1、1第 3 章习题解答3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1) ； (2) ；2,xyzABxC,xyzA(3) ； (4) 。sinz2sincorr解：已知空间的电位分布，由 和 可以分别计算出电场强度和体电荷密度。E20/(1) xEe 02(2) yzAzex(3) (2sin)coszBAeB 200 04in3inz (4) sicocssrEeAerer 200 2oc6niniAA 3.5 如题 3.5 图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为 的面电0S荷。试求球心处的电位。解：上顶面在球心产生的电位为 2001111()()2SSd
2、Rd下顶面在球心产生的电位为 200222()()SS侧面在球心产生的电位为 030144SR式中 。因此球心总电位为 212124()()()SRddd03SR3.6 有 和 的两种介质分别分布在 和 的半无限大空间。已知 时，0050z0z。试求 时的 。21xyzEeeV/mD解：由电场切向分量连续的边界条件可得1t2tE005251xyz代入电场法向方向分量满足的边界条件可得1n2z于是有 0005xyzzDee3.9 如题 3.9 图所示，有一厚度为 的无限大平面层，其中充满了密度为d的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层0cosxxd之内以及平面层以外各区域的电位和电场
3、强度。2解：由对称性可知 ，即 。设各区域中的电位和电场强度分别0yz222dxyzx为 ， ， 和 ， ， 。由电位所满足的微分方程1231E2302dcosxxd2d0x23d0x解得011sindxCx2dCx3dCx2011coDd22D33D由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为时 x12120dx时 d33又根据对称性可知，在 的平面上，电场强度是为零的，即 时， 。最后再选择零电位参考点0x 0x1dx使得 时， 。联立解得0x1。0321C201dD2023dD只要利用 就可以得到dxEe时， dx20333d0xEe时 22001cosdx011 sinxxdxe时，
4、dx202 22dxE 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 根据对称性只需求出 的解，即 和 。0x1233.10 位于 和 处的两个无限大导电平面间充满了 的体电荷。若将 处的导电平xd 01xd0x板接地，而将 处的导电平板加上电压 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。0U解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与 有关，且满x足一维泊松方程320d(1)xxd其通解为 320012()6xC由 而由 (0)02C0dU03d因此板间电位分布为 32000()6xxxd板间电场强度为 2000()3xUEex从该式
5、可以求出电场强度为零的位置为 20002 0004()24 1()3dUdbacx d 由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为 )32(100dUx3.11 如题 3.11 图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质 和 。当两极板之间外12加电压 时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。0U解：对于图 a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与 有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面x的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为 CxD根据已知条件 和 ，解得0x02dU和 ，即平板电容器中的电位分布为D2d0x根据 ，可以得到平板电容器中的电
6、场分布E为 0d2xxUe对 平板上 ，面电荷密度分别为0xn 01nn2 S ySdeDE上下总电量为 0012120USQSUdd电容器的电容为4120QSCUd对于图 b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与 有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电x位分布的通解可以分别设为和 11xD22CD根据已知条件 和 ，以及分界面处的边界条件 和10x20xd 12xdxd可以解得12xdxd和 201Uxd2001Uxd根据 ，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为E和 012111dxxe 02122 2dxxUEed对 平板上 ，面电荷密度为0xn 012nn1 S xUeD总电
7、量为 012SSQd电容器的电容为 0CU3.12 已知在半径为 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为 的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为a 0和 。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。0解：取定圆柱坐标系，使 轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知 与 和 无关。圆柱z z体内外的电位 和 分别满足12和 01d 02d1它们的通解可以分别表示式为和 20111ln4CD22lnCD由轴线上的电位应为有限值可得 。而由圆柱体的表面电位为零可得1和 20a22l0a即 和 2014n于是有 和 12lCa代入圆柱体表面电位的法向导
8、数的边界条件 得到 ，即 。10rara02Ca202a最后得到圆柱体内外的电位分别为和 2014202ln5而圆柱体内外的电场强度分别为和 0111d2Ee 20222daEe3.13 如题 3.13 图所示，半径为 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为 。其a l一半埋于介电常数为 的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解：根据题意，空间中电位分布与 和 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即z21122d0r介 质 中空 气 中将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为和 11lnCD22lnCD根据不同介质分界面电位的连续性可知 和 ，即211l若设无限长导体圆柱上电位为 0，
9、也即 ，可得 ，即()0aaln导体圆柱的面电荷密度为 0SC介 质 中空 气 中单位长度导体圆柱的电量为 la即 0()lC于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为和 0ln()la0()lEe3.14 如题 3.14 图所示同轴电容器，其中部分填充了介质 ，其余是空气。当外加电压 时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。0U解：根据题意，空间中电位分布与 和 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即z21122d0r介 质 中空 气 中将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为和 11lnCD22lnCD根据不同介质分界面电位的连续性可知 和 ，即211l6由 和 可得到 0a0
10、bU和 lnDCa0lnUCbD可以解得和 0/lb0l/a因此电容器内电位和电场强度的分布分别为和 0lnUab 0d1lnUEeba利用 可以计算出电容器内面电荷密度分布为nSeD和 01 lSba 01 lnSba那么单位长度总电荷为 0000(2)112lnlnlUUQbbbaa因此单位长度的电容为 0012lnCba3.15 在介电常数为 的无限大介质中，均匀分布体密度为 的电荷。若在该介质中挖了一个半径为 的球形 00R空腔（腔中的介电常数可视为 ） 。利用直接积分法求出各处的电位分布 和电场强度 。 （以球面为零电0 E位参考点）解：根据场的对称性可知 ，即 。设球形空腔内外的电
11、位分别为 和 。221dr 12解 和 得21d0r20dr和 11DrC22026DrC考虑到 时，场应是有界的，即 。再利用边界连续条件 时， ，0r 01 0R21以及给定的零电位参考点，即 时， ，联立解得120d0Rr21, 和1DC3202D由此可得，0126030202 Rr7，011E 2300222 rRedrE3.16 顶端夹角为 的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为02时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。0U解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标 的函数，满足一维的拉普拉斯方程21sin0ir即 i将上述方
12、程分别直接积分两次，得出通解为 lnta2CD利用边界条件 和 解得0U/20和 0lnta2U0由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为和 0ltalnt2U 011sinlnta2UEerr3.17 如题 3.17 图所示，由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩形管，内填空气，但两者之间有一缝隙。当外加电压 时，利用直角坐标0U系分离变量法求出矩形管内的电位分布。解：定解问题为 ， ， 以及020y0yb和 0/2xUd /2/xady设 ，其中 和 的满足的定解问题分别为00121yb12， ， ， 和1201y10yb10x01/2/xaUyb， ， ， 和2
13、20y2yb2xa0202/xybU8由定解问题的边界条件 和 很容易得到10y10yb11sinhcoshinnxxyABb由 ，则 ，因此上式变成10x2A1siin代入边界条件 ，则得到01/2/xaUyb01 /2sinhi /UybayAb利用正弦函数的正交性可以得到 /20 00 /2sinhsindsindb bayyUb 积分得到 /01sihnnAab由定解问题 ， ， ， 可知2020y2yb2xa1sinhsinyCb代入边界条件 ，则得到020/2/xUyb/201sinhnnUCab最后得到电位分布为 /2002,46 sinh1cosh1coinn xUyxaybd
14、 3.18 求题 3.18 图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：（1） ， ；0234（2） ， ， ；U1n0（3） ， ；0sicoyb124（4） ， ， 。20E1403n9解：（1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sinhcossincosyyyyxyCkxkxDk由边界条件 可以得到240和 20D,3yb即 112,sinsihcoshnxnxxyCb为了求解方便可以将上式改写为 112,sinsihcoshaxaxyxyDbbb 如此一来，由边界条件 可以直接得到 ，于是有3020C,sinhaxyxyEb式中， 。将上式对 求和，可将此边值问题的解
15、写成1DCEnn1,23siinn xy 最后，将边界条件 代入上式，得10U01,23siinhnnyaEb利用三角函数的正交性可以得到 00 41,352sinhsindsih 2,46bn UaUyEab 最后得到电位分布为 01,35 4sinihihn axyab （2）根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sincosinhcosxxxxxyCkDkyky由边界条件 和 可以得到10n3212,cosinhcoshxyyxyaa1,23n由边界条件 可以得到4010,cosinh2nxyxyEa1,23n式中， 。将上式对 求和，可将此边值问题的解写成1DCEn1,23,
16、csi2nnxya最后，将边界条件 代入上式，得20U1,23cosih2nnxyEa利用三角函数的正交性可以得到 1020 41,352sinhsindsih 2,46an UbUxEba 最后得到电位分布为 1021,354cosinh2sinhn xyba（3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sihcossicosyyyyxyCkxkxDk由边界条件 可以得到240112,sinsihcoshynxnxxyDCbb1,23由边界条件 可以得到10,sinhixyxyEb1,23n式中， 。将上式对 求和，可将此边值问题的解写成1DCEn 1,23,siinnxyb最后，将边界条件 代入上式，得0304sicoiiUyUb0 1,2324inisinhinxyEb比较系数可以得到和 02sihUEab041sinhUab其余的系数均为零。最后得到电位分布为
