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1、1勾股定理经典例题含答案 11 页勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a+b=c，若 a、b、c 都是正整数，(a,b,c)叫做勾股数组。勾股定理现约有 500 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类 早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“ 勾

2、三股四弦五” 的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9 ，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在ABC 中， C=90，a=6，c=10,b=(2) 在ABC 中，C=90，a=40，b=9,c=(3) 在ABC 中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三

3、【变式】:如图B=ACD =90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC 2 =AD2CD 2=13212 2=25AC=5又ABC=90且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2 BC2=523 2=16AB= 4AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC 的长. 思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D，则有， ，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进而求出 BC的长. 解析：作 于 D，则因 ，2 （ 的两个锐角互余） （在 中，如果一个锐角等于 ，

4、那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在 中，. 根据勾股定理，在 中，. . 举一反三【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 解析：连结 BM，根据勾股定理，在 中，. 而在 中，则根据勾股定理有. 又 （已知） ， . 在 中，根据勾股定理有， . 【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60， AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于

5、E。A= 60，B=90，E=30。AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ，BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE=类型三：勾股定理的实际应用3（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。解析：（1）过 B 点作 BE/A

6、DDAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90即ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m ，AB=由勾股定理可得：所以（2）在 RtABC 中，BC=500m，AC=1000mCAB=30DAB=60DAC=30即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解：OC1 米 (大门宽度一半 )，

7、OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD .米，C. （米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门4（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C 、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析：设正方形的边长为 1，则图（1） 、图（2）中的总线路

8、长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图（3）中，在 RtABC 中同理图（3）中的路线长为 图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BHCH由FBH 及勾股定理得：EAEDFB FCEF12FH1此图中总线路的长为 4EA+EF32.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程5解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） AC （cm） （勾股定理） 答：

9、最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为 的线段5、作长为 、 、 的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。作法：如图所示（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 。斜边为 ；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是、 、 、 。举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完

10、全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚 （正确）62原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 （正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等 （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点

11、，在这条线段的垂直平分线上 （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。思路点拨：要判断 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3) 2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-

12、3) 20, (b-4) 20, (c-5) 20。 a=3，b=4，c=5。 3 2+42=52, a 2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4 ，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。【答案】：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC 2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC 2+CD2=169，AD 2=169AC 2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知:AB

13、C 的三边分别为 m2n 2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn), 判断ABC 是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明: a2+b2=c2 即可证明：所以ABC 是直角三角形.7【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a

14、2=25a2。 DF 2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x） 2+（4x） 220 2化简得 x216；直角三角形的面积 3x4x6x 296总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它

15、的面积。【答案】如图，等边ABC，作 ADBC 于 D则：BD BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形 ABD 中，AB 2AD 2+BD2，即：AD 2AB 2BD 2413ADSABC BCAD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 a。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y） 249，x 2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是 xy 126

16、（cm 2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。8思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1） 2+（n+2 ） 2（ n+3） 2化简得：n 24n2，但当 n2 时，n+110，n2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可直接

17、用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2a 2+b2 的变形：b 2c 2a 2（c a） （c+a）来判断。例如：对于选择 D，8 2（40+39）（4039） ，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。 【答案】：A【变式 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。解：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC 2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC 2+CD2=169，AD 2=169AC 2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S 四边形 ABCD=SABC +

18、SACD = ABBC+ ACCD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时

19、间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP90，APB 30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 AC100(m)，由勾股定理得： BC2100 2-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，

20、BD60(m),CD120(m)。 9拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s 。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+47(m)设走“捷径”的路长为 xm，则故少走的路

21、长为 752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。 【答案】4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。【答案】 （1）单位正三角形的高为 ，面积是 。（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积 。（3）过 A 作 AKBC 于点 K（如图所示） ，则在 RtACK 中，

22、，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形10的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD解：连接 AD因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C

23、=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD （ASA ） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60， ，求 、 、 的值。 思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。解：在 Rt ABC 中，A=60，B=90-A=30 ，则 ，由勾股定理，得 。因为 ，所以 ， ， 。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm ，所以 。 所以 。设 ，则 。在 RtECF 中， ，即 ，解得 。即 EF 的长为 5cm。