1、- 1 -二次函数压轴题解题思路一基础知识1 会求解析式 2.会利用函数性质和图像 3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转二典型例题（一）面积类1如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC ，是否存在 m，使 BNC 的面积最大
2、？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么BNC 的面积可表示为：S BNC =SMNC +SMNB=MN（OD +DB）= MNOB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 SBNC 、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有
3、最大值解答：- 2 -解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则：a（0+1） （03）=3 ，a=1 ；抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x 2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有：，解得 ；故直线 BC 的解析式：y =x+3已知点 M 的横坐标为 m，MNy，则 M（m，m +3） 、N（m，m 2+2m+3） ；故 MN=m 2+2m+3（m +3）=m 2+3m（0m3） （3）如图；S BNC =SMNC +SMNB =MN（OD+DB ）=MNOB ，S BNC =（m 2+3m）3=（m） 2+ （0m3） ；当 m=时，
4、BNC 的面积最大，最大值为 2如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M点的坐标- 3 -考点：二次函数综合题.专题：压轴题；转化思想分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3）MBC 的面积可由 SM
5、BC =BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M解答：解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x 2x 2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ；OA=1，OC =2，OB=4，即：OC 2=OAOB，又：OCAB ，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB= OCA+ OCB=OBC+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 A
6、B 的中点，且坐标为：（，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC 的解析式为： y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0 ；44（2b）=0 ，即 b=4；直线 l：y=- 4 -所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得： 即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2（2+3 ）+2324=4（二）周长类3如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和
7、y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；（4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ，过点 M 作BD 交 x 轴于
8、点 N，连接 PM、PN ，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由- 5 -考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）根据抛物线 y= 经过点 B（0，4） ，以及顶点在直线 x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ，利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可（3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可；（4）利用 MNB
9、D，得出 OMNOBD，进而得出 ，得到 ON= ，进而表示出PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可解答：解：（1）抛物线 y= 经过点 B（0，4）c=4，顶点在直线 x=上， = =，b= ；所求函数关系式为 ；（2）在 RtABO 中，OA=3，OB=4，AB= ，四边形 ABCD 是菱形，BC= CD=DA=AB=5，C、D 两点的坐标分别是（5，4） 、 （2，0） ，当 x=5 时，y= ，当 x=2 时，y= ，点 C 和点 D 都在所求抛物线上；- 6 -（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则 ，解得： ，
10、，当 x=时，y= ，P（ ） ，（4）MNBD，OMNOBD， 即 得 ON= ，设对称轴交 x 于点 F，则 （PF+OM） OF=（+t） ， ，SPNF =NFPF=（t）= ，S= （ ） ，= （0t4） ，a=0抛物线开口向下，S 存在最大值由 SPMN =t 2+ t=（t ） 2+ ，当 t= 时， S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0， ） （三）平行四边形类- 7 -4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t（1）
11、分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM ，当线段 PM 最长时，求 ABM 的面积（3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点
12、 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长，即 PM=（t3）（t 22t 3）=t 2+3t，然后根据二次函数的最值得到当 t= =时，PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM +SAPM 计算即可；（3）由 PMOB ，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t 22t 3）（t 3）=3 ；当 P 在第三象限：PM=OB=3，t
13、23t=3 ，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解：（1）把 A（3，0）B（0，3）代入 y=x2+mx+n，得解得 ，所以抛物线的解析式是 y=- 8 -设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x3；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t3）（t 22t 3）= t 2+3t，当 t= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =，则 SABM =SBPM +SAPM = = （3）存在，理由如下：PMOB
14、，当 PM=OB 时，点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限：PM =OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3当 P 在第一象限：PM =OB=3， （t 22t 3）（t3） =3，解得t1= ，t 2= （舍去） ，所以 P 点的横坐标是 ；当 P 在第三象限：PM =OB=3，t 23t =3，解得 t1= （舍去） ，t 2= ，所以 P点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 5如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到ABO（1）一抛物线经过
15、点 A、B、B，求该抛物线的解析式；- 9 -（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是A BO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，B（0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPB O+SPOB ，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P
16、点坐标即可；（3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可解答：解：（1）ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的，又 A（0，1） ，B（2，0） ，O （0，0） ，A （1，0） ，B（0，2） 方法一：设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c（a0） ，抛物线经过点 A、B、B， ，解得： ，满足条件的抛物线的解析式为 y=x 2+x+- 10 -方法二：A （1，0） ，B（0，2） ，B（2，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2）将 B（0，2）代入得出：2= a（0+1） （02） ，解得：
17、a=1，故满足条件的抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2）=x 2+x+2；（2）P 为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（x ，y） ，则 x0，y0，P 点坐标满足 y=x 2+x+2连接 PB，PO ，PB，S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB ，=12+2x+2y，=x+（ x2+x+2）+1，=x 2+2x+3A O=1，B O=2，ABO 面积为：12=1，假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，则4=x 2+2x+3，即 x22x+1=0，解得：x 1=x2=1，此时 y=1 2+1+2=2，即 P（1，2） 存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 （3）四边形 PBAB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分）或用符号表示：B AB=PBA或A BP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB（10 分）
