1、1第 2 章 随机变量及其分布习题 21设有函数其 它 ，,0,sin)(xxF试说明 能否是某随机变量的分布函数。解：不能，易知对 ，有：21x1 121(),PxXPXxFx又 ，因此 在定义域内必为单调递增函数。)(,0F然而 在 上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。)(F2筐中装有 7 只蓝球，编号为 1，23，4，5，6，7.在筐中同时取 3 只，以 表示取X出的 3 只当中的最大号码，写出随机变量 的分布列。解： 的可能值为 3，4，5，6，7。在 7 只篮球中任取 3 个共有 种取法。X 7C表示取出的 3 只篮球以 3 为最大值，其余两个数是 1，2，仅有这一种情
2、况，故 5)(7CP表示取出的 3 只篮球以 4 为最大值，其余两个数可以在 1，2，3 中任取4两个，共有 种取法，故23。56721)(X表示取出的 3 只篮球以 5 为最大值，其余两个数可在 1，2，3，4 中任取52 个，共有 种取法，故24C，6721)(37P表示取出的 3 只篮球以 6 为最大值，其余两个数可在 1，2，3，4，5 中6X任取 2 个，共有 种取法，故25，51074)(37C表示取出的 3 只篮球以 7 为最大值，其余两个数可在 1，2，3，4，5，6中任取 2 个，共有 种取法，故26。51)(37XP3. 设 服从 分布，其分布列为 求 的分布函10 ,)(
3、1kkpXP,0X数，并作出其图形。2解： 服从（ 0-1）分布，其分布律为：X0 1Pp1p当 时，0x)(xXPF当 时，1 0当 时，,1)( 1pXP即有： ，其分布图形如下图 2-10,xXFx0y11 - p1。图 2 - 14将一颗骰子抛掷两次，以 表示两次所得点数之和，以 表示两次中得到的小的点数，XY试分别求 与 的分布列。XY解 以 分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为216.,;.,|)(21， S个 样 本 点共 有 36 12,09,875,4321所 有 可 能 的 取 值 为12)6(5,0)4(936,),3( 8)2(6271,5),(5,14)(,3
4、,4)(2),(),取， 取， 取， 取， 取， 取， 取， 取， 取， 取， 取， 分 别 为 ：易 知 当XXX故 X 的分布列如下：X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 1/35 1/363Y 的取值为 1,2,3,4,5,6Y 的分布列为：5试求下列分布列中的待定系数 k（1） 3,21,4. mPvr（2） 3（3） 为常数。0,21,!. kvrm解：（1）由分布列的性质有 64324，所以 。16k（2）由分布列的性质有 kkmP2)31(421 ，所以 。2k或解由所以
5、服从几何分布，.,321,4)31()( mkkmP 故有 。2,34k（3）由分布列的性质有kemkmP000 !1，所以 。ek6进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p 失败的概率为 。)10(1pq（1）将试验进行到出现一次成功为止，以 表示所需的试验次数，求 的分布列。XXY 1 2 3 4 5 6P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/364（此时称 服从以 p 为参数的几何分布。 ）X（2）将试验进行到出现 r 次成功为止，以 表示所需的试验次数，求 的分布列。XX（此时称 服从以 r,p 为参数的巴斯卡分布。 ）（3）一篮球运动员的投篮命中率为 45%。
6、以 表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出 的分布列，并计算 取偶数的概率。解（1）此试验至少做一次，此即 X 可能值的最小值。若需做 k 次，则前 k-1 次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为。,.321,)1(kkpqXP（1）此试验至少做 r 次，若需做 k 次，则第 k 次比为成功，而前 k-1 次中有 r-1 次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为。,.,)(rrk（2）先写出 X 的分布律。它是题（ 1）中 p=0.45 的情形。所求的分布律为 。因 故 X 取偶,.2,5.041kPk ),(kjXj数的概率为 .315.014)5.0(4)2(
7、21211 kkkk XPU7有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有 3 个白球和 2 个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取 4 个球，求从乙袋中取出的 4 个球中包含的黑球数 的分布列。解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为 ，5黑球为 。52（1）假设取出的是白球，乙袋此时为 4 白球 2 黑球。从中取出 4 球，黑球数可为0,1,2，概率如下,15)0(4602CXP,83.15)2(462（2）假设取出的是黑球，乙袋此时为 3 白球 3 黑球，从中取出 4 球，黑球数可为1,2,3.概率如下,)(4613CXP,5922.13)(46综合以上两种情
8、况，又已知从甲袋取出为白球的概率为 ，黑球是 .所以53252513)( 19622503158)(0XPXP分布列为X 0 1 2 3k25051258. 设 服从 Poisson 分布，且已知 ，求 。2XP4解：由于 即 X 的分布律为),( ,.10,!kke于是有 由条件 可得方程,2,1ePeP ,2XP解得 (舍去) 所以 于是 (查,2e0.2),(X09.e!42-表)。9一大楼装有 5 套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻 t 每套系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 套系统被使用的概率是多少?（2）至少有 3 套系统被使用的概率是多少?（3）至多有 3
9、套系统被使用的概率是多少?（4）至少有 1 套系统被使用的概率是多少？解： 以 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X。).0,5(b（3）所求的概率为。0729.)1.(.23P（4）所求的概率为 54XPX23 1.)(.)5.01(.)508648（5）所求的概率为 94.01.5.1P6（6）所求的概率为 40951.).1(015XP10在纺织厂里一个女工照顾 800 个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是 0.005,求在这段时间内断纱次数不大于 10 的概率。解：设纱被扯断的概率是 P，P=0.005.用 X 表示在某段时间内
10、的纱断次数，所求的概率为 ，kkCXP80k108)5.1().)(而利用柏松定理， ，有：4,npn，查表得：.20!4)10(ke97.53.298. 059.142.563.01.1673 11一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为 4 的泊松分布。求（1）每分钟恰有 7 次寻呼的概率。（2）每分钟的寻呼次数大于 10 的概率。解： ,.)10(,!4)(kekXP（1） 0596.83.94.0!67)6()7( 4 e（2） 2.1!0)1(41eXP12. 某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布，参数为 5，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以 0.999
11、的概率满足顾客的需要。解：设 表示商品的月销售量，则由 服从参数为 5 的泊松分布，其概率分布为,.210,!5)(keP由题意，应确定 m 使得 ,01.,9.mP或即01.1mkP，查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初进货时，至少要库存 13 件此种商品。13确定下列函数中的待定系数 a，使它们成为分布密度，并求它们的分布函数。7（1） 其 它 ，,0,1|)1()2xaxf（2） 。efx(|解：（1）因 时 ，且 x 为其他值时， 为 0.1-)1()2af)(xf根据公式 有： 解得 .-(dxf 1)(-12dadf 43a分布函数为： .1,1,432,0)()(
12、 xxdtfxF(2)对 daexxf x00)(1)|xxe有 所以 .12a2分布函数为： .0,21,)()( xedtfxFx14设随机变量 的分布函数为X,1ln,0)(exF（1）求 ； 2XP,423XP（2）求分布密度 。)(f解：（1） ln)(F,1423ln1)(23F（2） ，xdFxf1)()(,0)(其 他 exf815. 设随机变量 的分布密度为 ,且 是随机变量 的分布函数,X)(xf),(xffFX则对任意实数 a 有 试证之。21)(0adF证明：因 ，有 xdf)()( aadxfxf)()(,)(易知 。axfFa又 为偶函数，有 ，即 。)(xf aa
13、dxff00)()(aadxfxf0)(2)(所以有adxfFa0)(2)(将代入上式，1)(得： ，即 得证。adxf0)(2adxfF0)(21)(16. 设 k 在(0,5)上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。4k解：x 的二次方程 有实根的充要条件是它的判别式42kx即 ,)()(k ,)(16解得 。1,或由假设 k 在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为,055)(其 他 xxfk故这个二次方程有实根的概率为 11522 530)()( dxdxfxf kPkPpk17设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以分计）服从指教分布，其分布密度为 X,051)(其 它xexf某顾
14、客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要到银行 5 次。以 表Y示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出 的分布律，并求 。Y2P解：顾客在窗口等待服务超过 10min 的概率为 ,51/0edxp故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为 .从而 Y 的分布率2e).(2b为 .,4321,0,)1()(525kekYP9138.0)()1(102 4252eCeYPYP18设随机变量 服从正态分布 试求 X,3N（1） ；（2） ；7P（3）确定 C，使得 。 CXP解： ， ，)4,(NX2,3)23()xF（1） )21()5()52 P 538.0691.843
15、.012（2） )2()()7 FX 9710.38.097.125（3） )()(1CXPCP )2(5.3,0219在电源电压不超过 200 伏，在 200-240 伏和超过 240 伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1,0.001 和 0.2。假设电源电压 服从正态分布 ，试求：X)25,0(N(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200-240 之间的概率。解：（1）由题意知 则电压不超过 200V：)25,0(NX4()20( P电压在 200240V：5762.01)4(2)50()250()4( 电压超过 240V：9.)4(1)(1)20
16、( XP设电子元件损坏为事件 A，则64. 2.0)4(01.)20(.)() XPXPA10(2)设电源电压在 200240V 之间为事件 B 则 09. 2.0)4(01.)240(1.)2()()|( XPXPXPAB20一个袋中有 6 个一样的球,其中 3 个球各标有一个点,2 个球各标有 2 个点,一个球上标有3 个点,从袋中任取 3 个球,设 表示这 3 个球上点数的和。（1）求 的分布列；（2）若任取 10 次（有放回抽样） ，求 8 次出现 的概率；6X（3）求 的概率分布。XY解：（1）X 3 4 5 6 7ip206C6312 203612C20361C20136(2) 此为贝努利概型，因 ，所以，任取 10 次出现X=6 k 次的pXP概率为 的概率为8,)1()(0010 kpkPk3280 1046.)(6C（3） 6 8 10 12 14ip201202021设随机变量 的分布列为X-2 -1 0 1 3kp51650求 的分布列。2Y解： 所有可能取值为 0，1，4，9.X
