1、1第 1 章 函数、极限与连续教学过程1-1 初等函数一、基本初等函数我们把幂函数 y=x(R)、指数函数 y=ax(a0 且 a1)、对数函数 y=logax(a0 且 a1)、三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx 和反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx 统称为基本初等函数很多时候也把多项式函数 y=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 看作基本初等函数二、复合函数定义 1 如果 y 是 u 的函数 y=f(u)，而 u 又是 x 的函数 u=(x)，且( x
2、)的值域与y=f(u)的定义域的交非空，那么， y 通过中间变量 u 的联系成为 x 的函数，我们把这个函数称为是由函数 y=f(u)与 u=(x)复合而成的复合函数，记作 y=f(x)学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数例 1 已知 y=lnu, u=x2，试把 y 表示为 x 的函数解 y=lnu=lnx2, x(-,0)(0,+)例 2 设 y=u2, u=tanv, v= ，
3、试把 y 表示为 x 的函数解 y=u2=tan2v=tan2 复合函数的中间变量可以不限于一个例 3 函数 y=esinx 是由哪些简单函数复合而成的？解 令 u=sinx，则 y=eu，故 y=esinx 是由 y=eu, u=sinx 复合而成的例 4 函数 y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？解 令 u=tan（2lnx+1） ，则 y=u3；再令 v=2lnx+1，则 u=tanv.故 y=tan3（2lnx+1）是由 y=u3, u=tanv, v=2lnx+1 复合而成的三、初等函数定义 2 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用
4、一个式子表示的函数，称为初等函数例如：2),1(log,1sin22xa ayxyxy 等都是初等函数例 5 分解 23sinxe解 令 u=sin(1+3x2)，得 y=eu；再令 v=1+3x2，得 u=sinv2故 是由 y=eu, u=sinv, v=1+3x2 复合而成的231sinxey定义 3 设 a, , 0,数集 x| |x-a|0 时， f(x)= =1；|当 x0 时， f(x)= =-1，|所以函数可以分段表示为 于是,01,xf，即 ，所以 不存在lim,1li00 xxf xff0limli xf0li71-3 极限的四则运算和、差、积、商的极限运算法则：如果 f(
5、x)=A， g(x)=B，那么0lim0li1 f(x)g(x)= f(x) g(x)=AB；000lim2 f(x)g(x)= f(x) g(x)=AB；0li0li0特别地， Cf(x)=C f(x)=CA，( C 为常数)；003 ,limli00 gxx 说明：1上述运算法则对于 x等其他变化过程同样成立；2法则 1, 2 可推广到有限个函数的情况，因此只要 x 使函数有意义，例如下面的等式也成立：f(x)n= f(x)n， f(x)= f(x), Q0li0li0li0lim极限运算“ ”与四则运算( 加、减、乘、除)可以交换次序 (其中除法运算时分母的极0m限必须不等于零） 例 1
6、 求 (x2+2x-3) li解： (x2+2x-3)= x2+ 2x- 3= x2+2 x-3=22+22-3=5lilimli例 2 求 65lim21x解 = li2174)6(li521x例 3 求 li1x解 = =2m2 )1(lim1)(li1x例 4 求 354lix解 =li4)35)(li4xx8= = +3=6)35(lim4)35)(lim44 xxx 5li4x例 5 求 21nn解 = 43li2 21432li1432li2nn例 6 求 15lim3xx解 = 2li3x 032lixx91-4 无穷大和无穷小一、无穷大考察函数 f(x)= 1由图可知，当 x
7、从左右两个方向趋近于 1 时，| f(x)|都无限地增大 定义 1 如果当 xx0 时，函数 f(x)的绝对值无限增大，那么称函数 f(x)为当 xx0 时的无穷大如果函数 f(x)为当 xx0 时的无穷大，那么它的极限是不存在的 但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作=)(lim0fx注意 式中的记号 “”是一个记号而不是确定的数，记号的含意仅表示“ f(x)的绝对值无限增大”如果在无穷大的定义中，对于 x0 左右近旁的 x，对应的函数值都是正的或都是负的，也即当 xx0 时， f(x)无限增大或减小，就分别记作=+ 或 =-)(li0fx)(li0fx例如
8、， （）当 x1 时，| |无限增大，所以 是当 x1 时的无穷大，记作=1limx定义可推广到 x , x , ， x+, x-时的情形0例如， （）当 x时，| x|无限增大，所以 x 是当 x时的的无穷大，记作x=li（）当 x+时，2 x 总取正值而无限增大，所以 2x 是当 x+时的的无穷大，记作2x=+lim（）当 x0+时，ln x 总取负值而无限减小，所以 lnx 是 x0+时的无穷大，记作lnx=-0li注意 (1)一个函数 f(x)是无穷大，是与自变量 x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明自Oxy1Oxy110变量 x 的变化过程 (2)不要把绝对值很大的数说成是无穷大无
9、穷大表示的是一个函数，这个函数的绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋势是无限增大；而这些绝对值很大的数无论在自变量何种变化过程，其极限都为常数本身，并不会无限增大或减小二、无穷小无穷小的定义考察函数 f(x)=x-1，由图可知，当 x 从左右两个方向无限趋近于 1 时， f(x)都无限地趋向于 0定义 2 如果当 xx0 时，函数 f(x)的极限为 0，那么就称函数f(x)为 xx0 时的无穷小记作 =00lim例如， （）因为 (x-1)=0，1li所以函数 x-1 是当 x1 时的无穷小例如， （）因为 =0，li所以函数 是当 x时的无穷小注意 (1)一个函数 f(x)是无穷小，是与自变
10、量 x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量 x 的变化过程(2)不要把绝对值很小的常数说成是无穷小无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为 0；而这些绝对值很小的数无论自变量是何种变化过程，其极限都不是 0；只有常数 0 可以看成是无穷小，因为常数函数 0 的任何极限总是 0无穷小的性质设 f1(x),f2(x),.,fn(x)是 xx0(或 x等) 时的无穷小性质 1 f(x)= (aiR)是 xx0(或 x等)时的无穷小，即有限个无穷小的代ii1数组合仍然是无穷小性质 2 f(x)=f1(x)f2(x) . fn(x)是 xx0(或 x等)时的无穷小，即无穷小的积仍然是无穷小性质 3 设 g(x) 当 xx0(或 x等)时是有界的，则 g(x)fi (x)(i=1,2,.,n)是 xx0(或x等)时的无穷小，即有界函数与无穷小的积是无穷小例 1 求 xsinlm0解 因为 x=0，所以 x 是 x0 时的无穷小而|sin |1，所以 sin 是有界函数根据无穷小的性质 3，可知 =0x1sinlm0例 2 求 xsinlmOxy1-1
