1、1线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式 =m， =n，则行列式 等于（ D ）a12a132a1213A. m+n B. - (m+n) C. n- m D. m- n2.设矩阵 A= ，则 A- 1 等于（ B ）03A. B C D 130201232100133.设矩阵 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（ B ）31024A. 6 B. 6 C. 2 D. 24.
2、设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（ D ）A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ AT）等于（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组 1， 2， s 和 1， 2， s 均线性相关，则（ D ）A.有不全为 0 的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B.有不全为 0 的数 1， 2， s 使 1（ 1+ 1）+ 2（ 2+ 2）+ s（ s+ s）=0C.有不全为 0 的数 1， 2， s
3、使 1（ 1- 1）+ 2（ 2- 2）+ s（ s- s）=0D.有不全为 0 的数 1， 2， s 和不全为 0 的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ C ）A.所有 r- 1 阶子式都不为 0 B.所有 r- 1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ A ）A. 1+ 2 是 Ax=0 的一个解 B. 1+ 2 是 Ax=b 的一个解C. 1- 2 是 Ax
4、=0 的一个解 D.2 1- 2 是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ A ）A.秩(A )312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）A.|A|2 必为 1 B.|A|必为 1 C.A- 1=AT D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C TAC.则（ D ）A.A 与 B 相似 B. A 与 B 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A. B. C. D.234610235120第二部分 非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共 1
5、0 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. 6 .1359216.设 A= ，B = .则 A+2B= .1123437117.设 A=(aij)33，|A|=2，A ij 表示| A|中元素 aij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= 4 .18.设向量（2，-3，5）与向量（ -4，6，a）线性相关，则 a= -10 .19.设 A 是 34 矩阵，其秩为 3，若 1， 2
6、为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)） ，c 为任意常数20.设 A 是 mn 矩阵，A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量 、 的长度依次为 2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（+ ， - ）= -5 .22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为 -2 .23.设矩阵 A= ，已知 = 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值为 1 .016328124.设实二次型 f(x1,x2,x3,x
7、4,x5)的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 .zz12342三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）25.设 A= ，B= .求（1）AB T；（2） |4A|.03120326.试计算行列式 .3125420327.设矩阵 A= ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.41228.给定向量组 1= ， 2= ， 3= ， 4= .0314021019试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 A= .60334求：（1）秩（A） ；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A= 的全部特征值为 1，
8、1 和 - 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T-0431AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)= ，xxx123123244并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E- A 可逆，且（E - A） - 1=E+A+A2.33.设 0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系.试证明（1） 1= 0+ 1， 2= 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（2） 0， 1， 2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共 14 小题
9、，每小题 2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 616. 17. 4 18. 10 19. 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)） ，c 为任意常数37120. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 24. zz234三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）25.解（1）AB T= = .034128103（2）|4A|=4 3|A|=64|A|，而|A|= .所以|4A |=64（
10、- 2）= - 128241426.解 = =3125420351300510516206253014.27.解 AB=A+2B 即（A - 2E）B=A，而（A - 2E） - 1= 014356.所以 B=(A- 2E)- 1A= =3421086912.28.解一 30102495123 35081410352所以 4=2 1+ 2+ 3，组合系数为（2，1，1）.,01解二 考虑 4=x1 1+x2 2+x3 3，即 0312491x.方程组有唯一解（2，1，1） T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵 A 施行初等行变换A =B. 1063289 02038361712038
11、31（1）秩（B）=3 ，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3 、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=（2， - 1，0） T， 2=（2，0，1） T.经正交标准化，得 1= ， 2= .=-8 的一个特征向量为 3=5/4513/5，12经单位化得 3= 所求正交矩阵为 T= .12/.251534
12、20/对角矩阵 D= （也可取 T= .）108.2515324/31.解 f(x1，x 2，x 3)=（x 1+2x2- 2x3） 2- 2x22+4x2x3- 7x32=（x 1+2x2- 2x3） 2- 2（x 2-x3） 2- 5x32.设 ， 即 ，因其系数矩阵 C= 可逆，yx233y133 120故此线性变换满秩。经此变换即得 f(x1，x 2，x 3)的标准形 y12- 2y22- 5y32 .四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.证 由于（E - A） （E+A+A 2）=E - A3=E，所以 E- A 可逆，且（E - A） - 1= E+A+A2 .33.证 由假设 A 0=b，A 1=0，A 2=0.（1）A 1=A（ 0+ 1）=A 0+A 1=b，同理 A 2= b，所以 1， 2 是 Ax=b 的 2 个解。（2）考虑 l0 0+l1 1+l2 2=0，即 （l 0+l1+l2） 0+l1 1+l2 2=0.则 l0+l1+l2=0，否则 0 将是 Ax=0 的解，矛盾。所以l1 1+l2 2=0.又由假设， 1， 2 线性无关，所以 l1=0，l 2=0，从而 l0=0 .所以 0， 1， 2 线性无关。
