1、 二次函数【知识清单】1、一般的，形如 2(0,)yaxbcabc是 常 数 的函数叫二次函数。例如22221,6,4,5963yxxyx等都是二次函数。注意：系数 a不能为零， ,bc可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式： 2(0,)yxabc是 常 数顶点式： () 0hka为 常 数 ， 且 ，顶点坐标为 (,)hk交点式： 1212(, )yxxx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标3、二次函数的图像位置与系数 abc之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 0a时，开口方向向上；当0时，开口方向向下。 |决定开口大小，当 |越大，则抛物
2、线的开口越小；当 |越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 c：决定抛物线与 y轴交点的位置。当 0c时，抛物线与 y轴交点在 y轴正半轴（即 x轴上方） ；当 0c时，抛物线与 y轴交点在 轴负半轴（即 x轴下方）；当 0时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和 ：共同决定抛物线对称轴的位置。当 02ba时，对称轴在 y轴右边；当 02时，对称轴在 y轴左边；当 （即当 时）对称轴为 轴。反之，也成立。特别：当 1x时，有 yabc；当 1x时 ，有 yabc。反之也成立。4、二次函数 2()yhk的图像可由抛物线 2x向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当 0h时，抛物线 2
3、yax向右平移 h个单位；当0h时，抛物线 2yax向左平移 个单位，得到 2()；当 0k时，抛物线 2()yxh再向上平移 k个单位，当 k时，抛物线 2yx再向下平移 k个单位，而得到 2()yxh的图像。5、抛物线 20yaxbc与一元二次方程 20()axbca的关系：若抛物线 ()xa与 轴有两个交点，则一元二次方程2()xc有两个不相等的实根。若抛物线 2(0)yxbc与 x轴有一个交点，则一元二次方程20()axbca有两个相等的实根（即一根） 。若抛物线 2()yxc与 x轴无交点，则一元二次方程2()xc没有实根。6、二次函数 20,)yabxabc是 常 数 的图像与性质
4、关系式 2(0yx2()(0)yaxhka图像形状 抛物线顶点坐标24(,)bac(,)对称轴 xxh0a在图像对称轴左侧，即 2bxa或 ， y随 的增大而减小；在图像对称轴右侧，即 或 xh，y随 x的增大而增大；增减性在图像对称轴左侧，即 2bxa或 xh， y随 x的增大0a而增大；在图像对称轴右侧，即 2bxa或 xh，y随 x的增大而减小；0a当 2ba时，4=cy最 小 值 当 x时， =ky最 小 值最大值最小值 0a当 2bxa时，4=cy最 大 值 当 xh时， =ky最 大 值【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.8Ayx.81By
5、x 8.Cyx 23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断， A中 1符合2(0)yaxbc的形式，所以是二次函数， ,B分别是一次函数和反比例函数， D中右边 234不是整式，显然不是二次函数。【答案】 A【例 2】已知函数 2234()(1)myxx是二次函数，则 m_。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“ 二次项系数不为零，且 x的最高次数为 2”。故有 2034m，解得 021m且或 ，综上所述， 取 2。【答案】 2【针对训练】1、若函数 2()myx是二次函数，则该函数的表达式为_。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点 8,a在二次
6、函数 2axy的图象上，则 a的值是（）2.A .B .C 2.D【解析】因为点 ,在二次函数 2xy的图象上，所以将点 8,代入二次函数2axy中，可以得出 3a8，则可得 a，【答案】 .A【例 2】若 二 次 函 数 cbxy2的 与 y的 部 分 对 应 值 如 下 表 ， 则 当1x时 ， 的 值 为 （ ）x765432y21355.A .B .C 27【解析】设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 khxay2，因 为 当 4x或 2时 ，3y，由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 3， 5，所 以 53ay，把,2代 入 得 ， 2a，所 以 二 次 函 数 的 解 析 式
7、为 2x，当x时 ， 7y。 【答 案 】C【针对训练】1、 过 0, 3,21三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 （ ）.A2,.(,)B 5,1.C 14.(2,)3D2、无论 m为何实数，二次函数 2xymx的图象总是过定点（ ）3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1D【例 3】如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 二 次 函 数 cbxay2的 图象 顶 点 为 2,.， 且 过 点 2,0B， 则 y与 x的 函 数 关 系 式 为 （ ） .A2xy.xy .C2 .D2xy【解析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 xay，将 ,
8、0B代 入 得202，解 得 ： 1a，故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是 2xy，【答 案 】D【针对训练】1、过 0,， ,3， 2,1三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 _。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 ,abc的关系）【例 1】已知二次函数 bxay2)()0(a有最小值 1，则 、 的大小关系为（ ）.Aba.Bb .C .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数 xay2)1()0(a有最小值 1，所以0a， 1b， ，所以 b。【答案】 .A【针对训练】 1、二次函数 142xy的最小值是 。2、二次函数 3)(2
9、的图象的顶点坐标是（ ）.A)3(，.B， .C)(， .D)31(，3、抛物线 )2(xy的顶点坐标是（ ）.)1(，.1， .)1(， .)(，【例 2】抛物线 3)2(xy可以由抛物线 2xy平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线 2xy向左平移 2 个单位可得到抛物 线 2)(xy，再向下平移 3个单位可得到抛物线 3)(。【答案】 .B【针对训练】 1、
10、已知下列函数：（1） 2xy；（2） 2xy；（3） 2)1(xy。其中，图象通过平移可以得到函数 的图象的有 （填写所有正确选项的序号） 。2、将抛物线 2xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线 2向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A2xy.B2)(xy .C2)(xy D【例 3】二次函数 cbxay2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） .A0a.B0 .C042acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与 y轴的交点在 y轴的正半轴上，与 x轴有两个交点，所以 0
11、a，c， 042acb，且当 1x时，0cbay。显然选项 A、B、C 都正确，只有 选项 D 错误。 【答案】 .D【例 4】已知二次函数 cbxay2的图象如图所示，对称轴为直线 1x，则下列结论正确的是（ ）.A0acB方程 02cbx的两根是 1x， 32.CD当 时， y随 的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知 0a， c，故 A 错误；因对称轴为直线 1x，所以 12ab，故 C 错误 ；由图象可知当 1x时， y随 x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】 .【针对训练】 1、在同一平面直角坐标系中，函数 mxy和函数 2
12、2xy（ m是常数，且 0m）的图象可能是（ ）.A.B .C D2、已知抛物线 cbxay2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）.A0a.B0bCcDca3、在反比例函数中 xy)(，当 0x时， y随 x的增大而减小，则二次函数 xay2的图象大致是（ ）.A.B .C .D考点四：二次函数的实际应用【例 1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 1y（元）x与月份（ x，且 取整数）之间的函数关系如下表：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9价格 1y（元/
13、件） 560 580 600 620 640 660 680 700 720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格 2y（元）与月份 x（10 12，且 x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出 1y与 x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出 2y与 x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 1p（万件）与月份 x满足函数关系式 .1
14、01xp（1 x9，且 取整数）10 至 12 月的销售量 2p（万件）与月份 满足函数关系式 9.2102p（10 x12，且 取整数） 求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 %a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 %1.0a这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出 a的整数值（参考数据：99 2=9901，98 2
15、=9604，97 2=9409，96 2=9216，95 2=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题， 综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1y的解析式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得 2y的解析式， ；（2）分情况探讨得：1 x9时，利润= 1p（售价各种成本）；10 x12 时，利润 = p（售价各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：（1）设 bkxy，则 8026k，解得 5420bk，
16、 54021xy（1 9，且 取整数）；设 axy2，则 75123a，解得63ba， 6312（10 x12，且 取整数）；（2）设去年第 x月的利润为 W元 1 9，且 x取整数时 450)(241862)3051( 21 ypWx=4 时， W最大=450 元；10 x12，且 取整数时， 222 )9()3051(xypWx=10 时， W最大=361 元；（3）去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7 （万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60 元51000（1+ %a）81060301.7（10.1 %a）=1700，设
17、 t，整理得 09102t，解得 49t9401 更接近于 9409， 97401， 1t0.1， 2t9.8， 1a10 或 2980，1.7（10.1 %a）1， 10【答案】（1） 6302xy（10 x12，且 取整数）；（2） x=10 时， W最大=361 元；（3） 10【针对训练】1、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元 /件）满足一个以 x 为自变量的一次函数。（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P最大？
