1、第二章 极限与连续 基础练习题（作业）2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1 极限为 14682,3572 极限为 0,3 极限为 121nna为 奇 数为 偶 数2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：1 limxe极限为零2 litanx无极限3 lirctx极限为 24 0limnx无极限，趋于 二、设 ，问当 ， 时， 的极限是否存在？21,()32,xf x12x()fx；211lim()li()xxf11lim()li()3xxf3.；22lim()li(1)3xxf22lim()li(3)5xxf不存在。三、设 ，求 时的左、右极限，并说明
2、 时极限是否存在1xfe00x100limlixxxf100lilixxxfe不存在。0li()xf四、试讨论下列函数在 时极限是否存在1绝对值函数 ，存在极限为零|fx2取整函数 不存在3符号函数 不存在sgnfx2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：1 是无穷小量sinx错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 时， ；当 时， 不是无穷小量。0x1sin0x1sini1x2同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量对，两个无穷小量的商是“0/0 ”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限
3、但极限不为零的变量。3无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：1 ，2x时，或 时，为无穷小量；时，或 时，为无穷大量。12 , 1lntaxkZ时， ，则 ，从而 为无穷小量；()tanxlntax+10lntax时， ，则 ，从而 为无穷小量；k0时， ，则 ，从而 为无穷大量； 4xta1xlta0xltax三、当 时， ， 和 都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它0x2x3x们之间最高阶
4、和最低阶的无穷小量分别是谁？，所以当 时， 是 的高阶无穷小量。200limli1xx02x，所以当 时， 是 的高阶无穷小量。223300()lilixx23，所以当 时， 是 的高阶无穷小量。6300lili1xx0xx3通过比较可知，当 时， ， 和 不是同阶无穷小量，其中 是 和 的23 2x3x高阶无穷小量，因此 是三者中最高阶的无穷小量。 和 都是 的高阶无穷小量，2x2x3因此 是三者中最低阶的无穷小量。3x四、利用无穷小量与极限的关系证明： 000lim()li()lim()xxxfgfg证明：设 ， ，则由无穷小量与极限的关系， ，0lim()xfA0li()xgBfA，其中
5、 为 时的无穷小量。()gB,则 0li()xf0 0li()li()x xAB00lim()li()xxfg2.4 极限的性质与运算法则一、如果 ，则存在 的空心邻域，使得（1） （2） （4）成立0lim()xfA0x（1） 有界；（2） 非负；（3） 落入其中；（4） ，()fx()fx()fx|()|fxA0二、求下列函数的极限1 2 113()lim2n 1321limnn3 4 214lix 31lixx5 6 2lim41xx3lim1xx原式 原式2lix3322li()x21li4x 22331/0li()xx三、求 ，使得,ab21lim0.xab22 1li li 01x
6、 x baxx 原 式必有 同时有1()a否 则 原 式 ； 0()ab否 则 原 式 ；四、若 为有限值，求3214limxx,.32li04xa a由 题 意 必 有 （ 否 则 商 的 极 限 不 可 存 在 ）114()(4)li=lim10x xxb 原 式2.5 极限存在性定理与两个重要极限一、判断题：1 错sinlm1x2 对1()i3 错slx4 对in5 错01lmsx6 对i()xe7当 时， 都是 的等价无穷小对sin,arci,tnarct,l(1),xxxe二、求下列函数极限：1 20i2lmtan3x 2sin(4)lmxsitx:下 20sin(4)x:下00i2
7、2lli.tan33xx 2li.x下3 4 0limrctx 1limxartnx:下 2112lixx00limli1.arctnxx 2112lim.xx e5 61lix1li()x2li1xxlim1xx11lim().xxeli .xxx e7 8 2301limn()xx0sin()lm1x2323l (0)x:i()i;l()(0)xx:23230 01lin()lim1x x00snsinlil1.()xx三、求极限 2221linn 221 1nnn 22()/limli,nn1()/limli.n下由两面夹法则 222li( ).1nn四、设 ，证明数列 的极限存在213
8、nuu120,()n nu为 单 调 递 增 数 列 .22221133n n下由单调有界定理，数列 的极限存在.nu五、设 ， ，且有 ， ，证明数列 的极限存在，0a1x1()2nnaxx(1,2) nx并求极限 1(),nnnxax下.21()()0,2nnn nax xx 又 单 调 递 减 从 第 二 项 起 .由单调有界定理，数列 的极限存在n1lim().2axAAa下2.6 函数的连续性一、填空题1设函数 ，若补充 -1 可使 在 处连续xf1ln0fxf02 是函数 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点x232y3 是函数 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点0tanx是
9、函数 的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点,1kxtanxy是函数 的第 1 类间断点，且为 可去 间断2点4 是函数 的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点axaxy5 是函数 的第 2 类间断点 0cos2二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：1 2,0()1xfx， 为第一类跳跃间断点。2200coslimli()1xx下 0x21()xfe， 为第二类无穷间断点。00lilixx下x3 2()|(1)f (1)|为第一类跳跃间断点。x为第一类可去间断点。1为第二类无穷间断点四、 ，确定 使sin,0()1si,xfxabx,ab1 在 处有极限 ，()fx000si
10、n1lml(sin)xxx.b2 在 处连续 iiba五、 ，确定 使同时满足()(1xebfa,ab（1） 是 的无穷间断点，即0f（2） 是 的可去间断点，即00lim()li ,0.()1xxxebf aa1x()f1li lim=.xxf be存 在 ， 则 必 有 ，六、设 在 上连续，且 ， ，证明在区间 上至少存在一点(),b()fa()f,ab，使得 f证明：设 ，则 也在 上连续。()Fxf()Fx,b且有 即 。0;0.abf()0Fa若 ，由零点定理，在开区间 内至少存在一点 ，使得 ()b,()f若 ，则 ，此时区间端点是函数 的零点。F()()Fa下 x综上，在区间 上至少存在一点 ，使得 ,()f
