1、求值域方法求值域方法 常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例 1、求函数1,2yx的值域。例 2、 求函数 3的值域。【同步练习 1】函数 的值域. 21xy（2） 、配方法：二次函数或可转化为形如 类的函数的值域问题，均可用配cxbffaxF)()()(2方法，而后一情况要注意 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。)(xf例 1、求函数25,yR的值域。例 2、求函数 2,1x,2的值域。例 3、求 。 （配方法、换元法）2log
2、6logl 22 xy例 4、设 ，求函数 的值域0x 1()43xfA例 5、求函数 的值域。 （配方法、换元法）3y例 6、求函数 的值域。 （配方法）x22【同步练习 2】1、求二次函数 （ ）的值域. 4y1,42、求函数 的值域. 32xe3、求函数 的最大值与最小值. ,24、求函数 的最大值和最小值. )8,1(4log2lxy5、已知 ，求函数 的值域. 0,x235xf6、若 ,试求 的最大值。y0yylg（3） 、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着
3、的实质，发现解题方向，这就是换元法在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域例 1、求 的值域 ()1fxx【同步练习 3】求函数 的值域。y2例 2、求函数 的值域。21x【同步练习 4】求函数 254y的值域。【同步练习 5】1、求函数 的值域. xy212、求函数 2)(的值域。3、已知函数 的值域为 ，求函数 的值域. )(xf95,83)(21)(xffy（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 1、求函数 的值域。3sinxy例
4、2、求函数 的值域。co21【同步练习 6】求函数xey，2sin1y，2sin1coy的值域.（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 1、 求函数 23(0)()xxf在 的值域例 2、 求函数 22)8x()(y的值域.例 3、求函数 5x413x6y22的值域.例 4、
5、求函数 5x413x6y22 的值域.【同步练习 7】1、求函数 的值域. 2、求函数 的值域. 31yx3、求函数 的值域. 224548x4、求函数 的最大值. xf（6）均值不等式法：利用基本关系 两个正数的均值不等式 在应用时要注意,0)(2xf ab2“一正二定三相等”；利用基本不等式 abc3a,b2a)R,(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 1、求函数 的值域)1(2xxy例 3、 求函数4)xcossin(i 22的值域.（7） 、根判别式法：对于形如 （ ， 不同时为 ）的函数常采用
6、此法，就是把函2112abyxca20数转化成关于 的一元二次方程（二次项系数不为 时） ，通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于x0零，求得原函数的值域对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:. 12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： y1xc 型 通 常 用 判 别 式nxdy型 法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ +） （ x1） 1 例 ： y（ x+） 2例 1、求函数 的值域 2
7、1x例 2、求函数 )2(y的值域.【同步练习 8】1、求函数 的值域. 2581xy2、求函数 的值域. 2x3、函数 的定义域为 ，值域为 ，求 的值.2813()logaxbf(,)0,2,ab4、设函数 的值域为 ，求 a,b . 2yfx51,5、已知函数 y=f(x)= 的值域为1,3,求实数 b,c 的值. 02bc（8） 、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域例 1、求
8、函数 的值域21xy例 2、求 的值域.2x（9）、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 1、求函数23xy的值域 .多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例 1、求下列函数的值域：（1） ； （2） ； （3） ；23yx265yx12xy（4） ； （5） ； （6） ；1|4|（7） ； （8） ； （9）21xy2()xy1sin2coxy解：（1）法一：公式法（略）法二：（配方法） ，2213
9、3()6yxx 的值域为 23yx,)1【拓展】求函数 ， 的值域2yx,3x解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，2y1,3x当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 1x426函数 ， 的值域为 23y1,3x,6（2）求复合函数的值域：设 （ ） ，则原函数可化为 25x0y又 ， ，故 ，265()4xx40,2 的值域为 y0,2（3） （法一）反函数法： 的反函数为 ，其定义域为 ，31xy213xy|3xR原函数 的值域为 12xy|R（法二）分离变量法： ，31(2)732xyx ， ，702x72函数 的值域为 31y|yR（4）换元法（代数换元法）：设 ，
10、则 ，10tx21t原函数可化为 ， ，2214()5(0)yttt5y原函数值域为 (,5说明：总结 型值域，变形： 或yaxbcd22yaxbcd2yaxbcd（5）三角换元法： ，设 ，2101xos,0,则 cosinsi()4y ， ， ，0,5,2sin(),1 ，2sin()1,24原函数的值域为 ,（6）数形结合法： ， ，23(4)|1|4|51xyxx5y函数值域为 5,)（7）判别式法： 恒成立，函数的定义域为 210xR由 得： 2y2()()20yxy当 即 时，即 ，030当 即 时， 时方程 恒有实根，2yxR2()(1)20yxy ， 且 ，2(1)4()yA1
11、5原函数的值域为 ,5（8） ，2 11()1222xxyxx ， ， ，当且仅当 时，即2x0112()2xx12x时等号成立 ，原函数的值域为 12x12y12,)（9） （法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为： ，sincosxyy （其中 ） ，21sin()12yxy221cos,i1 ， ， ， ，2i(),y|y340y43y原函数的值域为 40,3（法二）数形结合法：可看作求点 与圆 上的点的连线的斜率的范围，解略(2,1)21xy例 2、若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围 （综合）x|3(xaa解：原方程可化为 ，|2)a令 ，则 ， ，又 在区间 上是减函数，
12、|3xt01t2()3ft()ft(0,1 ，即 ，(1)()ftf21故实数 的取值范围为： aa例 3、 求函数 3xy的值域。 （换元法、不等式法）解：令 )0t(2t，则 1t2（1）当 t时， t1ty，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以 21y0（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为： 2,0注：先换元，后用不等式法【拓展练习】 （共 11 题，附答案）一、选择题1、下列函数中，值域是（0，+）的函数是A B C D15xyxy211)2(xyxy1)3(2、已知 （ 是常数） ，在 上有最大值 3，那么在 上的最小值是32()6fa, 2,A B C D 51
13、29373、已知函数 在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是32xyA、 1，+） B、0，2 C、 （-，2 D、1，24、 （04 年天津卷.文 6 理 5）若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，)10(log)(axf ,a则 a=A. B. C. D. 24125、 （04 年湖北卷.理 7）函数 上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为()log(1)0,xaf在（A） （B） （C）2 （D）4416、若 ，则 的最小值是_ 的最大值是_2yx1x3yx7、已知函数 的值域为 R，则实数 的取值范围是_)lg(2aa8、下列函数的值域分别为：（1）
14、 （2） （3） （4） .（1） （2） （3） （4）1exyxy25.03xy452xy9、已知函数 的值域为 ，求实数 的值。)(1)(2bxcf ,1cb,10、已知二次函数 满足条件： 且方程 有等根， )0()(2abxxf )3()5(xff xf)(求 的解析式； 是否存在实数 ，使得 的定义域为 ，值域为 。)(xf ,nm,nm3,n11、已知函数 ),12)(xaxf（1） 当 时，求函数 的最小值 ；1a(f（2） 若对任意 ， 恒成立，试求实数 的取值范围。),xx0a答案：同步练习 g3.1011 函数的最值与值域15、DDDAB 6、 ； 7、0,1 34512
15、8(1)(-1,1) (2) (3)R (4) 0,9、 10(1) (2) 9(1) (3)2,bc2()fxx4,0mn723a1、函数 的值域为 （分离常数法）21xy(0,1)2、若函数 在 上的最大值与最小值之差为 2，则 （函数单调性法）()logafx2,4 a2或【拓展练习】（）一、选择题1、函数 y=x2+ (x )的值域是( )（函数单调性法）12A.(, B. ,+47 47)C. ,+ D.(, 23) 322、函数 y=x+ 的值域是( )（换元法） （配方法）1A.(,1 B.(,1 C.R D.1,+ )1、函数 f(x)a x+loga(x+1)在0,1上的最大
16、值和最小值之和为 a,则 a 的值为( )（）A. B. C.2 D.44212、函数 ylog 2x+logx(2x)的值域是( ) （）A.(-,-1 B.3,+) C.-1,3 D.(-,-13,+)3、已知 f(x)是奇函数,且当 x0 时,f(x)x 2+3x+2.若当 x1,3时,nf(x)m 恒成立,则 m-n 的最小值为( )A. B.2 C. D.49 43414、把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2 C. cm2 D. cm23 35、在区间1.5,3上,函数 f(x)x 2+bx+c 与函数 同时取到相同的最小值,则函数 f(x)1)(xg
