x ）恒成立，求正整数 m 的最大值【解答】解：（1）函数 f（x ）定义域是（0，+） ，（i）当 时，1+8a0，当 x（0，+）时 f（x）0，函数 f（ x）的单调递减区间是（ 0，+） ；（）当 ，2x 2+x+a=0 的两根分别是：，
7、，当 x（0，x 1）时 f（x） 0函数 f（x）的单调递减当 x（x 1，x 2）时 f（x）0，函数 f（x）的单调速递增，当 x（x 2，+ ）时 f（x）0，函数 f（x）的单调递减；综上所述， （i）当 时 f（x）的单调递减区间是（0，+） ，（）当 时，f（x ）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和（2）当 a=1，x（0，1时，f（x）g（x ） ，即 m（x+2）e xlnx+x，设 h（x）=（ x+2）e xlnx+x，x （0，1， ，当 0x1 时，1x0，设 ，则 ，u（x）在（0，1 ）递增，又u（x）在区间（0，1上的图象是一条不间断的曲线，且 ， 使得 u
8、（x 0）=0 ，即 ，当 x（0，x 0）时，u（x） 0，h（x）0；当 x（x 0，1 ）时，u（x） 0，h（x）0；函数 h（x）在（0，x 0单调递减，在x 0，1）单调递增， = ，本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 5 页（共 15 页） 在 x（0 ，1）递减， ， ，当 m3 时，不等式 m（ x+2）e xlnx+x 对任意 x（0，1恒成立，正整数 m 的最大值是 34已知函数 f（x）=e x+alnx（其中 e=2.71828，是自然对数的底数） （）当 a=0 时，求函数 a=0 的图象在（1，f（1） ）处的切线方程；（）求证
9、：当 时，f（x ）e +1【解答】 （）解：a=0 时， ，f（ 1）=e ，f（1）=e1，函数 f（x ）的图象在（ 1，f（1） ）处的切线方程：ye=（e 1） （x 1） ，即（e1）xy+1=0；（）证明： ，设 g（ x）=f（x） ，则 ，g （x）是增函数，e x+a ea，由 ，当 xe a 时， f（x）0；若 0x1e x+ae a+1，由 ，当 0xmin 1，e a1时，f（x）0，故 f（x）=0 仅有一解，记为 x0，则当 0xx 0 时，f（x）0，f（x ）递减；当 xx 0 时， f（x）0，f（x ）递增； ，而 ，本资料分享自千人教师 QQ 群 32
10、3031380 高中数学资源大全第 6 页（共 15 页）记 h（x）=lnx+x，则 ，a h（x 0）h （ ） ，而 h（x）显然是增函数， ， 综上，当 时，f（x ）e +1本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全5已知函数 f（x）=axe x（a+1） （2x 1） （1）若 a=1，求函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）当 x0 时，函数 f（ x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）若 a=1，则 f（x）=xe x2（2x1） ，当 x=0 时，f（0）=2，f （x）=xe x+ex4，当 x=0 时，
11、f（0）=3，所以所求切线方程为 y=3x+2（3 分）（2）由条件可得，首先 f（1）0，得 ，而 f（x）=a（x+1）e x2（a +1） ，令其为 h（x） ，h（x）=a（x+2）e x 恒为正数，所以 h（x）即 f（x）单调递增，而 f（0）= 2a0，f （1）=2ea 2a20，所以 f（x）存在唯一根 x0（0，1，且函数 f（x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0+）上单调递增，所以函数 f（x）的最小值为 ，只需 f（ x0）0 即可，又 x0 满足 ，本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 7 页（共 15 页）代入上式可得 ，x
12、 0（0，1， ，即：f（ x0）0 恒成立，所以 （13 分）6函数 f（x）=xe xax+b 的图象在 x=0 处的切线方程为： y=x+1（1）求 a 和 b 的值；（2）若 f（x）满足：当 x0 时，f（x ）lnx x+m，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）=xe xax+b，f（x）=（x+1）e xa，由函数 f（x ）的图象在 x=0 处的切线方程为：y= x+1，知：，解得 a=2，b=1（2）f（x ）满足：当 x0 时，f（x ）lnx x+m，mxe xxlnx+1，令 g（ x）=xe xxlnx+1，x0，则 = ，设 g（x 0）=0，x 00
13、，则 = ，从而 lnx0=x0，g（ ）=3 （ ）0，g（1）=2（e1）0，由 g（ ）g（1）0，知： ，当 x（0，x 0）时，g（x）0；当 x（x 0，+ ）时，g（ x）0，函数 g（x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 8 页（共 15 页）g （x） min=g（x 0）= x0lnx0= x0lnx0=x0 x0+x0=1mxe xxlnx+1 恒成立 mg （x ） min，实数 m 的取值范围是：（ ，1本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全7已
14、知函数 f（x）=3e x+x2，g （x ）=9x 1（1）求函数 （x）=xe x+4xf（x ）的单调区间；（2）比较 f（x）与 g（x ）的大小，并加以证明【解答】解：（1）（x）= （x 2） （e x2） ，令 （x）=0，得 x1=ln2，x 2=2；令 （x）0，得 xln2 或 x2 ；令 （x）0，得 ln2x2故 （x）在（，ln2）上单调递增，在（ln2，2）上单调递减，在（ 2，+）上单调递增（2）f（x ）g （x ） 证明如下：设 h（x）=f（x）g（x）=3e x+x29x+1，h（x）=3e x+2x9 为增函数，可设 h（x 0）=0，h（ 0）=60，
15、h（1）=3e70 ，x 0（0，1） 当 xx 0 时， h（x）0；当 xx 0 时，h （x）0h（x） min=h（x 0）= ，又 ， ， = =（ x01） （x 010） ，x 0（0，1） ，（x 01） （x 010）0，h（x） min0，f（x）g（x） 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 9 页（共 15 页）8已知函数 f（x）=lnx +a（x 1） 2（a0） （1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，证明： 【解答】解：（1） ，当 0a2 时，f（x）0，y=f （x ）在（0，+
16、）上单调递增，当 a2 时，设 2ax22ax+1=0 的两个根为 ，且，y=f（x）在（0，x 1） ， （x 2，+）单调递増，在（x 1，x 2）单调递减（2）证明：依题可知 f（1）=0 ，若 f（x）在区间（ 0，1）内有唯一的零点 x0，由（1）可知 a2，且 于是： 由得 ，设 ，则 ，因此 g（ x）在 上单调递减，又 ，根据零点存在定理，故 9已知函数 f（x）= ，其中 a 为常数（1）若 a=0，求函数 f（x）的极值；（2）若函数 f（x）在（0， a）上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 a=1，设函数 f（x ）在（0，1）上的极值点为 x0，求证：f（x
17、0） 2【解答】解：（1）f（x） = 的定义域是（0，+） ，f（x）= ，本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 10 页（共 15 页）令 f（x）0，解得 0x ，令 f（x）0，解得： x ，则 f（x）在（0， ）递增，在（ ，+）递减，故 f（x） 极大值 =f（ ）= ，无极小值；（2）函数 f（x）的定义域为 x|x0 且 x a= ，要使函数 f（x）在（0，a）上单调递增，则 a0，又 x（0，a）时，ax+a0，只需 1+ 2lnx0 在（0， a）上恒成立，即 a2xlnxx 在（0 ，a）上恒成立，由 y=2xlnxx 的导数为 y=2（1+lnx） 1=1+2lnx，当 x 时，函数 y 递增，0x 时，函数 y 递减，当a 即 a0 时，函数递减，可得 a0，矛盾不成立；当a 即 a 时，函数 y 在（0， ）递减，在（ ，a）递增，可得 y2aln（a）+a，可得 a2aln（a）+a ，解得 1a0，则 a 的范围是1，0） ；（3）证明：a=1，则 f（x ）=导数为 f（x） = ，设函数 f（x ）在（0，1）上的极值点为 x0，可得 12lnx0 =0，即有 2lnx0=1 ，
