1、第九章 振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 ，2A且向 x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题- 图分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在 x 轴上投影点的位移为 A/2，且投影点的运动方向指向 Ox 轴正向，即其速度的 x 分量大于零，故满足题意因而正确答案为（b）9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ） cm324cosD cm324cosBC A txtx题- 图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 A/2，且向 x 轴负方向运动图（）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为 振动曲线上给出质
2、点从A/2 处运动到+A 处所需时间为 1 s，3/2由对应旋转矢量图可知相应的相位差 ，则角频率3/4，故选（D ）本题也可根据振动曲线所给信息，1s/4/t逐一代入方程来找出正确答案9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比 x2 的相位（ ）（A） 落后 （B）超前 （C）落后 （D）超前22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）题- 图9-4 当质点以频率 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ）（A） （B） （C） （D）2vvv2v4分析与解 质点作简谐运动的动能表式为 ，tAmEk2sin1可见其周期为简谐运动周期的一半，则
3、频率为简谐运动频率 的两倍因而正确答案为（C）9-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A） （B） （C） （D）23210分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是 （即反相位）运动方程分别为 和tAxcos1它们的振幅不同对于这样两个简谐运动，可用旋cos2tx转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为 因而正确txcs21答案为（D）题- 图9-6 有一个弹簧振子，振幅 ，周期 ，初相m1022.As01.T试写出它的运动方程，并作出 图、 图和 图4/3txtvta题-6 图分析 弹簧
4、振子的振动是简谐运动振幅 、初相 、角频率 是简A谐运动方程 的三个特征量求运动方程就要设法确定这tAxcos三个物理量题中除 、 已知外， 可通过关系式 确定振T/2子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同解 因 ，则运动方程T/2tcoscosTAtx根据题中给出的数据得m 75.02cos10.2tx振子的速度和加速度分别为 -12 s .in4d/ tyv-2 750cos18xa、 及 图如图所示txtt9-7 若简谐运动方程为 ，求：（ 1） m2.tx振幅、频率、角频率、周期和初相；（2） 时的位移、速度和加速s度 分析 可采用比较法求解将已知的简谐运动方程与简谐
5、运动方程的一般形式 作比较，即可求得各特征量运用与上题相同tAxcos的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入 值后，即可求得t结果解 （1） 将 与 比m25.0cos1.0tx tAxcos较后可得：振幅 A 0.10m，角频率 ，初相 0.25 ，则周1s期 ，频率 s./2THz/Tv（） 时的位移、速度、加速度分别为tm107.25.04co1.02tx -1s4.sind/ tv-222 92cxa9-8 一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运
6、动，并求振动周期分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 与位移 间的关系，如果满足 ，则货轮FxkxF作简谐运动通过 即可求得振动周期 kxFkmT/2/证 货轮处于平衡状态时图（a），浮力大小为 F mg当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x 轴正向，如图（b）所示则当货轮向下偏移 x 位移时，受合外力为 PF其中 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为F gSxmx题- 图则货轮所受合外力为 kxgSFP式中 是一常数这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是gSk简谐运动由 可得货轮运动的微分方程为txm
7、F2d/ 0d2mgSxtx/令 ，可得其振动周期为gS/2gSmT/2/9-9 设地球是一个半径为 R 的均匀球体，密度 现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为 m 33mkg105.的质点在此隧道内作无摩擦运动（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期题- 图分析 证明方法与上题相似分析质点在隧道内运动时的受力特征即可证 （1） 取图所示坐标当质量为 m 的质点位于 x 处时，它受地球的引力为 2xGF式中 为引力常量， 是以 x 为半径的球体质量，Gm即 令 ，则质点受力3/4xx3/4kkxGF因此，质点作简谐运动（2） 质点振动的周期为s107.5/3/2GkmT9-10
8、 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 、 当1k2物体在光滑斜面上振动时（1） 证明其运动仍是简谐运动；（ 2） 求系统的振动频率题 9-10 图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）为此，建立如图（b）所示的坐标设系统平衡时物体所在位置为坐标原点 O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿 Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 、 ，则由物体
9、受力平衡，有1x221sinxkmg（1）按图（b）所取坐标，物体沿 x 轴移动位移 x 时，两弹簧又分别被拉伸和 ，即 则物体受力为1x22112sinsinxkmgkmgF（）将式（1）代入式（2）得12xk（）由式（3）得 、 ，而 ，则得到11kFx/ 22x/ 21kxk1式中 为常数，则物体作简谐运动，振动频率212kk/ mkmv 212/讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因（2） 如果振动
10、系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为 ，读者可以mkv/212一试通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的*9 11 在如图（a）所示装置中，一劲度系数为 k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为 的物体 ，置于光滑水平桌面1mA上现通过一质量 m、半径为 R 的定滑轮 B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为 的物体 C设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求2系统的振动角频率题 9-11 图分析 这是一个由弹簧、物体 A、C 和滑轮 B 组成的简谐运动系统求解系统的振动频率可采用两种方法（1） 从受力分析着手如图（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体 A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点 O，此时弹簧已伸长 ，且 当弹簧沿 轴正向从0xgmk20xO原点 O 伸长 x 时，分析物体 A、C 及滑轮 B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程（2）从系统机械能守恒着手列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程解 1 在图（b）的状态下，各物体受力如图（c）所示其中考虑到绳子不可伸长，对物体 A、B、 C 分别列方程，iF0xk有2101dtxmxkFT（1）
