1、 2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换2、三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBL = L ，A ，B公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可
2、确定一个平面（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等LACBAP L2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角 的范围是 0 0ac 22.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平
3、行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a针对性练习：1.若直线 a 不平行于平面 ，则下列结论成立的是（ ）A. 内所有的直线都与 a 异面； B. 内不存在与 a 平行的直线；C. 内所有的直线都与 a 相交； D.直线 a 与平面 有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空
4、间四边形 ABCD 中，若 ，则 与 所成角为ABDCBDACBA、 B、 C、 D、0304506094. 给出下列命题：（1）直线 a 与平面 不平行，则 a 与平面 内的所有直线都不平行；（2）直线 a 与平面 不垂直，则 a 与平面 内的所有直线都不垂直；（3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直；（4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）35正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点 P
5、为 ABC 所在平面外一点，PO平面 ABC，垂足为 O，若 PA=PB=PC，则点O 是 ABC 的（ ） （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7.如图长方体中，AB=AD=2 ，CC 1= ，则二面角32C1BDC 的大小为（ ）（A）30 0 （B）45 0 （C）60 0 （D）90 08.直线 a,b,c 及平面 ,下列命题正确的是（ ）A、若 a ，b ,ca, cb 则 c B、若 b , a/b 则 a/ C、若 a/,=b 则 a/b D、若 a, b 则 a/b9.平面 与平面 平行的条件可以是（ ）A. 内有无穷多条直线与 平行； B.直线 a/ ,a/C.直线
6、 a ,直线 b ,且 a/ ,b/ D. 内的任何直线都与 平行10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于 b； 过 a 至少有一个平面垂直于 b；至多有一条直线与 a，b 都垂直；至少有一个平面与 a，b 都平行。其中正确命题的个数是（ ） A BCDA1 B1C1D1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11.已知直线 a/平面 ，平面 /平面 ，则 a 与 的位置关系为 . 12已知直线 a直线 b, a/平面 ,则 b 与 的位置关系为 .13 如图，ABC 是直角三角形， ACB= ，PA 平面 ABC，此图形中有 个直角三90
7、角形14.、 是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出四个论断： m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）15如图，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC 求证：ABBC 16在三棱锥 S-ABC 中，已知 AB=AC，O 是 BC 的中点，平面 SAO 平面 ABC求证：SAB=SACABOCSPABCABCP17如图，PA平面 ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面 AEF平面 PBC；（2）求二面角 PBCA 的
8、大小；（3）求三棱锥 PAEF 的体积.参考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若则17.（2）45ABCPEF2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a ab = P b a
9、b2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行练习巩固：1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( d ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面2、下
10、列结论中，正确的有( a ) 若 a ,则 a a平面 ,b 则 ab平面 平面 ,a ,b ,则 ab 平面 ,点 P,a,且 Pa，则 aA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3、在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AEEB=CFFB=13，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定4、a，b 是两条异面直线，A 是不在 a，b 上的点，则下列结论成立的是( d ) A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,bC.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过
11、 A 且平行 a,b 的平面可能不存在5、已知直线 a 与直线 b 垂直 ,a 平行于平面 ,则 b 与 的位置关系是( ) A.b B.b C.b 与 相交 D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为( a ) 直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l;若直线 a 在平面 外，则 a;若直线 ab,直线 b ,则 a;若直线 ab,b 平面 ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线.A.1 B.2 C.3 D.47、下列命题正确的个数是( a ) (1)若直线 l 上有无数个点不在 内，则 l(2)若直线 l 与平面 平行，l 与平面 内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条
12、直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线 a 和平面 内一直线 b 平行，则 aA.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个8、已知 m、n 是两条不重合的直线，、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是 d若 m,m,则 ; 若 ,则 ;若 m ,n ,mn,则 ; 若 m、n 是异面直线，m ,m,n ,n,则.A.和 B.和 C.和 D.和9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平行的长方体的面有( c ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个10、对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条
13、件：存在平面 ，使得 、 都垂直于 ；存在平面 ，使 、 都平行于 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线l，M，使得 l,l ,M ,M. 其中可以判断两个平面 与 平行的条件有（ b）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、填空题 【共 4 道小题】1、在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是棱 A1B1、B 1C1的中点，P 是棱 AD 上一点，AP= ,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ=_.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知 MNPQ(MN平面 AC，PQ=平面 PMN平面 AC，MNPQ). 易知 DP=DQ
14、= .故 . 答案：2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内3、若直线 a 和 b 都与平面 平行，则 a 和 b 的位置关系是_. 参考答案与解析:相交或平行或异面4、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD1 中点，则 BD1 与过点 A，C，E 的平面的位置关系是_. 参考答案与解析:解析：如图所示，连结 BD，设 BDAC=O，连结 BD1，在BDD1 中， E 为 DD1 的中点，O 为 BD 的中点， OE 为 BDD1 的中位线.OEBD 1.又 平面 ACE， OE 平面 ACE
15、， BD1平面 ACE.答案：平行三、解答题 【共 3 道小题】1、如图，直线 AC，DF 被三个平行平面 、 所截.是否一定有 ADBECF；求证： .参考答案与解析:解析：平面 平面 ，平面 与 没有公共点，但不一定总有 ADBE. 同理不总有 BECF.过 A 点作 DF 的平行线，交 ， 于 G，H 两点，AHDF.过两条平行线 AH，DF 的平面，交平面 , 于 AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有 ADGEHF.AGED 为平行四边形.AG=DE.同理 GH=EF.又过 AC，AH 两相交直线之平面与平面 , 的交线为 BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BGCH.在ACH 中， .而 AG=DE，GH=EF， .2、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点. 求证：SA平面 MDB.
