1、 1抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1抛物线定义：平面内到一定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线l2抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右 左 上 下标 准方 程 2(0)yx2(0)yx2(0)py2(0)xpy焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦 点坐 标 (,)2p(,)2p(,)2(,)2准 线方 程 xxpypy范 围 0,yR0,yR0,xR0,
2、xR对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e通 径 2p焦半径 1(,)Axy12pFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长 B()()()()焦点弦长 以 为直径的圆必与准线 相切Bl2若 的倾斜角为 ，AB2sinpAB若 的倾斜角为 ，则AB2cospAB124x21yp的补充AB1(,)xy2 AFBF3抛物线 的几何性质：)0(2pxy(1)范围 因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在 轴的右侧，y当 的值增大时，| |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸y(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心
3、率： ，焦点 ，准线 ，焦准距 p1e(,0)2pF2x(4) 焦点弦：抛物线 的焦点弦 ， , ,则 )(2pxyAB)(1y)(2pxAB21|弦长|AB|=x 1+x2+p,当 x1=x2时，通径最短为 2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦 ， , ，焦点AB)(1y)(2x(,0)pF(1) 若 AB 是抛物线 的焦点弦（过焦点的弦） ，且 ， ，则： ， 。2(0)ypx1,Axy2,B214px21y(2) 若 AB 是抛物线 的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为 ，则 （0） 。sinP(3) 已知直线 AB 是过抛物线 焦点 F ,2()yxp 2FAFp(4) 焦点弦中通径最短长为
4、 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5) 两个相切： 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为 1 2直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式： , 是抛物线上两点，则)(1yxA)(2B21B |1| 2221ykxk【经典例题】 （1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.3【例 1】P 为抛物线 上任一点，F 为焦点
5、，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（ ）pxy2相交 相切 相离 位置由 P 确定.A.B.C.D【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是,0.作 PH 于 H，交 y 轴于 Q，那么 ，:2plxl PFH且 .作 MNy 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的QOF中位线， .故以112MNPPF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】 过抛物线 的焦点 F 作直线交抛物线于 两点，求证：02
6、pxy12,AxyB（1） （2）12ABxpBA21【证明】 （1）如图设抛物线的准线为 ，作l，1l11, 2l x于 ， 则 F.两式相加即得：2pBFx1A（2）当 ABx 轴时，有成立；FBp， 12AFBp当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为： .代入抛物线方程：2pykx.化简得：22pk22014kxp方程（1）之二根为 x1，x 2， .12XY PH MNO(,0)2pF: 2plx=- 22y px=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l412211221 4xppAFBx.12122244xpp px故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有
7、 成立.BFA2（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线 上一点 M（x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p（x+x 0）2yp【证明】对方程 两边取导数：2x2.p， 切 线 的 斜 率.由点斜式方程：0xpky 20001pyxyxyy0y=p（x+x 0）201， 代 入 （ ） 即 得 ：（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此
8、动圆必过定点 xy8202x（ ）.4,0.,0.0,.0,ABCD显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线 的通径长为 2p；2ypx3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：12,AxyB21yp以下再举一例【例 4】设抛物线 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点2ypx【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB 的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为 ，1
9、2,Axy5那么： 2 2111.ypCAByp设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么 F.2111.90AFB中 故这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】 （10.四川文科卷.10 题）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.42【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下.【解析】点 A、
10、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程为：. 由yxm 223013yxmx设方程（1）之两根为 x1，x 2，则 .12设 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ，则 .代入 x+y=0：y 0= .故有 .0x121,2M从而 .直线 AB 的方程为： .方程（1）成为： .解得：1myyx，从而 ，故得：A（-2，-1） ，B（1，2）. ，选 C.2,x,2 3AB（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的
11、就是几何法.【例 6】 （11.全国 1 卷.11 题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在24yxFlF3轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ）xAKl AKA B C D4338【解析】如图直线 AF 的斜率为 时AFX=60.AFK 为正三角形.设准线 交 x 轴于 M，则l 2,FpXY ABFA1B1MCXOYABM0l xy+=XYOF(1,0)AK60Y2=pxL:x=-1M6xyM(x,y)F1(-c,0) F2(c,0)OH2: al xc=-r1 r2r2且KFM=60， .选 C.234,4AKFS【评注】 （1）平面几何知识：边
12、长为 a 的正三角形的面积用公式 计算.234Sa（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A 的坐标， ，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】 （07.湖北卷.7 题）双曲线的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为21:(0)xyCabb， l 1F22Cl与 的一个交点为 ，则 等于（ ）21F； 2M1212FA B C D 12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从
13、最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为 e，作 ，令MHl于.点 M 在抛物线上，12,MFr，1122,FrHe故这就是说： 的实质是离心率 e.12|其次， 与离心率 e 有什么关系？注意到：1|FM.2121rcaer这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A.1212| 1FMe（4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函7数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【
14、例 8】 （09.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经 过抛物线的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82（）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。【解析】 （）焦点 F（2，0） ，准线 .;2lx（）直线 AB： tn1y代入（1） ，整理得：28yx 2ta86tan02y设方程（2）之二根为 y1，y 2，则 .12t6y设 AB 中点为 1200 204cot, tancotMxyy则AB 的垂直平分线方程是： .4tx令 y=0，
15、则 224cot6ct6xP， 有 ，故 2to14cosFPO于是|FP|-|FP|cos2 a= ，故为定值.22cs1s4cin8（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点 A 和 B；（2）线llxy82段 AB 被直线 ：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.1l l【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点xy8212AxyBxy， ， ， 则 有 ：
16、211212128yxy 21128BkAM8线段 AB 被直线 ：x+5y-5=0 垂直平分，且1l 15lABk， ， 即 1285y.1285y设线段 AB 的中点为 .代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：120045yMxy， ， 则AB 中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：415，2510yxxy， 即 ：（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】 （10.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q 2，Q n-1，从而得到 n-1 个直角三角形Q 1OP1, Q 2P1P2, Q n-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】 1OA， 图 中 每 个 直 角 三 角 形 的 底 边 长 均 为设 OA 上第 k 个分点为220. .k kyxynn， 代 入 ：第 k 个三角形的面积为： 21.kka.21 221412n nnS故这些三角形的面积之和的极限 2 1limlim413n nS n
