1、小学数学牛吃草问题知识点总结:牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。小升初冲刺第 2 讲牛吃草问题基本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数） ；3）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；4）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度） ；5)牛头
2、数原有草量吃的天数草的生长速度。例 1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。问：这片牧草可供 25 头牛吃多少天？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5 份1020=200 份原草量+20 天的生长量 原草量：200-205=100 或 150-105=100 份1510=150 份原草量+10 天的生长量 100（25-5）=5 天自主训练 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，如果要供
3、 18 头牛吃，可吃几天？解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量：（180-150）（20-10）=3 份920=180 份原草量+20 天的生长量 原草量：180-203=120 份 或 150-103=120 份1510=150 份原草量+10 天的生长量 120（18-3）=8 天例 2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量：（100-90）（6-5）=10
4、份205=100 份原草量-5 天的减少量 原草量：100+510=150 或90+610=150 份156=90 份原草量-6 天的减少量 （150-1010）10=5 头自主训练 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供 30 头牛吃 8 天，可供 25 头牛吃 9 天，那么可供 21 头牛吃几天？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量：（240-225）（9-8）=15 份308=240 份原草量-8 天的减少量 原草量：240+815=360 份或220+915=360 份259=225 份原草量-9 天的减少量 360（2
5、1+15）=10 天例 3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 男孩：205 =100（级） 自动扶梯的级数-5 分钟减少的级数女孩;156=90（级） 自动扶梯的级数-6 分钟减少的级数每分钟减少的级数= (205-156) (6-5)=10(级)自动扶梯的级数= 205+510=150（级）自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3级阶梯，女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了
6、 100秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？3100=300 自动扶梯级数+100 秒新增的级数2300=600 自动扶梯级数+300 秒新增的级数每秒新增的级数：（2300-3100）（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数= 3100-1001.5=150（级）1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=1
7、2 头牛吃最多只能放 12 头牛2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天，或 6供头牛吃 30 天。如果 4 头牛吃了 30 天后，又增加 2 头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200；6*30=180200-180=20每天长的草:20/(40-30)=2原有草：200-2*40=1204*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110 亿人生活 90 年，或可供 90 亿人生活 210 年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿
8、人？假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754，一游乐场在开门前有 100 人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放 2 个入口处 20 分钟就没人排队，现开放 4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=4（1）因为草量=原有草量+新长出的草量，而且草量是均匀增长的。所以“对应的牛头数吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量，
9、即为：吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较多天数时的时间。同理“相应的牛头数吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为：吃的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下总草量的差，右边等于草的生长速度*两次情况下的时间差，所以直接把时间差除到左边去，就得到了草的生长速度了。（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的草。所以“牛头数吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。当然草的总量减去新增长出
10、来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。牛 吃 草 问 题 概 念 及 公 式牛 吃 草 问 题 又 称 为 消 长 问 题 或 牛 顿 牧 场 ， 是 17 世 纪 英 国 伟 大 的 科 学 家牛 顿 提 出 来 的 。 典 型 牛 吃 草 问 题 的 条 件 是 假 设 草 的 生 长 速 度 固 定 不 变 ， 不 同头 数 的 牛 吃 光 同 一 片 草 地 所 需 的 天 数 各 不 相 同 ， 求 若 干 头 牛 吃 这 片 草 地 可 以吃 多 少 天 。 由 于 吃 的 天 数 不 同 ， 草 又 是 天 天 在 生 长 的 ， 所 以 草 的 存 量 随 牛 吃的 天
11、数 不 断 地 变 化 。 解 决 牛 吃 草 问 题 常 用 到 四 个 基 本 公 式 ， 分 别 是 1) 设 定 一 头 牛 一 天 吃 草 量 为 “1”1） 草 的 生 长 速 度 （ 对 应 的 牛 头 数 吃 的 较 多 天 数 相 应 的 牛 头 数 吃 的 较 少 天 数 ） （ 吃 的 较 多 天 数 吃 的 较 少 天 数 ） ；2） 原 有 草 量 牛 头 数 吃 的 天 数 草 的 生 长 速 度 吃 的 天 数 ； 3） 吃 的 天 数 原 有 草 量 （ 牛 头 数 草 的 生 长 速 度 ） ；4） 牛 头 数 原 有 草 量 吃 的 天 数 草 的 生 长
12、速 度 。这 四 个 公 式 是 解 决 消 长 问 题 的 基 础 。由 于 牛 在 吃 草 的 过 程 中 ， 草 是 不 断 生 长 的 ， 所 以 解 决 消 长 问 题 的 重 点 是要 想 办 法 从 变 化 中 找 到 不 变 量 。 牧 场 上 原 有 的 草 是 不 变 的 ， 新 长 的 草 虽 然 在变 化 ， 但 由 于 是 匀 速 生 长 ， 所 以 每 天 新 长 出 的 草 量 应 该 是 不 变 的 。 正 是 由 于这 个 不 变 量 ， 才 能 够 导 出 上 面 的 四 个 基 本 公 式 。 牛 吃 草 问 题 经 常 给 出 不 同 头 数 的 牛 吃
13、 同 一 片 次 的 草 ， 这 块 地 既 有 原 有 的草 ， 又 有 每 天 新 长 出 的 草 。 由 于 吃 草 的 牛 头 数 不 同 ， 求 若 干 头 牛 吃 的 这 片 地的 草 可 以 吃 多 少 天 。解 题 关 键 是 弄 清 楚 已 知 条 件 ， 进 行 对 比 分 析 ， 从 而 求 出 每 日 新 长 草 的 数量 ， 再 求 出 草 地 里 原 有 草 的 数 量 ， 进 而 解 答 题 总 所 求 的 问 题 。这 类 问 题 的 基 本 数 量 关 系 是 ：1.(牛 的 头 数 吃 草 较 多 的 天 数 -牛 头 数 吃 草 较 少 的 天 数 )（
14、吃 的 较 多 的天 数 -吃 的 较 少 的 天 数 )=草 地 每 天 新 长 草 的 量 。2.牛 的 头 数 吃 草 天 数 -每 天 新 长 量 吃 草 天 数 =草 地 原 有 的 草 。 解 多 块 草 地 的 方 法多 块 草 地 的 “牛 吃 草 ”问 题 ， 一 般 情 况 下 找 多 块 草 地 的 最 小 公 倍 数 ， 这 样可 以 减 少 运 算 难 度 ， 但 如 果 数 据 较 大 时 ， 我 们 一 般 把 面 积 统 一 为 “1”相 对 简单 些 。 “牛 吃 草 ”问 题 分 析华 图 公 务 员 考 试 研 究 中 心 数 量 关 系 资 料 分 析
15、教 研 室 研 究 员 姚 璐【 华 图 名 师 姚 璐 例 1】 有 一 块 牧 场 ， 可 供 10 头 牛 吃 20 天 ， 15 头 牛 吃10 天 ， 则 它 可 供 25 头 牛 吃 多 少 天 ？A.3 B.4 C.5 D.6【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 C【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 该 牧 场 每 天 长 草 量 恰 可 供 X 头 牛 吃 一 天 ， 这片 草 场 可 供 25 头 牛 吃 Y 天根 据 核 心 公 式 代 入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天 ） 璐 例 2】 有 一
16、 块 牧 场 ， 可 供 10 头 牛 吃 20 天 ， 15 头 牛 吃 10 天 ， 则 它可 供 多 少 头 牛 吃 4 天 ？A.20 B.25 C.30 D.35【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 C【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 该 牧 场 每 天 长 草 量 恰 可 供 X 头 牛 吃 一 天 ，根 据 核 心 公 式 代 入(2010-1510)=5 1020-520=100 1004+5=30(头 ）【 华 图 名 师 姚 璐 例 3】 如 果 22 头 牛 吃 33 公 亩 牧 场 的 草 ， 54 天 后 可 以吃 尽 ， 17 头 牛 吃 28 公 亩
17、牧 场 的 草 ， 84 天 可 以 吃 尽 ， 那 么 要 在 24 天 内 吃尽 40 公 亩 牧 场 的 草 ， 需 要 多 少 头 牛 ？ A.50 B.46 C.38 D.35【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 D【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 每 公 亩 牧 场 每 天 新 长 出 来 的 草 可 供 X 头 牛吃 1 天 ， 每 公 亩 草 场 原 有 牧 草 量 为 Y ，24 天 内 吃 尽 40 公 亩 牧 场 的 草 ， 需 要 Z 头 牛根 据 核 心 公 式 ： ， 代 入， 因 此 ， 选 择 D【 华 图 名 师 姚 璐 注 释 】 这 里 面 牧
18、 场 的 面 积 发 生 变 化 ， 所 以 每 天 长 出 的 草量 不 再 是 常 量 。下 面 我 们 来 看 一 下 上 述 “牛 吃 草 问 题 ”解 题 方 法 ， 在 真 题 中 的 应 用 。 【 华 图 名 师 姚 璐 例 4】 有 一 个 灌 溉 用 的 中 转 水 池 ， 一 直 开 着 进 水 管 往 里灌 水 ， 一 段 时 间 后 ， 用 2 台 抽 水 机 排 水 ， 则 用 40 分 钟 能 排 完 ； 如 果 用 4台 同 样 的 抽 水 机 排 水 ， 则 用 16 分 钟 排 完 。 问 如 果 计 划 用 10 分 钟 将 水 排 完， 需 要 多 少
19、台 抽 水 机 ？ 【 广 东 2006 上 】A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 B【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 每 分 钟 流 入 的 水 量 相 当 于 X 台 抽 水 机 的 排 水量 ， 共 需 Y 台 抽 水 机有 恒 等 式 ： 解 ， 得 ， 代 入 恒 等 式 【 华 图 名 师 姚 璐 例 5】 有 一 水 池 ， 池 底 有 泉 水 不 断 涌 出 ， 要 想 把 水 池 的水 抽 干 ， 10 台 抽 水 机 需 抽 8 小 时 ， 8 台 抽 水 机 需 抽 12 小 时 ， 如 果 用 6 台抽 水 机
20、 ， 那 么 需 抽 多 少 小 时 ？ 【 北 京 社 招 2006】A.16 B.20 C.24 D.28【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 C【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 每 分 钟 流 入 的 水 量 相 当 于 X 台 抽 水 机 的 排 水量 ， 共 需 Y 小 时 有 恒 等 式 ： 解 ， 得 ， 代 入 恒 等 式 【 华 图 名 师 姚 璐 例 6】 林 子 里 有 猴 子 喜 欢 吃 的 野 果 ， 23 只 猴 子 可 在 9周 内 吃 光 ， 21 只 猴 子 可 在 12 周 内 吃 光 ， 问 如 果 有 33 只 猴 子 一 起 吃 ， 则 需
21、要 几 周 吃 光 ？ （ 假 定 野 果 生 长 的 速 度 不 变 ） 【 浙 江 2007】A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 C【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 每 天 新 生 长 的 野 果 足 够 X 只 猴 子 吃 ， 33 只 猴子 共 需 Y 周 吃 完 有 恒 等 式 ： 解 ， 得 ， 代 入 恒 等 式 【 华 图 名 师 姚 璐 例 7】 物 美 超 市 的 收 银 台 平 均 每 小 时 有 60 名 顾 客 前 来排 队 付 款 ， 每 一 个 收 银 台 每 小 时 能 应 付 80 名 顾 客 付 款
22、 。 某 天 某 时 刻 ， 超 市如 果 只 开 设 一 个 收 银 台 ， 付 款 开 始 4 小 时 就 没 有 顾 客 排 队 了 ， 问 如 果 当 时开 设 两 个 收 银 台 ， 则 付 款 开 始 几 小 时 就 没 有 顾 客 排 队 了 【 浙 江 2006】A.2 小 时 B.1.8 小 时 C.1.6 小 时 D.0.8 小 时【 华 图 名 师 姚 璐 答 案 】 D【 华 图 名 师 姚 璐 解 析 】 设 共 需 X 小 时 就 无 人 排 队 了 。 例 题 ：1、 旅 客 在 车 站 候 车 室 等 车 ,并 且 排 队 的 乘 客 按 一 定 速 度 增 加
23、 ,检 查 速度 也 一 定 ,当 车 站 放 一 个 检 票 口 ,需 用 半 小 时 把 所 有 乘 客 解 决 完 毕 ,当 开 放 2个 检 票 口 时 ,只 要 10 分 钟 就 把 所 有 乘 客 OK 了 求 增 加 人 数 的 速 度 还 有 原 来的 人 数 设 一 个 检 票 口 一 分 钟 一 个 人 1 个 检 票 口 30 分 钟 30 个 人 2 个 检 票 口 10 分 钟 20 个 人 (30-20)(30-10)=0.5 个 人 原 有 130-300.5=15 人 或 210-100.5=15 人 2、 有 三 块 草 地 ， 面 积 分 别 是 5， 15
24、， 24 亩 。 草 地 上 的 草 一 样 厚 ， 而 且长 得 一 样 快 。 第 一 块 草 地 可 供 10 头 牛 吃 30 天 ， 第 二 块 草 地 可 供 28 头 牛吃 45 天 ， 问 第 三 块 地 可 供 多 少 头 牛 吃 80 天 ？这 是 一 道 牛 吃 草 问 题 ， 是 比 较 复 杂 的 牛 吃 草 问 题 。把 每 头 牛 每 天 吃 的 草 看 作 1 份 。因 为 第 一 块 草 地 5 亩 面 积 原 有 草 量 5 亩 面 积 30 天 长 的 草 1030300 份所 以 每 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 30 天 长 的 草
25、是 3005 60 份因 为 第 二 块 草 地 15 亩 面 积 原 有 草 量 15 亩 面 积 45 天 长 的 草 2845 1260 份所 以 每 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 45 天 长 的 草 是 126015 84 份所 以 45 30 15 天 ， 每 亩 面 积 长 84 60 24 份所 以 ， 每 亩 面 积 每 天 长 2415 1.6 份所 以 ， 每 亩 原 有 草 量 60 301.6 12 份第 三 块 地 面 积 是 24 亩 ， 所 以 每 天 要 长 1.624 38.4 份 ， 原 有 草 就 有2412 288 份新 生 长 的
26、每 天 就 要 用 38.4 头 牛 去 吃 ， 其 余 的 牛 每 天 去 吃 原 有 的 草 ， 那么 原 有 的 草 就 要 够 吃 80 天 ， 因 此 28880 3.6 头 牛所 以 ， 一 共 需 要 38.4 3.6 42 头 牛 来 吃 。两 种 解 法 ：解 法 一 ： 设 每 头 牛 每 天 的 吃 草 量 为 1， 则 每 亩 30 天 的 总 草 量 为 ： 10*30/5=60；每 亩 45 天 的 总 草 量 为 ： 28*45/15=84 那 么 每 亩 每 天 的 新 生 长 草 量 为 (84-60)/(45-30)=1.6 每 亩 原 有 草 量 为 60
27、-1.6*30=12， 那 么 24 亩 原 有 草 量 为 12*24=288， 24 亩 80 天 新 长 草 量 为 24*1.6*80=3072， 24 亩 80 天 共 有 草 量 3072+288=3360， 所 有 3360/80=42(头 )解 法 二 ： 10 头 牛 30 天 吃 5 亩 可 推 出 30 头 牛 30 天 吃 15 亩 ， 根 据 28 头 牛 45天 吃 15 亩 ， 可 以 推 出 15 亩 每 天 新 长 草 量 (2845-3030)/(45-30)=24； 15 亩 原 有 草 量 ： 1260-2445=180； 15 亩 80 天 所 需 牛 180/80+24(头 )24 亩需 牛 ： (180/80+24)*(24/15)=42 头
