系统辨识与参数估计习题.doc

1、1系统辨识与参数估计课程习题一、 选择题：答案唯一，在（ ）内填入正确答案的编号。1. 对于批量最小二乘格式 ，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ LLEY） 。A. 输入序列 为“持续激励”信号 B. 与 正交kuLTLT1)(C. 为非白噪声向量 D. LE 0E2. 对象模型为 时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为（ Tkkye） 。A. B. 1Tkk 1TkkyC. D. kkykk3. 在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵 可以写成（ ） 。kKA. B. 1kP 1kPC. D. kk4. 可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（ ） 。A. 辅助变量

2、法 B. 广义最小二乘法C. 最小二乘限定记忆法 D. 相关最小二乘两步法5. 增广最小二乘估计的关键是（ ） 。A. 将控制项增广进 中，并用残差项取代进行估计kB. 将输出项增广进 中，并用残差项取代进行估计C. 将噪声项增广进 中，并用残差项取代进行估计kD. 将噪声项增广进 中，并用输出项取代进行估计答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 二、 判断题：以表示正确或表示错误。21估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。 （ ）2最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。 （ ）3广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。 （ ）4在递推最

3、小二乘算法中，若置 ，则该算法也能克服“数据饱和”0TkP现象，进而可适用于时变系统。 （ ）5用神经网络对 SISO 非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的三层前馈神经元网络结构。 （ ）答案：1. 2. 3. 4. 5. 三、 设 和 之间满足关系 ，试图利用 和yn21x, )xaax(epyn21 y的观测值来估计参数 ，请将该模型化成最小二乘格式。,x n21,a答案： T21xxal(y)z其中， n21nT x, 四、 对于多输入单输出（MISO）系统可由下面的模型描述 kkeuzByzA11)()(其中， 为系统的 m1 维输入向量； 为系统的标量输出； 为标量

4、 i.i.d 随机ukyke噪声； 为延迟算子，即 ； 为标量参数多项式， 为1 1k)(1zA)(1zB1m 的参数多项式向量： anzzazA.)(11 bBB0请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。答案：根据题意，可写出最小二乘格式为： kTkey其中， TnkkTnkkTk bauy12121 ,;, 01,;,abnB 因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为 k=1,2,L，则有批量最小二乘格式为：3LLEY其中， ，LyY21TLT21Le21从而，批量最小二乘估计公式为： LTTLY1)(递推最小二乘估计公式为： )(11kTkkyK，kTkP1kTkP11初始

5、估计： ， ， 是一个充分大的正数。0I2计算流程为：（0） 给定 ；,0kP（1） 量测 ，组成 ；1yT1（2） 计算 ；kK（3） 计算 ；（4） 输出估计结果，并由误差限或数据长度 L 来确定是否停止估计。若条件满足，则停止估计；否则，继续进行。（5） 计算 ；1kP（6） ，返回到（1） 。 五、 对于 SISO 系统的数学模型 kkvuzByzA11)()(其中， 和 分别为系统的输入输出量， 为干扰噪声， 和 为参数uk)(1zA)(1B多项式： anzzaz11)( bbB0且 ， 为延迟算子，即 。ban1 11ky1 对于量测 、 ， ，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详

6、细kuyN,2公式。42 给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。3 简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。答案：1由题意可知，采用 L 次测量的批量最小二乘格式可写为：NNVY其中， 12121,;,a bTkkknkknyyu 01,;,abn ， ，NyY21TkT2NvV21因此，最小二乘批量算法公式为：NTTY1)(2证明： )() )(11NTTN NTNVEV当 和 不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，1(NT为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。此时， 。 kv )(E3辨识动态系统数学模型的一般步骤为：Step1: 确定建模目的，并由工艺和物理/化学过程初步确定

7、模型形式和结构；Step2: 试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式（离线/在线）等；Step3: 实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理；Step4: 模型结构假设，选定阶次范围；Step5: 选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型；Step6: 模型结构的确定，得到一个数学模型；Step7: 模型检验；根据检验结果，可能要从 Step2 到 Step6 中的任何一步重新做起。Step8: 若模型检验合格，则得到最终模型。 5六、 某系统的动态模型为 ，假设：系统是稳定的，且 和 都kkebuay1 keku为零均值广义平稳随机序列。采用辅助变量

8、法进行参数估计，进行 L 次量测，且 L 充分大,试证明： 011LkLZu是一个合适的辅助变量矩阵。答案：证明：辅助变量法的计算公式为 11()()TTTTIVLLLLZYZY根据题义有 001111kLTL kLyuuuZy 1111LLiiiiyu1011kLTL kLuuZYy 11iLiuy因v k、u k和y k均为是零均值广义平稳噪声序列，所以， (0)()1lim1uuTLyRZ()li0uTLyY61(0)()()(1)(0)(1limli 0)yuuyuuuyuIVLL yyaRRRppb 2(1)(0)uyuyRR式中， ()(1)yuyu又相关函数 k-1()(0)()

9、yuyuuREaRb01y y可得 (1)0)()(0)(1)() limuyuuuyuuNy yRabRaRba apb b 由此可知，Z N 矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。 七、 在递推最小二乘估计中，新息的表达式为 。11, kTkky1. 请写出残差的表达式 ky,2. 证明： )1/(1, kTkkPy答案：1. kTk,2. 证明：)1/()1/()(, 1, ,1, 11, kTk kTkkTk kTkTkkPyKyKy 八、 请证明：在递推最小二乘估计中 。kk7证明：在递推最小二乘估计中，kTkkPK1kTkP111 11 () Tkkk kTkkkTKP九、 考虑一个 SI

10、SO 闭环系统如图所示，其中 ku和 y分别为前向通道过程输入和输出量，为白噪声扰动序列，过程参数多项式 、 、 和已知的调节ke )(1zA)(1B)(1zC器参数多项式 、 分别表示为：)(1zP)(1QanzaA.11bbzbzBb,)(01.11 cncCc pzpP)( qnzqzQ.101试证明：过程参数多项式可辨识的条件是使调节器参数多项式的阶次满足或 bpndaq1答案：证明：由题义可知过程对象的数学模型为 kkdk ezCuzByzA)()()( 111 由 wk 到 y k 的闭环系统方程为+ -+ +)(1zABd)(1zPQ)(1zCkwke ky过程ku8kdkd w

11、zBPzyQzBzPA )()()( 111 令 （8-ttndtT 1111 )()()(1） snd zzszBPzS 101)()(显然有， ，dnnqbpat,mxqbt则闭环系统方程可以写为 dkkwzSyzT)()(11亦可进一步写成最小二乘格式Tk其中， st ndkdknkwyy ;1stnTst 0;采用相应的最小二乘类型参数估计算法，可以估计得到 。应估计的主要的过程参数多项式 、 的参数个数为 ，需要根据已知的)(1zA)(1B1banl调节器参数多项式 、 ，用估计得到的 ，从方程（3-1）中解出。PzQ方程（3-1）两边 同次幂系数比较即可得到线性方程组，从而解出过程

12、参数1z的估计值 和 ，有唯一解的必要条件为：)(A)(B1,maxbaqbpt ndnn其等价条件为 或 ，命题得证。 1十、 考虑一个 SISO 闭环系统如图所示,其中 ku和 y分别为前向通道被控对象的输入和输出量， 为白噪声扰动序列。试讨论以下两种情况的被控对象模型参数的可辨识性ke和辨识结果。1控制器为： 11001(),Fzfzf2控制器为： 01 01() f和 两 个 控 制 器 切 换 ，9答案：被控对象的结构参数： 2,0,12abcnnd1 时， ，110()Fzfz-kkufy,0qpnqand该闭环系统可以辨识。闭环系统方程为： 12020131Tkkkkkkkyay

13、bffyece其中， 1231,Tkkke，34,20230141,abfabfc根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得： 1234,T从而可以解出前向通道被控系统参数的估计值为： 1202301314 , /,/,abffbfc2. 由于是两个不同的控制器切换，故存在闭环系统可辨识性。（1） 时， 闭环系统方程为：0kkufy12021Tkkkkkkyabfyece其中， 121,Tkkkye+ +201bz控制器21zackekyku被控对象10，123,T120231,abfac根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得： 123,T从而可以解出： 12013,abfc其中 关联，无法直接解出。0和（2） 时， 闭环系统方程为：1kkufy20121Tkkkkkkyabfyece其中， 121,Tkkkye，3,201231,abfac根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得： 123,T从而可以解出： 12013,abfc联立 ， 可得 201fab2012210faf