1、.名校专题-圆锥曲线培优训练 51、设椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点，O 为坐标原点21xyab6（）求椭圆 E的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。OAB解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点,21xyab6所以 解得 所以 椭圆 E的方程为 4分2416ab2842ab2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ,设该OAB圆的切线方程为 解方程
2、组 得 ,ykxm2184xykm22()8xk即 ,22(1)40k则= ,即26(1)()0kkm240km1228xmk22221212112(8)48()()11kmkmkyxxkmx()要使 ,需使 ,即 ,所以 ,OAB120y280230所以 又 , 238mk24k所以 ,所以 ,即 或 ,2236m263因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,ykx.所以圆的半径为 , , ,21mrk22831mrk263r所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,283xyykx而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或2632184y26(,)3满足 ,26(,)3OAB综上
3、, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且283xyOAB因为 ,12248kmx所以 ,2222211148(4)()()()11kmkmxx 22222111()|()()AByxk, 8分4224353kk当 时 ，因为 所以 ,0k21|ABk214k21084k所以 ,所以 当且仅当 时取“=” 232114k6|233AB2k 时, 0k6|3AB.当 AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,26(,)326(,)3所以此时 , 12分46|3AB综上, |AB |的取值范围为 即: 14分|23AB4|6,23AB2、如图，已知椭圆的中心在
4、原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M(2,1)，平行于 OM的x直线 l在 轴上的截距为 ，l 交椭圆于 A、B 两个不同点y(0)m（1）求椭圆的方程； （2）求 m的取值范围；（3）求证直线 MA、MB 与 轴始终围成一个等腰三角形 x解：（1）设椭圆方程为 则 2分)0(12bay 81422baa解 得椭圆方程 4分82x（2）直线 l平行于 OM，且在 轴上的截距为 m，又 y21OMKl 的方程为：mxy21由 6分0421282xyx直线 l与椭圆交于 A、B 两个不同点， ,0)42()(mm 的取值范围是 02|m且（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k
5、1，k2，只需证明 k1k2=0 即可设 21,),(),( 2121 xykxykyxBA则可得 8分042mx由 4,212m而 )()(,12111221 xyyxyk.)2()1(442)(2)2(1()12(1112xmmxxx10分0)(212 k1k2=0故直线 MA、MB 与 x轴始终围成一个等腰三角形 12 分3已知椭圆 ： ( )过点 ，其左、右焦点分别为 ，且E21yab0(3, 1)P12, F126FP（1）求椭圆 的方程；（2）若 是直线 上的两个动点，且 ，则以 为直径的圆 是否过定点？请说明理,MN5x12FMNC由解：（1）设点 的坐标分别为 ，12,F(,0
6、)()c则 (3,)(3,)Pc故 ，可得 ， 2分212106c4c所以 ，4 分212|(34)(3)16aF故 ，23,8162bc所以椭圆 的方程为 6 分E2xy（2）设 的坐标分别为 ，则 ，,MN(5,)mn12(9,)(1,)FMmNn又 ，可得 ，即 ， 8 分12F1290FNn又圆 的圆心为 半径为 ，C(5,),n|故圆 的方程为 ，222|()()mxy.即 ，2(5)()0xymny也就是 ， 11 分29令 ，可得 或 2，0y8x故圆 必过定点 和 13 分C(,0),（另法：（1）中也可以直接将点 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆 C直径的两端点直
7、接P写出圆 的方程）4、已知点 是直角坐标平面内的动点，点 到直线 的距离为 ，到点 的距离为 ，P12lx： 1d(0)F， 2d且 21d(1)求动点 P所在曲线 C的方程；(2)直线 过点 F且与曲线 C交于不同两点 A、B(点 A或 B 不在 x轴上)，分别过 A、B 点作直线l的垂线，对应的垂足分别为 ，试判断点 F与以线段 为直径的圆的位置关系(指在圆内、1:2lxMN、 MN圆上、圆外等情况)；(3)记 ， ， (A、B、 是(2)中的点)，问是否存在实数 ，使1FAMS2FNS3F、 成立若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由23进一步思考问题：若上述问题中直线 、点 、曲线
8、 C：21:alxc(0)，则使等式 成立的 的值仍保持不变请给出你的判断 2 21(0)xyabcab， 213S(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)解 (1) 设动点为 ，依据题意，有 ，化简得 3 分()Pxy，2()|xy21xy因此，动点 P所在曲线 C的方程是： 4 分21y(2) 点 F在以 MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点 F的直线 的斜率为 0时，不合题意，故可设直线 ：l l，如图所示 5 分1xmy联立方程组 ，可化为 ，2xy2()10my.则点 的坐标满足 7 分12()()AxyB， 、 ，12my又 、 ，可得点 、 Ml
9、1Nl1()My，2()Ny，因 ， ，则 = 9 分1()Fy2()， 1212()Fy， 20m于是， 为锐角，即点 F在以 MN为直径的圆的外部 10 分(3)依据(2)可算出 ， ，121224()xmym2112()x则 131122()|()|S，1212()44xxm21()m 14 分221(|)Sy2112()yy2()所以， ，即存在实数 使得结论成立 15 分 234S4对进一步思考问题的判断：正确 18 分5、已知点 是直角坐标平面内的动点，点 到直线 ( 是正常数)的距离为 ，到点PP12px1d的距离为 ，且 1(0)2pF， 2d12(1)求动点 P所在曲线 C的
10、方程；(2)直线 过点 F且与曲线 C交于不同两点 A、B，分别过 A、B 点作直线 的垂线，对应的垂足分l 1:2plx别为 ，求证 = ；MN、 0(3)记 ， ， (A、B、 是(2)中的点)， ，求 的值1FAS2FMNS3FNM、213S解 (1) 设动点为 ，依据题意，有()Pxy，.，化简得 4 分2|1|()12ppxxy2ypx因此，动点 P所在曲线 C的方程是： 6 分由题意可知，当过点 F的直线 的斜率为 0时，不合题意，l故可设直线 ： ，如图所示 8 分l1xmy联立方程组 ，可化为 ，2p220yp则点 的坐标满足 10 分12()()AxyBx， 、 ，12ym又
11、 、 ，可得点 、 1Ml1Nl1()pMy，2()pNy，于是， ， ，()Fpy2F因此 12 分11()0py(3)依据(2)可算出 ， ，21212()xmp2214ypx则 ，131122()|ppSyxy 2121()42(1)m 16 分221(|)y2112()442()pm所以， 即为所求 18 分213S6、已知：椭圆 （ ） ，过点 ， 的直线倾斜角为 ，原点到该直2byax0a)0,(aA),(bB6线的距离为 3（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过 与椭圆交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程；)0,1(DEFDF2E（3）是否存在实数 ，直线 交椭圆于 ，
12、两点，以 为直径的圆过点 ？若存k2kxyPQ)0,1(.在，求出 的值；若不存在，请说明理由k解：（1）由 ， ，得 ， ，3ab2321bab 3a1b所以椭圆方程是： 4分2yx（2）设 EF： （ ）代入 ，得 ，1mx0132yx 02)3(2my设 ， ),(2yF，由 ，得 ),(1yEDFE21y由 ， 8 分3221 3221my得 ， ， （舍去） ， （没舍去扣 1分）)3(22m直线 的方程为： 即 10分EF1yx0（3）将 代入 ，得 （*）2ky32 0912)3(2kxk记 ， ，PQ 为直径的圆过 ，则 ，即),(1xP),(2yxQ,DQDP，又 ， ，得)
13、(121221 yxy 21kx2kxy14 分0345)(1)( 22212 kxkxk解得 ，此时（*）方程 ， 存在 ，满足题设条件16 分67k0677、已知点 ，动点 满足条件 ，记动点 的轨迹为 。(2,0)(,MNP2MPNPW（1）求 的方程；W（2）过 作直线 交曲线 于 两点，使得 2 ，求直线 的方程。),(lW,AB|Al（3）若从动点 向圆 ： 作两条切线，切点为 、 ，令|PC|=d,PC22(4)1xyB试用 d来表示 ，并求 的取值范围。ABP解：（1）由 ，知点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线2MN(2,0)(,MN2.即设 ，所以所求的 的方程为 4
14、分2,42,2acacbW2xy（2）若 k不存在，即 x=2时,可得 A(2, )，B(2,- ),|AB|=2 满足题意； 5 分若 k存在，可设 l:y=k(x-2)联立 ，2)(2yx024)1(22kxk由题意知 且 6 分012kR1k设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 即 =2 k=0 即 l:y=0 8分2|a221|8k所以直线 l的方程为 x=0 或 y=0 9分（3） 22cos(1)sin)PABAPBdAPO 2221()()dd又22 2(4)480dxyyy则 - 13分PAB221)3dd21d在 是增函数， 2()3fd0, 1()0375f
15、则所求的 的范围为 。 16 分PAB17,58、在平面直角坐标系中，已知焦距为 4的椭圆 的左、右顶点分别为 ，椭)0(1:2bayaxCBA、圆 的右焦点为 ，过 作一条垂直于 轴的直线与椭圆相交于 ，若线段 的长为 。CFxSR、 S310（1）求椭圆 的方程；（2）设 是直线 上的点，直线 与椭圆 分别交于点 ，求证：直线),(mtQ9xQBA、 CNM、 N必过 轴上的一定点，并求出此定点的坐标；x（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。)0(py（1）依题意，椭圆过点 ，故 ，解得 。（3 分）)35,2
16、(41925ba592baA BQOMNxy9.椭圆 的方程为 。（4 分）C1592yx（2）设 ，直线 QA的方程为)3(12xmy，（5 分）),(m代入椭圆方程，得 ， （6 分）0796)80(2x设 ，则 ，（7 分）),(1yxM8347932121mx，故点 的坐标为 。（8 分）0)3804(2mM)04,8320(2m同理，直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 ，QB(6xy 196)( x设 ，则 ， 。),(2yxN20632018932mx 20)320(32 xy可得点 的坐标为 。（10 分）),6(m若 时，直线 的方程为 ，与 轴交于 点；40238024MN1
17、x)0,1(若 ，直线 的方程为 ，2mMN)2063(40122mmy令 ，解得 。综上所述，直线 必过 轴上的定点 。（12 分）y1x x,(（3）结论：已知抛物线 的顶点为 ， 为直线 上一动点，过点 作 轴的平)(2pxyOP)0(qx Px行线与抛物线交于点 ，直线 与抛物线交于点 ，则直线 必过定点 。（14 分）OPNM,证明：设 ，则 ，),(mqP),2(mpM直线 的方程为 ，代入 ，得 ，可求得 。（16 分）Oxyxy02ympq)2,(mpqN直线 的方程为 ，MN)2()2(2 pxqpmqpy 令 ，得 ，即直线 必过定点 。（18 分）0yqmx2MN)0,(q9、已知椭圆 中心为 ，右顶点为 ，过定点 作直线 交椭圆于 、 两点.214yO(,)2DtlAB（1）若直线 与 轴垂直，求三角形 面积的最大值； lxAB（2）若 ，直线 的斜率为 ，求证： ；65tl190M（3）直线 和 的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.AMBPOMNxyq
