1、1反比例函数知识点总结 李苗知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如 （k 为常数， ）的函数称为反比xy 0k例函数，它可以从以下几个方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 的一切实数，函数值的取0值范围是 ；0y比例系数 是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k反比例函数有三种表达式： （ ） ，xky0 （ ） ，1kyk （定值） （ ） ；x 0k函数 （ ）与 （ ）是等价的，xky0ykx0所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数， ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时，0k，就不是反比例函数了，由于反比
2、例函数 （xy xky）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就0k可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系xky0数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反2比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ，函数值 ，0x0y所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三
3、个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 （ ）xky0的k符号 0k 0k图像性质 的取值范x围是 ，y0的取值范围是 的取值范围是 ，x 0xy 的取值范围是 y当 时，函数图像0k3注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当
4、 时，y 随 x 的增大而减小0k“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如 在第一、xky第三象限，则可知 。0k反比例函数 （ ）中比例系数 k 的绝对值 的几何xy k意义。如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则 OEPFSEFyxxy 矩 形k 反比例函数 （ ）中， 越大，双曲线xky0k0y当 时，k函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。的两个分支分别
5、在第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。4越远离坐标原点； 越小，双曲线 越靠近坐标xky k xky原点。 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。 经典例题透析类型一 反比例函数的概念 1判断下列各式是否表示 y 是 x 的反比例函数，若是，指出比例系数 k 的值；若不是，指出是什么函数.（1）8;yx（2） 1;9xy （3） 43;yx （4）;7yx（5） ； （6） ；（7） （ 为常数，2xy xy6xkyk）0 2. 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数. （1）面积为常数 m 的长方形的长 y
6、 与宽 x 之间的关系； （2）一本 500 页的书，每天看 15 页，x 天后尚未看完的页数 y 与天数 x 之间的关系 .专题 2 反比例函数图象的位置与系数的关系 【专题解读】 反比例函数kyx的图象是由两个分支5组成的双曲线，图象的位置与比例系数 k 的关系有如下两种情况： （1） 0k双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，y 随 x 的增大而减小. （2） 0k双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，y 随 x 的增大而增大. 3. 函数 ya与 (0)ayx在同一坐标系中的图象可能是（ ）专题 3 反函数的图象 【专题解读】 如左下图所示，若点 A（x，y）为反比例函数k
7、yx图象上的任意一点，过 A 作 ABx 轴于 B，作 ACy 轴于 C，则 SAOB =SAOC = 12S 矩形 ABOC= 1|2k. 4. 如右上图所示，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，过 P 作 x 轴的垂线交双曲线1yx于点 Q，连接 OQ，当6点 P 沿 x 轴正方向运动时，RtQOP 的面积（ ）A逐渐增大 B逐渐减小 C保持不变 D无法确定 5在反比例函数 的图像上有三点 ， ，xy1 1x1y， ， ， 。若 则下列各式正2x2y3x3y 3210x确的是（ ）A B C D213yy 123yy 321yy231 6. 如果函数 的图像是双曲线，且在第22kkxy二
8、，四象限内，那么 的值是多少？k 7如果一次函数相交于点（ ） ，那 的 图 像与 反 比 例 函 数 xmnymnxy 30 21，么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 8. 已知一次函数 ykxb的图象与反比例函数6yx的图象相交于 A，B 两点，点 A 的横坐标是 3，点 B的纵坐标是-3. （1）求一次函数的表达式； （2）当一次函数值小于 0 时，求 x 的取值范围 .9. 已知反比例函数kyx的图象经过点 A（-2 ，3）. （1）求这个反比例函数的表达式；7 （2）经过点 A 的正比例函数 ykx的图象与反比例函数kyx的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
9、 10如图，在 中，点 是直线 与AOBRtAmxy双曲线 在第一象限的交点，且 ，则 的xmy 2AOBS值是_. 11.如右上图所示，在反比例函数 2(0)yx的图象上有点 1234,PP，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，分别过些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 1234,SS，则 123SS _ . 求 的值（用含 n 的代数式来表示）nSS.S321_ 中考真题精选: 1.（江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6） ，则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） 8D.（6,1） 2.（
10、重庆江津区）已知如图，A 是反比例函数kyx的图象上的一点，AB 丄 x 轴于点 B，且ABC 的面积是3，则 k 的值是（ ） A、3 B、3 C、6 D、6 3.（吉林）反比例函数 的图象如图所示，则 k的值可能是（ ） A、1 B、 C、 1 D、2 4. （辽宁阜新）反比例函数 6yx与 3yx在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则AOB 的面积为（ ）9 A. 32B.2 C.3 D.1 5.（玉林）如图是反比例函数 y= xk1和 y= xk2（k 1k 2）在第一象限的图象，直线 ABx 轴，并分别交两条曲线于 A、B 两点，若 SAOB=2，则 k2k1 的值是（ ） A、1 B、2 C、4 D、8
