1、12017-2018 学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2x60，B=x|x 2+2x80，则 AB=（ ）Ax |2x3 Bx|2x3 Cx|x4 或 x2 Dx|x 4 或 x22 （5 分）ABC 中， = = ，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形3 （5 分）若 a，b，cR，且 ab ，则下列不等式一定成立的是（ ）A 0 B （ab）c 20 Cacbc Da+c bc4 （5 分）在等比数
2、列a n中，a n0，已知 a1=6，a 1+a2+a3=78，则 a2=（ ）A12 B18 C24 D365 （5 分）设正实数 a，b 满足 2a+3b=1，则 的最小值是（ ）A25 B24 C22 D166 （5 分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东 75，航行8n mile 以后，望见这岛在北偏东 60，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（ ）n mileA8 B4 C D7 （5 分）设等差数列a n的公差 d0，且 a2=d，若 ak 是 a6 与 ak+6 等比中项，则 k=（ ）A5 B6 C9 D368 （5 分）若函
3、数 f（x ） = 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，2） B （，2）（2，+） C （，22，+）2D2， 29 （5 分）已知ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c若a=bcosC+csinB，且ABC 的面积为 1+ 则 b 的最小值为（ ）A2 B3 C D10 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 15 0，a 8+a90，则使 0成立的最小自然数 n 的值为（ ）A15 B16 C17 D1811 （5 分）在平而直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域面积为 ，若 x，y 满足上述约束条件，则 z= 的最小值为（ ）A 1
4、 B C D12 （5 分）已知数列a n中，a 1=2，若 an+1an=an2，设 Tm=，若 Tm2018，则正整数 m 的最大值为（ ）A2019 B2018 C2017 D2016二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分x0|2x 3B.x|-2x3C.x|x13 （5 分）不等式组 表示的平面区域内的整点坐标是 14 （5 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，若 a=2且 sinA+cosA=2，则角 C 的大小为 15 （5 分）如图所示，在圆内接四边形 ABCD 中，AB=6 ，BC=3 ，CD=4 ，AD=5 ，则四边形 A
5、BCD 的面积为 316 （5 分）已知数列a n中，a 1=l，S n 为其前 n 项和，当 n2 时，2a n+Sn2=anSn 成立，则 S10= 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤17 （10 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a2+c2b2=ac（1）求 B；（2）若 ， ，求 a，c 18 （12 分）已知方程 x2+2（a+2）x +a21=0（1）当该方程有两个负根时，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数 a 的取值范围19 （12 分）已知a n是各项均为正
6、数的等比数列，且 a1+a2=6，a 1a2=a3（1）求数列a n的通项公式；（2）b n为各项非零的等差数列，其前 n 项和 Sn=n2，求数列的前 n 项和 Tn20 （12 分）某市园林局将一块三角形地块 ABC 的一个角 AMN 建设为小游园，已知 A=120， AB，AC 的长度均大于 400 米，现要在边界 AM，AN 处建设装饰墙，沿 MN 建设宽 1.5 米的健康步道（1）若装饰墙 AM，AN 的总长度为 400 米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块 AMN 的面积最大？（2）若 AM 段装饰墙墙髙 1 米，AN 段装饰墙墙髙 1.5 米，AM 段装饰墙造价
7、为每平方米 150 元，AN 段装饰墙造价为每平方米 100 元，建造装饰墙用了 90000元若建设健康步道每 100 米需 5000 元，AM ，AN 的长度分别为多少时，所用4费用最少？21 （12 分）已知ABC 为锐角三角形，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c 且（b 2+c2a2）tanA= bc（1）求角 A 的大小；（2）若 a= ，求 2bc 的取值范围22 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=4an （1）令 bn=2n1an，证明数列b n为等差数列，并求b n的通项公式；（2）是否存在 nN*，使得不等式 成立，若存在，求出 的取值范围，若
8、不存在，请说明理由52017-2018 学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2x60，B=x|x 2+2x80，则 AB=（ ）Ax |2x3 Bx|2x3 Cx|x4 或 x2 Dx|x 4 或 x2【分析】解不等式得出集合 A、B ，根据并集的定义写出 AB【解答】解：集合 A=x|x2x60=x |（x+2） （x3）0=x |2x 3，B=x|x2+2x80 =x|（x+4） （x 2）0= x|x 4 或 x2，则 A
9、B=x |x 4 或 x2故选：D【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题2 （5 分）ABC 中， = = ，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形【分析】由 ，利用正弦定理可得 tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：由正弦定理可得： = ，又 ，tanA=tanB=tanC，又 A，B，C（0， ） ，A=B=C= ，6则ABC 是等边三角形故选：D【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （5 分）若 a，b，cR，且 ab ，则下列不等式一定成立的是（ ）A
10、0 B （ab）c 20 Cacbc Da+c bc【分析】对于 A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断 B，C，D【解答】解：A、ab 0，c 20， 0B、a b0， （a b） 20，又 c20，（ab ） 2c0，本选项不一定成立，C、 c=0 时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当 a=1， b=2，c= 3 时，a+c= 4，b c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选 A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型4 （5 分）在等比数列a n中，a n0，已知 a1=6，a 1+a2+a3=78，则 a2=（ ）A12 B18 C24 D36【分析
11、】先求出公比 q，即可求出答案【解答】解：设公比为 q，由 a1=6，a 1+a2+a3=78，可得 6+6q+6q2=78，解得 q=3 或 q=4（舍去） ，a 2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题5 （5 分）设正实数 a，b 满足 2a+3b=1，则 的最小值是（ ）A25 B24 C22 D167【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值【解答】解：正实数 a，b 满足 2a+3b=1，则 =（2a+3b） （ ）= +913+12=25，故 的最小值为 25故选：D【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用
12、6 （5 分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东 75，航行8n mile 以后，望见这岛在北偏东 60，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（ ）n mileA8 B4 C D【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程【解答】解：设海岛位置为 A，海伦开始位置为 B，航行 8n mile 后到达 C 处，航行到 D 处时，海岛在正北方向，由题意可知 BC=8，ABC=15，BCA=150，ADC=90，ACD=30，BAC=15 ，AC=BC=8，CD=ACcosACD=4 故选 C【点评】本题考查了解三角形的
13、应用，属于基础题7 （5 分）设等差数列a n的公差 d0，且 a2=d，若 ak 是 a6 与 ak+6 等比中项，8则 k=（ ）A5 B6 C9 D36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到 k 的值【解答】解：等差数列a n的公差 d0，且 a2=d，可得 a1=a2d=2d，则 an=a1+（n 1）d=（n 3）d，若 ak 是 a6 与 ak+6 的等比中项，即有 ak2=a6ak+6，即为（k 3） 2d2=3d（k+3）d，由 d 不为 0，可得 k29k=0，解得 k=9（0 舍去） 故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比
14、数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题8 （5 分）若函数 f（x ） = 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，2） B （，2）（2，+） C （，22，+）D2， 2【分析】要使函数有意义，则 2 10，解得即可【解答】解：要使函数有意义，则 2 10，即 x2+ax+10，=a 240，解得2a2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题9 （5 分）已知ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c若9a=bcosC+csinB，且ABC 的面积为 1+ 则 b 的最小值为（ ）A2 B3 C D【分析】已知等式利用正
15、弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出 tanB 的值，确定出 B 的度数，利用三角形面积公式求出 ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求 b 的最小值【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB +sinBcosC，在ABC 中，sinA=sin （B+C ）=sin （B +C） ，sin （B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，cosBsinC=sinCsinB，C （0，） ，sinC0，cosB=sinB，即 tanB=1，B （ 0， ） ，B= ，S ABC = acsinB= ac=1+ ，ac=4+
16、2 ，由余弦定理得到：b 2=a2+c22accosB，即 b2=a2+c2 ac2ac ac=4，当且仅当a=c 时取“=”，b 的最小值为 2故选：A【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题10 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 15 0，a 8+a90，则使 0成立的最小自然数 n 的值为（ ）A15 B16 C17 D1810【分析】由于 S15= =15a80，a 8+a90，可得 a80，a 90，进而得出【解答】解：S 15= =15a80，a 8+a90，a 80 ，a 90 ，S 16=
17、 =8（a 8+a9）0 ，则使 0 成立的最小自然数 n 的值为 16故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）在平而直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域面积为 ，若 x，y 满足上述约束条件，则 z= 的最小值为（ ）A 1 B C D【分析】由约束条件作出可行域，由 z= =1+ ，而 的几何意义为可行域内的动点与定点 P（3，2）连线的斜率结合直线与圆的位置关系求得答案【解答】解：不等式组 （r 为常数）表示的平面区域的面积为，圆 x2+y2=r2 的面积为 4，则 r=2由约束条件作出可行域如图，
