1、习题 1313-1如图为半径为 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度R和极化电荷的总和，已知极化强度为 P(沿 轴)。x（1） ；（2） 。0Px0解：可利用公式 算出极化电荷。 cosSSqddA首先考虑一个球的环形面元，有： ，2in()R（1） 时，由 知 ，0cos10P；2cosinsi20qPRdd （2） 时， ，x0 2200cocscosxR22csisP 。2230004oRPR13-2平行板电容器，板面积为 ，带电量 ，在两板间充满电介质后，2cm1C109.87其场强为 ，试求：（1）介质的相对介电常数 ；(2)介质表面上的极化电荷V/.6 r密度
2、。解：（1）由 ，有：0rE 18.7014.1085. 46270 ESQr（2） (1)7.6P13-3面积为 的平行板电容器，两板间距为 ，求：（1）插入厚度为 ，相对介电常Sd3d数为 的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为 的导电板，其电容量r又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为： ，0E而电介质内的场强为： ，0rr所以，两板间电势差为： ，023rdU那么， ，而 ， ；0(1)rSQCdSC0321r（2）插入厚度为 的导电板，可看成是两个电容的串联，3d有： ，0012/S 。021CdC32xyORxyORdSPsinrcosx3drd313-4在两
3、个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为 与 (绝对值)，试求：（1）电介质内的场强 ；（2）相对介0 E电常数 。r解：（1）由： ，有：0()SEdqA（ 给出的是绝对值）0（2）又由 ，有： 。0r000rE13-5在 导 体 和 电 介 质 的 分 界 面 上 分 别 存 在 着 自 由 电 荷 和 极 化 电 荷 。 若 导 体 内 表 面 的 自 由 电荷 面 密 度 为 ， 则 电 介 质 表 面 的 极 化 电 荷 面 密 度 为 多 少 ？ (已 知 电 介 质 的 相 对 介 电 常 数 为 )r解：由 ，考虑到 ，SqPdA
4、0(1)r有： ，0(1)rqE与 联立，有： ，S00(1)rq得： ， 。()rqqr13-6如图所示，半径为 的导体球带有电荷 Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、0R外半径分别为 和 ，相对电容率为 ，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量12r大小。解：利用介质中的高斯定理 。iSSDdqA内（1）导体内外的电位移为： ， ； ， 。0rR24r0RD（2）由于 ，所以介质内外的电场强度为：0rE时， ； 时， ；0rR11022004QEr时， ； 时， 。23004rrDR2004Dr13-7一圆柱形电容器，外柱的直径为 ，内柱的直径可以适当cm选择，若其间充满各向同性的均匀
5、电介质，该介质的击穿电场强度大小为 ，试求该电容器可能承受的最高电压。02/EkV解：由介质中的高斯定理，有： ，02rE ，0ln2RRrrrrRUdd击穿场强为 ， ，则 ，0E0r0UrrR令 ，有： ， ，0rdU00lnREr0ln1Rre0 。max0l147KVre13-8一平行板电容器，中间有两层厚度分别为 和 的电介质，它们的相对介电常数为1d2和 ，极板面积为 ，求电容量。1r2S解： ， ， ，12D10rE20r而： ，12rrdUd有： 。0012rrrSSQC13-9利用电场能量密度 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为 ，带电2ewE R量为 。解：首先求出场强
6、分布：130224QrREr 2 200 030 0()()442R RQWdVdrrd 。03Q13-10半径为 的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm.2和 ，当内球带电量为 时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）c.45C0.38用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布： 112 2203 3204ErRqrErR考虑到电场能量密度 ，有：球与球壳之间的电能：21ewE21 22 2001 0012()4()8RqqWdVrdR 4.01J球壳外部空间的电能：1r2O3R21，3222002 003()48RqqWEdVrdR 5.1J系统
7、储存的电能： ；12.1WJ（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为 0，所以 10W而外表面所带电荷不变，那么： 。52.13-11球形电容器内外半径分别为 和 ，充有电量 。 （1）求电容器内电场的总能量；1RQ（2）证明此结果与按 算得的电容器所储电能值相等。CQ2e解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为： ， （ ）204Er12Rr利用电场能量密度 ，有电容器内电场的能量：21ewE；21222200 100102()()4()88R QQWdVrd（2）由 ，2121 22012()44R RUr则球形电容器的电容为： ，120214RCU那么， 。 （与前面结
8、果一样） 20()8eQW13-12一平行板电容器的板面积为 ，两板间距离为 ，板间充满相对介电常数为 的Sdr均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度 不变0而把介质取出；（2）维持两板上电压 不变而把介质取出。U解：（1）维持两板上面电荷密度 不变，有介质时： ，0221001rrSdWE（ ， ）0rDE0取出介质后： ，22021SdW外力所做的功等于静电场能量的增加： ；20211()rSd（2）维持两板上电压 不变，有介质时： ，U2UCW取出介质后： ， 。20221dSC021()rSd考虑外力对电源做功： )(01 rqA所以外力所做的功为：
9、2rdU13-13在边长为 a 的等边三角形的三个顶点上各有一电荷为+q 的点电荷，而在三角形中心处有一电荷为 的点电荷，如图所3/q示求此点电荷系的电势能 解：三角形三个顶点上的电荷间的电势能为 aW0214三角形中心上的电荷与三个顶点的电荷间的电势能为 qq0202 3/3总电势能 W = W1 + W2 4020a答案：0。思考题 1313-1介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？答： 。Pcos13-2不同介质交界面处的极化电荷分布如何？答： ，11ne22ne即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强()P度的法向分量之差。13-3介质边界两侧的静电场中 及 的关系如何？DE答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。13-4真空中两点电荷 、 在空间产生的合场强为 .系统的电场能为AqB BAEd21d2100e VVEW.000 d21BABAVVE（1）说明等式后面三项能量的意义；（2） 两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ B、（3）将 两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？A答：第一项表示点电荷 所形成的电场的能量，第二项是点电荷 所形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。a a a+q+q+q3
