1、微积分各章习题及解答第 1 页第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知 ，则 。 xfcos1)2(sin)(csxf2、 。34lmxx3、 时， 是 的 阶无穷小。0xsita4、 成立的 为 。1sinlkx k5、 。erct6、 在 处连续，则 。0,)(xbfxb7、 。x13lnim08、设 的定义域是 ，则 的定义域是_。)(f,)(lnxf9、函数 的反函数为_。)2l(xy10、设 是非零常数，则 。a_lixa11、已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数 。0x1)(32cos _a12、函数 的定义域是_。xfarcsin)(13、 。22lim)_x14、设 ，则 _
2、。8)(xa15、 =_。)(1li nnn二、选择题1、设 是 上的偶函数， 是 上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。)(,xgf,l(xh,l（） ；（） ；（C） ；（D） 。)f )()(xhgxf)()(xhgf2、 ， ，则当 时有 。x1)(31)(1（） 是比 高阶的无穷小； （） 是比 低阶的无穷小；（C） 与 是同阶无穷小； （D） 。3、函数 在 处连续，则 。0)1(,1)(3xkxf xk（） ； （） ； （C） ； （D） 。224、数列极限 。ln)l(imn（） ； （） ； （C） ； （D）不存在但非 。11微积分各章习题及解答第 2 页5、 ，则 是
3、 的 。01cosin)(xxf 0x)(f（）连续点；（）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。6、以下各项中 和 相同的是（ ）)(fg（） ， ； （） xf)(， ；2lxfxl2)(xg（C） ， ；（D） ， 。33431)(12tansec7、 = （ ）|sinlm0x（） 1； （） -1； （C） 0； （D） 不存在。8、 （ ）xx0)(li（） 1； （） -1； （） ； （） 。e1e9、 在 的某一去心邻域内有界是 存在的（ ）f )(lim0xf（）充分必要条件；（） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.10、 （ ）)(lim2x
4、x（） 1； （） 2； （C） ； （D） 0。2111、设 均为非负数列，且 ，则必有（ ）,nncba nnncbalim,1li,li（A） 对任意 成立； （B） 对任意 成立；cb（C）极限 不存在 ； （D）极限 不存在。nli nli12、当 时，函数 的极限（ ）1x12xe（）等于； （）等于； （）为 ； （）不存在但不为 。三、计算解答1、计算下列极限（1） ； （2） ； 12sinlmnx xxcotslim0（3） ； （4） ； )(xxe x31（5） ； （6） ； 1cos28li3x xxtancossili0（7） ； （8） 。)(1limnn 32
5、24rct)(limx、试确定 之值，使 。ba, 11li2bax、利用极限存在准则求极限(1) 。nn312lim微积分各章习题及解答第 3 页（2）设 ，且 ，证明 存在，并求此极限值。01ax ),21(1naxn nxlim5、讨论函数 的连续性，若有间断点，指出其类型。xflim)(6、设 在 上连续，且 ，证明在 内至少有一点 ，使 。,bbf)(),(ba)(f微积分各章习题及解答第 4 页第一单元 函数极限与连续习题解答一、填空题1、 。 ，x2sin 2sin)2sin1()2(sinxxxf 。)(fcoco2、 。 。0 0649lim)(34li 32xxx3、高阶
6、。 ，0)cos1(lim)s1(tanstan000 xxx是 的高阶无穷小。i4、 。0k为有界函数，所以要使 ，只要 ，即 。x1sinsinl0xkx li0kx5、 。 。arctlimex )2,(arctn,l( e6、 。 ， ，2b bfxx)li)(00 1lim)li00xxef。,b27、 。1163li1lni00xx8、 根据题意 要求 ，所以 。elnex19、 ， ，21xy )2l()(),2l(yy 1y， 的反函数为 。1e1x2x10、 原式= 。ae2 axax e22)(lim11、 由 （利用教材 P58 ）与 ，331(1)ax:21cosx以及
7、 ，321licos)(li03120 axxaxx可得 。212、 由反三角函数的定义域要求可得14x解不等式组可得 ， 的定义域为 。03124x)(xf 214x13、 2222( )limlimx x。22()li 0x14、 ,令 t= ，所以 x=2ln3li1)xxxaaa3ta即： =31lim()()tt t:8e微积分各章习题及解答第 5 页。2ln38l1ln3a15、2 )(21im)(imnnn 。212linn二、选择题1、选（） 令 ，由 是 上的偶函数， 是 上的奇函数，)()(xhgfxF)(,xgf,l)(xh,l。() Ff 2、选（） )1()1(lim
8、)1(lim)li 3311 xxxx （利用教材 P58 ）23()(lim1x a:3、选（A） （利用教材 P58 ）231li1li)(li 0300 xxxf (1)ax:4、选（） limn()limln()n5、选（） ， ， )fff6、选（） 在（A）中 的定义域为 ，而 的定义域为 ，2l)(x0xxgln2)(0x故不正确()xgf在（B） 的值域为 ， 的值域为 ，故错,g在（D）中 的定义域为 R， 的定义域为1f tansec)(2， ，故错2,kxRxf7、选（） ，1sinlm|sil00x 1silm|il00xx不存在|sinlm0x8、选（） ， 1)(1
9、010li)(li exxx9、选（） 由函数极限的局部有界性定理知， 存在，则必有 的某一去心邻域使 有界，li0xf0x)(xf而 在 的某一去心邻域有界不一定有 存在，例如 ，函数 有界，)(f0 )(m0xx1sinl1sin但在 点极限不存在x10、选（） （222 2(1)()lim(1)li li1xx xxx 微积分各章习题及解答第 6 页21limxx11、选（D） （A） 、 （）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当 充分大时”的n情况，不可能得出“对任意 成立”的性质。n（）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（D）
10、 02)1(lim1li2 xxx ee21 )(limxx当 时函数没有极限，也不是 。三、计算解答1、计算下列极限：（1）解： 。xxnnn 2lim2sil 11（2）解： 。20000coscot 1cos1iilillimlinxxxx（3）解： 。1i)1(exxx（4）解： 。32133 )1(li)2(lm2li xxxx 133221li()lim()x xe（5）解： )1)(cos(4slicos28li 33 xx 。2csli3x（6）解： )cossin1(talimtanossi1lim00 xxxxx 。222 cncxxx 430li(1sios)（7）解：
11、)1(32limnx)1()。(linx微积分各章习题及解答第 7 页（8）解： 。3123232 4)(lim4li4arctn)1l(imxxxx、解： li)(li babx211()122)(0ba3a、 （1） 11nn而 。1limnx 321li nx（2）先证有界（数学归纳法）时， aa12设 时， ， 则 knxk axkk21数列 有下界，再证 单调减，n且 1nnxax0n即 单调减， 存在，设 ，nxlimAxnli则有 （舍）或 ，AaAa、解：先求极限 得 01li)(2xnxfx而 1)(lim0fxli0fx )(f的连续区间为,(),(为跳跃间断点.。、解：令
12、 ， 则 在 上连续fF)(F,ba而 a0b由零点定理， 使),(0(即 ，亦即 。)(f f微积分各章习题及解答第 8 页第二章 导数与微分一、填空题1、已知 ，则 = 。2)3(f hffh2)3(lim02、 存在，有 ，则 = 。0)fxli03、 ，则 = 。1arctnxy1y4、 二阶可导， ，则 = ； = 。)(f )si(fy5、曲线 在点 处切线与连接曲线上两点 的弦平行。xe ),1(0e6、 ，则 = 。)1lnarct(ydy7、 ，则 = ， = 。42si 2x8、若 ，则 = 。txxttf2)(lm)()(tf9、曲线 于点_处的切线斜率为 2。12y10
13、、设 ，则 。e_)0(11、设函数 由方程 确定，则 。x0)cos(xyeyx _dxy12、设 则 。tycos12d二、单项选择1、设曲线 和 在它们交点处两切线的夹角为 ，则 =（ ） 。x2 tan（） ； （） ； （C） ； （） 。1233、函数 ，且 ，则 （ ） 。keftan)(ef)4(k（） ； （） ； （C） ； （） 。114、已知 为可导的偶函数，且 ，则曲线 在 处切线的方程)(xf 2)(lim0xffx )(xfy)2,1是 。（） ；（） ；（C） ；（） 。6y24y3y5、设 可导，则 = 。)(xf xffx)(li20（） ； （） ； （C
14、） ； （） 。0)x )(2xf6、函数 有任意阶导数，且 ，则 = 。f 2)(ff )(fn（） ；（） ；（C） ；（） 。1)(n1(!n 12)(!1fn7、若 ，则 =（ ）2xfxxlim00（） ； （） ； （C） ； （） 。0 4x48、设函数 在点 处存在 和 ，则 是导数 存在的（ ）)(f )(0f)(0f )(00ff )(0xf（）必要非充分条件； （）充分非必要条件；（C）充分必要条件； （）既非充分又非必要条件。9、设 则 （ ）)9()2(1)(xxf (f（） ； （） ； （C） ； （） 。!9微积分各章习题及解答第 9 页10、若 可导，且 ，则
15、有 （ ）)(uf )(2xfydy（） ；（） ；（C） ；（） 。dx2 dxf)(2 dxf)(2211、设函数 连续，且 ，则存在 ，使得（ ）00（A） 在 内单调增加； （B） 在 内单调减少；)(f,0 ,（C）对任意的 有 ；（D）对任意的 有 。)()(fx )0()0(f12、设 在 处可导，则（ ）01sin)(2baxf （A） ； （B） 为任意常数；0, ba,（C） ； （C） 为任意常数。1三、计算解答1、计算下列各题（1） ，求 ； （2） ，求 ；xey1sin2dy3lntyx12tdxy（3） ， ； （4） ，求 ；arct2xcosi)50(（5）
16、，求 ；xy)1(y（6） ，求 ；)05()(f )(f（7） ， 在 处有连续的一阶导数，求 ；axa)(af、（8）设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 。)(xf 21f 1coslim1xdx2、试确定常数 之值，使函数 处处可导。b, 0)sin()eabxfx3、证明曲线 与 （ 为常数）在交点处切线相互垂直。ayx2a,4、一气球从距离观察员 500 米处离地匀速铅直上升，其速率为 140 米/分，当此气球上升到 500 米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数 对任意实数 有 ，且 ，证明 。)(f21,x)()(2121xfxf1)(f )(xff6、求曲线 上
17、过点 处的切线方程和法线方程。532xy3,微积分各章习题及解答第 10 页第二章 导数与微分习题解答一、填空题1、 1)3(2)1(3)(lim2)3(lim00 fhffhffhh2、 )(f li)0fxx3、 xln1ny xyxln|14、 ，fcos)i1( xff si)(cos)i(2，y n15、 弦的斜率 ,le01ek，当 时， 。)(x)ln(x)l(ex1ey6、 )1(arctn2d )()1()arctn(arct 2xdxxxy )1()arctn(2d7、 ， 432six42six 434sincosi xxxdy42indy8、 tte2ttxxettf 2)1(lm)(ttef2)(9、 y，由 ，),1( 0100y在点 处的切线斜率为 22),(10、 2 ，xe xxey)(011、 方程两边对 求导得 sinxyeyx 0)(sin)1(xyyx解得 。)sin( yxey12、 由参数式求导公式得 ，34cosit txdt2si再对 求导，由复合函数求导法得x。322 4coin1sico1)( tttxydytx 二、选择题1、 选（） 由 交点为 ， ， 2xy),(|)(11xk2|)(12xk3|1|)tan(|t 2k
