1、幂函数的概念例 1、下列结论中，正确的是( )A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数 取 1,3， 时，幂函数 yx 是增函数12D当幂指数 1 时，幂函数 yx 在定义域上是减函数解析 当幂指数 1 时 ，幂函数 yx 1 的图象不通 过原点，故选项 A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且 yx (R )，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项 B 不正确；而当 1 时，yx 1在区间( ，0)和(0， )上是减函数，但它在定 义 域上不是减函数答案 C例 2、已知幂函数 f(x)(t 3t1)x (73t2t 2
2、) (tZ)是偶函数且在(0 ，)上15为增函数，求实数 t 的值分析 关于幂函数 yx (R， 0)的奇偶性问题 ，设 (|p|、|q|互质) ，当 qpq为偶数时， p 必为奇数，y x 是非奇非偶函数；当 q 是奇数时，y x 的奇偶性pq pq与 p 的值相对应解 f( x)是幂函数，t 3t11，t1,1 或 0.当 t0 时，f(x)x 是奇函数；75当 t1 时，f(x)x 是偶函数；25当 t1 时，f(x)x 是偶函数，且 和 都大于 0，85 25 85在(0，)上为增函数故 t1 且 f(x)x 或 t1 且 f(x)x .85 25点评 如果题中有参数出现，一定要注意对
3、参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ 给 予足够的重视例 3、如图是幂函数 yx m与 yx n在第一象限内的图象，则( )A-11 Dn1解析 在(0,1) 内取同一值 x0，作直 线 xx 0，与各 图 象有交点， 则“点低指数大”如图，0x ，求 x 的取值范围13错解 由于 x20，x R，则由 x2x ，可得 xR.13 13错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是 yx 在 1和 01.31x例 5、函数 f(x)(m 2m 1)xm2m3 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出 m，再
4、由 单调性确定 m.解 根据幂函数定义得m2m11，解得 m2 或 m1，当 m2 时，f( x)x 3 在(0，)上是增函数；当 m1 时，f( x)x 3 在(0 ， )上是减函数，不符合要求故 f(x)x 3.点评 幂函数 yx (R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数(也可以 为 0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式 已知 y (m22m 2)x 2n3 是幂函数，求 m，n 的值1m2 1解 由题意得Error! ，解得Error!，所以 m3，n .32例 6、比较下列各组中两个数的大小：（1
5、） ， ；（2）0.7 1.5，0.6 1.5；（3 ） ， 5.37.1 32).1( 32)5.(解析：（1）考查幂函数 y 的单调性，在第一象限内函数单调递增，53x1.51.7， ，53.（2）考查幂函数 y 的单调性，同理 0.71.50.6 1.52x（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ， ，又 ， 32).1( 3. 32)5.1( 32. 32.1 325. . 5点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁
6、来比较大小例 7、比较下列各组数的大小(1) 3 与 3.1 ；(2) 8 与 .52 52 78 (19)78分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0 与 1 去比较，这种方法叫 “搭桥”法解 (1)函数 yx 在(0，)上为减函数，52又 33.1 .52 52(2)8 ，函数 yx 在(0， ) 上为增函数，又 ，则 78 (18)78 78 1819 (18)78，(19)78从而8 ，23 236 1 1,03 2 a0 或 0a132a或 a10 时，是增函数；幂函数 y xn，当 n0，且a1)答案 B解析 根据函数图象，选 B.二、填空题1若幂函数
7、yf (x)的图象经过点 ，则 f(25)_.(9，13)答案 15解析 设 f(x)x ，则 9 ， .13 12f(25)25 .12 152设幂函数 yx 的图象经过点(8,4)，则函数 yx 的值域是_答案 0 ，)解析 由 48 ，得 ，y x 0.23 233. 如图所示是幂函数 y=x 在第一象限内的图象，已知 取2， 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 依次为 .答案 2， ，212 124若幂函数 yf (x)的图象经过点(2， )，则 f(25)的值是_2答案 5解析 设 y x，点(2， )在 yx 的图象上，2 2 ， ，f( x) x .故 f(25)2
8、5 5.212 12 125幂函数 yx (R)的图象一定不经过第 _象限答案 四6把下列各数 2 ， ， 3， 0， ，按由小到大的排列顺序为23 (53) 13 ( 23) (15) (32)23_答案 30)，由 图象知 x(0 ，)时为减函数，又 f(a1)12 1xg(x)； (2)f(x)g(x)；(3)f(x )1 或 xg(x)(2)当 x=1 时，f(x)=g(x)(3)当-1x0 或 0x1 时，f(x)g(x)4已知函数 y(a 23a 2)xa25a5 (a 为常数)(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？(3)a 为何值时此函数为反比例
9、函数？解 (1)由题意，得 a23a21，即 a23a10.解得 a ，即 a 时，此函数 为幂函数；3 52 3 52(2)由题意，得Error!解得 a4，即 a4 时，此函数为正比例函数；(3)由题意，得Error!解得 a3，即 a3 时，此函数为反比例函数5已知函数 y 4215x（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令 t152 x x2，则 y ，4t（1）由 152 x x20 得函数的定义域为5，3 ， t16（ x1） 2 0，16 函数的值域为0，2 （2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3 ，对称轴为 x1， x 5，1时， t 随 x 的增大而增大； x （1，3）时， t 随 x 的增大而减小又函数 y 在 t 0，16时， y 随 t 的增大而增大，4函数 y 的单调增区间为5，1 ，单调减区间为21x（1，3 答案：（1）定义域为5，3 ，值域为0，2 ；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；
