1、1第六章 万有引力与航天综合复习（含答案）名师优学堂物理主讲教师：付静峰一考点整理 基本概念 1开普勒行星运动定律： 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上 开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等图解开普勒行星运动定律2万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成 ，与它们之间距离 r 的平方成 表达式：F = G 为引力常量，G = 6.671011 ； 适用条件： 公式适用于 间的相互作用当两
2、个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点 质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离3宇宙速度： 第一宇宙速度：又叫 速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射速度推导过程为：由 mg = mv2/R = GMm/R2 得 v = = = km/sGMR gR 第二宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v 2 = km/s 第三宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v 3 = km/s4卫星： 模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体
3、的卫星在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动 基本原理：万有引力提供向心力 Fn = GMm/r2；F n = man 其中 an = v2/r、a n = 2r、a n = (2/T)2r 同步卫星：相对地球静止的卫星其特点： 周期一定：与地球自转周期相同，即 T = h； 角速度一定： 与地球自转的角速度相同； 高度一定： 卫星离地面的高度 h = ；（写公式，下同） 速率一定：v = ； 轨道平面一定：轨道平面与 共面二思考与练习 思维启动 1太阳系中的 8 大行星的轨道均可以近似看成圆轨道下列 4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某
4、一规律的图象图中坐标系的横轴是 lg(T/T0)，纵轴是 lg(R/R0)；这里 T 和 R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0 和 R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径下列 4 幅图中正确的是（ ）a3/T2 = k，k 是一个与行星无关的常量22关于万有引力公式 F = Gm1m2/r2，以下说法中正确的是 （ ）A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的3关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ ）A第一宇宙速
5、度又叫脱离速度 B第一宇宙速度又叫环绕速度C第一宇宙速度跟地球的质量无关 D第一宇宙速度跟地球的半径无关4如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿 a、b、c、d 轨迹运动，其中 a 是一段曲线，b 是贴近地球表面的圆，c 是椭圆，d 是双曲线的一部分已知引力常量为G、地球质量为 M、半径为 R、地球附近的重力加速度为 g以下说法中正确的是 （ ）A沿 a 运动的物体初速度一定小于 gRB沿 b 运动的物体速度等于 GMRC沿 c 运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度D沿 d 运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度三考点分类探讨 典型问题 考点 1万有引力定律的应用
6、【例 1】假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体一矿井深度为 d已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）A1 B1 + C DdR dR (R dR)2 ( RR d)2 【变式跟踪 1】美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，LRO 每天在 50 km 的高度穿越月球两极上空 10 次若以 T 表示 LRO 在离月球表面高度 h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以 R 表示月球的半径，则 （ ）ALRO 运行时的向心加速度为 42R/T2 B LRO 运行时的向心加速度为 42(R+h)/T2C月球表面的重力加速度为 42R/T2 D月
7、球表面的重力加速度为 42(R+h)3/(T2R2)考点 2对宇宙速度的理解及计算【例 2】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星 1R（Paksat 1R ）成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功关 于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是（ ）A运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度B离地面的高度一定，相对地面保持静止来源:Zxxk.ComC绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【变式跟踪 2】 “静止”在赤道上空 的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料设地球同步卫星的轨
8、道半径是地 球半径的 n 倍，下列说法中正确的是 （ ）A同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 1/n 倍B同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 1/n 倍C同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 倍1nD同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 倍1n3考点 3天体运动中的基本参量的求解及比较【例 3】2011 年 8 月， “嫦娥二号”成功进入了环绕“ 日地拉格朗日点 ”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 （ ）A线速度大于地球的线速度 B向
9、心加速度大于地球的向心加速度C向心力仅由太阳的引力提供 D向心力仅由地球的引力提供【变式跟踪 3】2012 年 6 月 24 日， “神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接， “神舟九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是 （ ）A “神舟九号”的加速度比 “天宫一号”小B “神舟九号”运行的速率比 “天宫一号”小C “神舟九号”运行的周期比 “天宫一号”长D “神舟九号”运行的角速度比 “天宫一号”大考点 4描述天体运动的五大物理量之间的关系【例 4】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一
10、质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 F已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 （ ）Amv 2/GF Bmv 4/GF CFv 2/Gm DFv 4/Gm【变式跟踪 4】美国宇航局 2011 年 12 月 5 日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星“开普勒226” ，其直径约为地球的 2.4 倍至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 （ ）A3.310 3 m/s B7.910 3 m/s C1.210 4 m/s D1.910 4 m/s考点 5卫星的变轨问题【例 5】航天飞机在完成对哈
11、勃 空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道进入椭圆轨道，B 为轨道上的与地球相切的一点，如图所示关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ）A在轨道上经过 A 的速度小于经过 B 的速度B在 轨道上经过 A 的动能小于在轨道 上经过 A 的动能C在轨道上运动的周期小于在轨道 上运动的周期D在轨道上经过 A 的加速度小于在轨道 上经过 A 的加速度【变式跟踪 5】如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星关于 a、b、c 做匀速圆周运动的说法中正确 的是 （ ）A地球对 b、c 两星的万有引力提供了向心力，因此只有 a 受重力，b、
12、c 两星不受重力B周期关系为 Ta = Tc TbC线速度的大小关系为 va ab ac四考题再练 高考试题 1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方4D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【预测 1】 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 71，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕 O 点运动的 （ ）A轨道半径约为卡戎的 1/7 B角速度大小约为卡戎的 1/7C线速
13、度大小约为卡戎的 7 倍 D向心力大小约为卡戎的 7 倍22012 年 6 月 18 日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气下列说法正确的是 （ ）A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【预测 2】 “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为
14、127 分钟已知引力常量 G = 6.6710 11 Nm2/kg2，月球半径约为 1.74103 km，利用以上数据估算月球的质量约为 （ ）A8.110 10kg B7.410 13 kg C5.410 19 kg D7.410 22 kg五课堂演练 自我提升 1 “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为 200 km 和 100 km，运动速率分别为 v1 和 v2，那么 v1 和 v2 的比值为（月球半径取 1 700 km） （ ）A B C D 来源:Z。xx。k.Com1819 1918 1918 18192如图所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船
15、在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的（ ）A动能大 B向心加速度大C运行周期长 D角速度小32011 年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯 土壤 ”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星已知火星的质量约为地球质量的 1/9，火星的半径约为地球半径的 1/2下列关于火星探测器的说法中正确的是（ ）A发射速度只要大于第一宇宙速度即可B发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度D火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的 1/24经长期观测
16、，人们在宇宙中已经发现了“双星系统” ， “双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1m 232.则可知 （ ）Am 1、m 2 做圆周运动的角速度之比为 23 Bm 1、m 2 做圆周运动的线速度之比为 32Cm 1 做圆周运动的半径为 2L/5 Dm 2 做圆周运动的半径为 L5我国在西昌成功发射第八颗北斗导航卫星，第八颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星如图所示，假若第八颗北斗导
17、航卫星先沿椭圆轨 道 1 飞行，后在远地点 P 处点火加速，由椭5圆轨道 1 变成地球同步轨道 2，下列说法正确的是 （ ）A第八颗北斗导航卫星在轨道 2 运行时完全失重，不受地球引力作用B第八颗北斗导航卫星在轨道 2 运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小C第八颗北斗导航卫星在轨道 2 运行时的速度大于 7.9 km/sD第八颗北斗导航卫星在轨道 1 上的 P 点和其在轨道 2 上的 P 点的加速度大小相等66如图所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为M，半径为 R下列说法正确的是 （ ）A地球对一颗卫星的引力大小为 GM
18、m/(r - R)2 B一颗卫星对地球的引力大小为 GMm/r2C两颗卫星之间的引力大小为 Gm2/3r2D三颗卫星对地球引力的合力大小为 3GMm/r2来源:Z.xx.k.Com来源:学科网来源:Zxxk.Com参考答案一考点整理 基本概念 1焦点 面积 半长轴 公转周期2连线 正比 反比 Gm1m2/r2 Nm2/kg2 质点3环绕 最大 最小 7.9 脱离 11.2 逃逸 16.7424 R 赤道平面32GMTGMR h二思考与练习 思维启动 1B；根据开普勒周期定律：R 3/T2 = R03/T03 = kk，则 T2/T02 = R3/R03，两式取对数，得：lg(T 2/T02)
19、= lg(R3/R03)，整理得 2lg(T/T0) = 3lg(R/R0) ，选项 B 正确2C；万有引力公式 F = Gm1m2/r2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力当两个物体的距离趋近于 0 时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律公式中引力常量 G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的故正确答案为 C3B；由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度4AB；b 是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足 GM
20、m/R2 = mv2/R，解得 v = ，或满足GMRmg = mv2/R，解得 v = ，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能gR成为人造卫星，如 a，故 A、 B 正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如 c，故 C 错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故 d 轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D 错误三考点分类探讨 典型问题 7例 1 A；设地球的密度为 ，地球的质量为 M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度 g = GM/R2.地球质量可表示为 M = (4R
21、3/3)，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以（R - d)为半径的地球的质量为 M = 4(Rd)3/3，解得 M M，则矿井底部处的重力加速(R dR)3 度 g = G M/( Rd)2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为 = 1 ，选项 A 正确，gg dR选项 B、 C、D 错误变式 1 BD；LRO 运行时的向心加速度为 a = 2r = (2/T)2(R + h)，B 正确；根据 Gm 月 m/(R + h)2 = m(2/T)2(R + h)，又 Gm 月 m/R2 = mg，两式联立得 g = 42(R + h)3/(T2R2)，D 正确
22、例 2 B；人造地球卫星(包括地球同步卫星)的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，而其运行速度小于第一宇宙速度，选项 A 错误；地球同步卫星在赤道上空相对地面静止，并且距地面的高度一定，大约是 3.6104 km，选项 B 正确；地球同步卫星绕地球运动的周期与地球自转周期相同，即 T = 24 h，而月球绕地球运行的周期大约是 27 天，选项 C 错误；地球同步卫星与静止在赤道上物体的运行周期相同，角速度也相同，根据公式 a = 2r 可知，运行半径大的向心加速度大，所以地球同步卫星的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度，选项 D 错误变式 2 C；设地球半径为 R，质量为 M，
23、则第一宇宙速度 v1 = ，根据万有引力等于向心力得同步GMR卫星的运行速度 v = ，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 倍，A 错、C 对；同步卫星和GMnR 1n地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，根据 v = r，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 n 倍，B 错；由 GMm/r2 = ma，可得同步卫星的向心加速度 a = GM/(nR)2，地球表面重力加速度 g = Gm/R2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 1/n2 倍，D 错例 3 AB；飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以 飞 = 地 ，由圆周运动线速度和角速度的关系 v = r 得
24、 v 飞 v 地 ，选项 A 正确；由公式 a = r2 知，a 飞 a 地 ，选项 B 正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故 C、D 选项错变式 3 D；由题图可知：“天宫一号”和“神舟九号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟九号”的轨道半径大由万有引力公式和向心力公式可得：GMm/ r2 = ma = mv2/r = m2r = m(2/T)2r，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A 、B 、C 错误，D 正确例 4 B；设卫星的质量为 m，由万有引力提供向心力，得 GMm/R2 = mv2/R mv2
25、/R = mg 由已知条件：m 的重力为 F 得 F = mg 由 得 g = F/m，代入得：R = mv2/F，代入 得 M = mv4/GF，故 A、C、D 三项均错误，B 项正确变式 4 D；设地球的密度为 ，半径为 R，第一宇宙速度为 v1， “开普勒226”的第一宇宙速度为v2，G (4/)R3m/R2 = mv12/R， G(4/)(2.4R)3m0/R2 = m0v22/2.4R 得 v2 = 2.4 v1 = 1.9104 m/s，故 D 正确例 5 ABC；椭 圆轨道远地点 A 的速度小于近地点 B 的速度，故选 A；在 A 点由轨道变到轨道要减速，动能减小，故选 B；由开
26、普勒第三定律 a3/T2 = 常数（其中 a 为椭圆半长轴或圆轨道半径） ，知，因 a vc，a、c 的角速度相等，v = r，由于 ra ac，a、b 的角速度相等，a =r 2，由于 ra Ek2，a 向 1a 向 2，T 12，选项 C、D 正确3CD；由宇宙速度的意义，可知选项 A、B 错误，选项 C 正确；已知 M 火 = M 地 /9，R 火 = R 地/2，则 vm/v1 = 0.5，选项 D 正确GM火R火 GM地R地 234C；由于 T1 = T2，故 相同， A 错根据 F 万 = F 向 ，对 m1 得 Gm1m2/L2 = m1v12/r1 = m1r12 对 m2 得
27、 Gm1m2/L2 = m2v22/r2 = m2r22 又 r1 + r2 = L 由得 v1/ v2 = r1/ r2 = m2/m1，B 错；r 1 = 2L/5、r 2 = 3L/5，C 对、D 错5D；第八颗北斗导航卫星在轨道 2 运行时引力完全提供向心力，处于完全失重状态，A 错；由 a = 2r 可知 B 错；由 v = 知北斗导航卫星在轨道 2 运行时的速度小于第一宇宙速度，C 错；由 a = GMrGM/r2 知在两轨道在 P 点的加速度相等，D 对6BC；地球与一颗卫星的万有引力可由万有引力定律直接求出， F 地卫 = G ，故 A 错误，B 正Mmr2确卫星间的万有引力也可由万有引力定律直接求出， F 卫卫 = G = G ，故 C 正确三颗卫星对mm（3r）2 m23r2地球的万有引力大小相等，相邻两个力的夹角均为 120，合力为零，故 D 错误9
