1、 李微分方程数值解习题解答1-1 如果 ，则称 是 的0)(0x)(J驻点（或稳定点）.矩阵 对称（不必正定），求A证 是 的驻点的充要条件是： 是方程0xJ0组 的解bA证明:由 的定 义与内积的性线性性质,得 )(),(),(210000 xbxxAxJ ),),()00b( xx必要性: 由 ,得,对于任何 ,有)nRx,0,0bA由线性代数结论知, bAxx00,充分性: 由 ,对于任何 ,bnR0|)()()0 即 是 的驻点.0x(J1-2补充: 证明 的不同的广义导数几乎处处)xf相等.证明:设 , 为 的广义导)(2ILf)(21Igxf数,由广义导数的定义可知,对于任意,有)
2、(0ICxbaba dxfdxg)()(1 2两式相减,得到 )(0)( 021 ICxgba 由变分基本引理, 几乎处处为零,即21几乎处处相等.21g补充:证 明 的连续性条件(1.2.21),(vu证明: 设 ,由 不等式|)(| MxqpSchwarz|.|.|(),(| vuvudvaba ,其中1*|.|2uM,m*习题:1 设 为 的一阶广义导数,试用类)(xff似的方法定义 的 阶导数 )k,.21(k解:一阶 广义导 数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于 ,若有 ,使得对)(2ILxf)(2ILxg于任意的 ,有)(0ICbakk
3、ba dxfdxg)()1则称 有 阶广义导数, 称为 的 阶)(xfk(gf广义导数,并记 kxf)(注:高阶 广义导 数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用 的完全性证明 是)(2IL)(1IHm空间.Hilbert证明:只 证 的完全性.设 为 的基1 nf1本列,即 0| 01 mnmnmn fff因此知 都是 中的基本列(按, )2IL的范数). 由 的完全性,存在 ,)(2IL )(,2ILgf使,以下证明0|,0| gffnn(关键证明 )1 dxf由 不等式,有Schwarz00|.|)()(| fxfxfnban | dg对于任意的 ,成立)(0ICxb
4、aban dxfdf)(limn g)(由 banba xfxf)( 取极限得到 dfdba)()(即 ,即 ,且 )(fxg1IH0| 01 fff nnn故 中的基本列是收敛的, 是完全的.I )(1I3.证明非齐次两点边值问题证明:边 界条件 齐次化令 ,则 满足齐次边界)()(0axu0uw条件. 满足的方程为 ,即w0LufL对应的边值问题为(P)0)(,)(bwaLuf由定理知,问题 与下列变分问题等价P求 )(min)(,*12* 1JJHCwEHwE其中 .而,)(0LufaJCuJ),(),()200 0*而 20,( bpaL从而 * )()(w则关于 的变分问题 等价于:
5、求P,12*uHCu使得 )(min)()(*1uJJauH其中 ,21)( bpfuJ4 就边值问题（1.2.28）建立虚功原理解:令 , ,则 满足)(0ax0uw,0bLfLu等价于: 1EHv0),(),(vLufvw应用分部积分, baba dxvwpvdxvxdpvdxp|)(),(还原 ,u)(),(,),(),(00 bvpfvuavLfwa 于是,边值问题等价于:求 ,使得,1auH,成立1EH0)()(bvpfvua注:形式上与用 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5 试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为 ,对于任意)(20IH)(20IHv用 乘方程两端
6、,应用分部积分,得到v),()(4vfudxfLu而 baba dxvuvdxuvdx.|),( 3344b222|上式为 ),(2vfuxa定义 ,为双线性形式.dxuvxvuaba),(2变分问题为: 求 ,)(0IH)(20If1-41.用 方法求边值问题GalerkinRitz1)(,0(2“ux的第 次近似 ,基函数n)xnixi .21,s()解:(1)边 界条件齐次化: 令 , ,则xu00uw满足齐次边界条件,且w)1(,0(20wL第 次近似 取为 ,其中nnniic1满足的 方程为),.21(nicGalerkinRitzjxcaji iji ,.21),(,(21 又 x
7、djiijdxjxijijiji )cos(2)sn()cs(),(10 102jsi2由三角函数的正交性,得到 jiiaji,0,21),(而 1)()sn(),( 3102 jj jdxxx 于是得到 为 偶 数为 奇 数jjaxcjjj 0)1()8),( 232最后得到 21 23)1()(sin8)(nkn kxxu2.在题 1 中,用 代替右边值条件, 是0(un用 方法求解相应问题的第 次近GaleriRitz似,证明 按 收敛到 ,并估计误差.)(xun)1,02L)(xu证明: 对应的 级数绝对收敛,由 的完sin全性知极限就是解 ,其误差估计为(38nR3.就边值问题(1.
8、2.28) 和基函数,写出).2,1()(iaxi GalerkinRitz方程解:边界条件 齐 次化,取 ,)(0xu, 对应的微分方程为0uw)(,)( 00bwaLfL对应的变分方程为 ),(),0vufva )(0 axqdxpqdxpLu baba vv)()(变分方程为 dxvquppfwba)()(),(, 0取 ,则 方程niaxi .2,1Glerkin-Ritz为 baibaiinj ji dxaxqdxpfc )()()(),),( 11 jijiji qa),(取 ,具体计算01f, n)()(abdxba,221 )(1abd ,即解)(bc )(201xu:2n 2211 )()(),()(),( abdaaba3244dxba 32232 )(1)()()(1 abbxxdba得到方程组为 322132 )(c)(4)( abab特别取 ,有0a
