1、第 1 次作业1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2 0，试计算此博弈的贝叶斯均衡。m博弈论第 1 次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述b求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业 1，企业 2） ，收益为 。 （企业 2，企业 1） ，收益为 。)2,1(W),2(W存在一个混合策略均衡：令学生 A 选择
2、企业 1 的概率为 ，p选择企业 2 的概率为 ;学生 B 选择企业 1 的概率为 ，选择企p1 q业 2 的概率为 。q当学生 A 以 的概率选择时，学生 B 选择企业 1 的期望),(收益应该与选择企业 2 的期望收益相等，即： 21).(2.1)(12. WppWp 解得：,1221同理求出： 2).1(2.1)(12. WqqWq解得：,1221学生 B企业 1 企业 2企业 1 )2,(W),( 学生 A企业 2 , 12所以，混合策略纳什均衡为：学生 A、B 均以的概率选择企业 1，企业 2。)21,2(W2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利
3、润函数为： inkiiiiii qcaqcQaqcQaCqPu ).().(.).(. 1求解： inkqiq qcauii ).(mxa1对其求导，令导数为 0，解得反应函数为： .21 1121 niii qqca 纳什均衡 ,必是 n 条反应函数的交点),.(*2*1nq). *3*1 qcaq.(2*31* nq. ).(1 *1*21* niii qqcaq . ).(2*1*21* nnqc得到：，且为唯一的纳什均衡。1.*21 ncaq当趋向于无穷大时博弈分析无效。，此时为完全竞争市场，此时博弈分析01limli*ncaqin无效。3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是
4、多少？设：边际成本不变，为 ， 。1c2计算得市场出清价格为：)(00)( 21qQP两个厂商的利润函数为： 12111111 ).(0).(. qqccPqcu 222222 q求解： 12111 ).(0maxax11 qqcuqq 22 .22 对其求导，令导数为 0，解得反应函数为： )1(2)( 211 qcqR)0()( 1212 纳什均衡 ,即（20,30）为两条反应函数的交点)(*21q)300(21c)2(3得到：， 。 301c20c此时：， 。41u92u4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民 选择的养鸭数目为 ，则总数为i in)5,432,
5、1(。51iinN假设： 居民的得益函数为： iiiiiii nncVncVu ).48().(. 51计算： iiiuiu nii ).48(maxax51得到反应函数： ).(24 51121 nnnRn iiii 5、反应函数的交点 是博弈的纳什均衡。),*54*32*1将 带入反应函数，得：),( 54*32*1nn。8*此时：。64iu此时， 0N然后讨论下 N若 ，则 ，上述博弈成立。40若 ，则55、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵 1：妻子活着 死了活着 1，1 -1，0丈夫死了 0，-1 0，0矩阵 2：妻子活着 死了活着 0，0 1，0
6、丈夫死了 0，1 0，0矩阵 3：妻子活着 死了活着 -1，-1 1，0丈夫死了 0，1 0，0用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵 1：（活着，活着） （死了，死了）可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵 2：（活着，活着） （活着，死了） （死了，活着）可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵 3：（活着，死了） （死了，活着）可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。6、 （1）如果 ， ，试求此1212(,)3fee2()(1,)iice博弈的 Nash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度） 。（2）如果 ， ，试求此博1212(,)4f ()(,)ii弈的 Nash 均衡。（1）收益为：2111211 23)(),( eecefu 212212 )(),(f得出反应函数为：221143)(eeRe1122)(eee纳什均衡 为两条反应函数的交点，代入得出：),(*210,*2*1ee两个人都不会努力的（2）收益为：1211211 )(),( eecefu
