二次函数复习专题讲义.doc

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1、 二次函数【知识清单】1、一般的,形如 2(0,)yaxbcabc是 常 数 的函数叫二次函数。例如22221,6,4,5963yxxyx等都是二次函数。注意:系数 a不能为零, ,bc可以为零。2、二次函数的三种解析式(表达式)一般式: 2(0,)yxabc是 常 数顶点式: () 0hka为 常 数 , 且 ,顶点坐标为 (,)hk交点式: 1212(, )yxxx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标3、二次函数的图像位置与系数 abc之间的关系 a:决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 0a时,开口方向向上;当0时,开口方向向下。 |决定开口大小,当 |越大,则抛物

2、线的开口越小;当 |越小,则抛物线的开口越大。反之,也成立。 c:决定抛物线与 y轴交点的位置。当 0c时,抛物线与 y轴交点在 y轴正半轴(即 x轴上方) ;当 0c时,抛物线与 y轴交点在 轴负半轴(即 x轴下方);当 0时,抛物线过原点。反之,也成立。 ab和 :共同决定抛物线对称轴的位置。当 02ba时,对称轴在 y轴右边;当 02时,对称轴在 y轴左边;当 (即当 时)对称轴为 轴。反之,也成立。特别:当 1x时,有 yabc;当 1x时 ,有 yabc。反之也成立。4、二次函数 2()yhk的图像可由抛物线 2x向上(向下) ,向左(向右)平移而得到。具体为:当 0h时,抛物线 2

3、yax向右平移 h个单位;当0h时,抛物线 2yax向左平移 个单位,得到 2();当 0k时,抛物线 2()yxh再向上平移 k个单位,当 k时,抛物线 2yx再向下平移 k个单位,而得到 2()yxh的图像。5、抛物线 20yaxbc与一元二次方程 20()axbca的关系:若抛物线 ()xa与 轴有两个交点,则一元二次方程2()xc有两个不相等的实根。若抛物线 2(0)yxbc与 x轴有一个交点,则一元二次方程20()axbca有两个相等的实根(即一根) 。若抛物线 2()yxc与 x轴无交点,则一元二次方程2()xc没有实根。6、二次函数 20,)yabxabc是 常 数 的图像与性质

4、关系式 2(0yx2()(0)yaxhka图像形状 抛物线顶点坐标24(,)bac(,)对称轴 xxh0a在图像对称轴左侧,即 2bxa或 , y随 的增大而减小;在图像对称轴右侧,即 或 xh,y随 x的增大而增大;增减性在图像对称轴左侧,即 2bxa或 xh, y随 x的增大0a而增大;在图像对称轴右侧,即 2bxa或 xh,y随 x的增大而减小;0a当 2ba时,4=cy最 小 值 当 x时, =ky最 小 值最大值最小值 0a当 2bxa时,4=cy最 大 值 当 xh时, =ky最 大 值【考点解析】考点一:二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是( )2.8Ayx.81By

5、x 8.Cyx 23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断, A中 1符合2(0)yaxbc的形式,所以是二次函数, ,B分别是一次函数和反比例函数, D中右边 234不是整式,显然不是二次函数。【答案】 A【例 2】已知函数 2234()(1)myxx是二次函数,则 m_。【解析】根据二次函数的定义,只需满足两个条件即可“ 二次项系数不为零,且 x的最高次数为 2”。故有 2034m,解得 021m且或 ,综上所述, 取 2。【答案】 2【针对训练】1、若函数 2()myx是二次函数,则该函数的表达式为_。考点二:待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点 8,a在二次

6、函数 2axy的图象上,则 a的值是()2.A .B .C 2.D【解析】因为点 ,在二次函数 2xy的图象上,所以将点 8,代入二次函数2axy中,可以得出 3a8,则可得 a,【答案】 .A【例 2】若 二 次 函 数 cbxy2的 与 y的 部 分 对 应 值 如 下 表 , 则 当1x时 , 的 值 为 ( )x765432y21355.A .B .C 27【解析】设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 khxay2,因 为 当 4x或 2时 ,3y,由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 3, 5,所 以 53ay,把,2代 入 得 , 2a,所 以 二 次 函 数 的 解 析 式

7、为 2x,当x时 , 7y。 【答 案 】C【针对训练】1、 过 0, 3,21三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 ( ).A2,.(,)B 5,1.C 14.(2,)3D2、无论 m为何实数,二次函数 2xymx的图象总是过定点( )3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1D【例 3】如 图 所 示 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 二 次 函 数 cbxay2的 图象 顶 点 为 2,., 且 过 点 2,0B, 则 y与 x的 函 数 关 系 式 为 ( ) .A2xy.xy .C2 .D2xy【解析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 xay,将 ,

8、0B代 入 得202,解 得 : 1a,故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是 2xy,【答 案 】D【针对训练】1、过 0,, ,3, 2,1三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 _。考点三:二次函数的图像与性质的综合应用(与系数 ,abc的关系)【例 1】已知二次函数 bxay2)()0(a有最小值 1,则 、 的大小关系为( ).Aba.Bb .C .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数 xay2)1()0(a有最小值 1,所以0a, 1b, ,所以 b。【答案】 .A【针对训练】 1、二次函数 142xy的最小值是 。2、二次函数 3)(2

9、的图象的顶点坐标是( ).A)3(,.B, .C)(, .D)31(,3、抛物线 )2(xy的顶点坐标是( ).)1(,.1, .)1(, .)(,【例 2】抛物线 3)2(xy可以由抛物线 2xy平移得到,则下列平移过程正确的是( ).A先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位B先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位D先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线 2xy向左平移 2 个单位可得到抛物 线 2)(xy,再向下平移 3个单位可得到抛物线 3)(。【答案】 .B【针对训练】 1、

10、已知下列函数:(1) 2xy;(2) 2xy;(3) 2)1(xy。其中,图象通过平移可以得到函数 的图象的有 (填写所有正确选项的序号) 。2、将抛物线 2xy向上平移一个单位后,得到新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线 2向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是( ).A2xy.B2)(xy .C2)(xy D【例 3】二次函数 cbxay2的图象如图所示,则下列关系式错误的是( ) .A0a.B0 .C042acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与 y轴的交点在 y轴的正半轴上,与 x轴有两个交点,所以 0

11、a,c, 042acb,且当 1x时,0cbay。显然选项 A、B、C 都正确,只有 选项 D 错误。 【答案】 .D【例 4】已知二次函数 cbxay2的图象如图所示,对称轴为直线 1x,则下列结论正确的是( ).A0acB方程 02cbx的两根是 1x, 32.CD当 时, y随 的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知 0a, c,故 A 错误;因对称轴为直线 1x,所以 12ab,故 C 错误 ;由图象可知当 1x时, y随 x的增大而增大,故 D 错误;由二次函数的对称性可知 B 选项正确,【答案】 .【针对训练】 1、在同一平面直角坐标系中,函数 mxy和函数 2

12、2xy( m是常数,且 0m)的图象可能是( ).A.B .C D2、已知抛物线 cbxay2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( ).A0a.B0bCcDca3、在反比例函数中 xy)(,当 0x时, y随 x的增大而减小,则二次函数 xay2的图象大致是( ).A.B .C .D考点四:二次函数的实际应用【例 1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件,受美元走低的影响,从去年 1 至 9 月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格 1y(元)x与月份( x,且 取整数)之间的函数关系如下表:月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9价格 1y(元/

13、件) 560 580 600 620 640 660 680 700 720随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10 至 12 月每件配件的原材料价格 2y(元)与月份 x(10 12,且 x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出 1y与 x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出 2y与 x之间满足的一次函数关系式;(2)若去年该配件每件的售价为 1000 元,生产每件配件的人力成本为 50 元,其它成本 30 元,该配件在 1 至 9 月的销售量 1p(万件)与月份 x满足函数关系式 .1

14、01xp(1 x9,且 取整数)10 至 12 月的销售量 2p(万件)与月份 满足函数关系式 9.2102p(10 x12,且 取整数) 求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;(3)今年 1 至 5 月,每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元,人力成本比去年增加 20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 %a,与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 %1.0a这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务,请你参考以下数据,估算出 a的整数值(参考数据:99 2=9901,98 2

15、=9604,97 2=9409,96 2=9216,95 2=9025)【考点】涉及函数模型,把实际问题转化为函数,用函数的观点来解决问题, 综合性比较强,一般还涉及不等式,最值问题。【解析】(1)把表格(1)中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1y的解析式把(10,730)(12,750)代入直线解析式可得 2y的解析式, ;(2)分情况探讨得:1 x9时,利润= 1p(售价各种成本);10 x12 时,利润 = p(售价各种成本);并求得相应的最大利润即可;(3)根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解:(1)设 bkxy,则 8026k,解得 5420bk,

16、 54021xy(1 9,且 取整数);设 axy2,则 75123a,解得63ba, 6312(10 x12,且 取整数);(2)设去年第 x月的利润为 W元 1 9,且 x取整数时 450)(241862)3051( 21 ypWx=4 时, W最大=450 元;10 x12,且 取整数时, 222 )9()3051(xypWx=10 时, W最大=361 元;(3)去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7 (万件),今年原材料价格为:750+60=810(元)今年人力成本为:50(1+20%)=60 元51000(1+ %a)81060301.7(10.1 %a)=1700,设

17、 t,整理得 09102t,解得 49t9401 更接近于 9409, 97401, 1t0.1, 2t9.8, 1a10 或 2980,1.7(10.1 %a)1, 10【答案】(1) 6302xy(10 x12,且 取整数);(2) x=10 时, W最大=361 元;(3) 10【针对训练】1、在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现,若每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出 36 件;若每件按 29 元的价格销售时,每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y(件)与销售价格 x(元 /件)满足一个以 x 为自变量的一次函数。(1)求 y 与 x 满足的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) ;(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 P最大?

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