1、 师生互动，善教乐学1 / 10班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生： 上课时间：教学目标 熟练掌握求函数值域的方法教学重难点 求函数值域的方法求函数值域快速练习一选择题1 （2006陕西）函数 f（x）= （xR）的值域是（ ）A （0，1） B （0，1 C 0，1） D 0，1考点： 函数的值域。811365 分析： 本题为一道基础题，只要注意利用 x2的范围就可以解答： 解：函数 f（x）= （xR） ，1+x 21，所以原函数的值域是（0，1，点评： 注意利用 x20（xR） 2函数 y= （x2，6）的值域是（ D ）A R B （，0）（0，+
2、） C D考点： 函数的值域。811365 分析： 由函数的定义域可先求 x1 的范围，进一步求解函数的值域解答： 解：2x6 则 1x15，点评： 本题主要考查了直接法求解函数的值域，属于基础试题3f（x）的定义域为2，3，值域是a，b，则 y=f（x+4）的值域是（ ）A2，7 B6，1 Ca，b Da+4，b+4考点： 函数的值域。811365 分析： 因为从 f（x）到 y=f（x+4） ，其函数图象只是向左平移了 4 个单位；利用左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变，可以直接求出答案解答： 解：因为从 f（x）到 y=f（x+4） ，其函数图象只是向左平移了 4 个单位，
3、自变量发生了变化，而函数值不变，所以 y=f（x+4）的值域仍为a，b点评： 本题借助于图象平移来研究函数的值域函数的平移变化分为两种：一：左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变； 二：上下平移的函数只是函数值发生了变化，而自变量不变4函数 y= 的值域是（ B ）A 1，1 B （1，1 C 1，1） D （1，1）考点： 函数的值域。811365 师生互动，善教乐学2 / 10分析： 进行变量分离 y= = 1，若令 t=1+x2则可变形为 y= （t1）利用反比例函数图象求出函数的值域解答： 解法一：y= = 11+x 21，0 21y1解法二：由 y= ，得 x2= x 20
4、， 0，解得1y1点评： 此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法，应注意理解并加以运用解法三：令 x=tan（ ） ，则 y= =cos22，1cos21，即1y15在区间（1，+）上不是增函数的是（ C ）Ay=2x1B C y=2x26x D y=2x22x考点： 函数单调性的判断与证明。811365 分析： 由于函数 y=2x1 在 R 上是增函数，故排除 A，由 在区间（1，+）上是增函数，故排除 B利用二次函数的图象特征和性质可得 C 满足条件，应排除 D解答： 解：由于函数 y=2x1 在 R 上是增函数，故排除 A由于函数 在区间（1，+）上是增函数，故 在区间（1，+）上
5、是增函数，故排除 B由于二次函数 y=2x26x 的对称轴为 x= ，开口向上，故函数在 ，+）上是增函数，在（，上是减函数，故它在区间（1，+）上不是增函数，故满足条件由于二次函数 y=2x22x 的对称轴为 x= ，故函数在 ，+）上是增函数，在（， 上是减函数，故它在区间（1，+）上是增函数，故排除 D点评：二填空本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题6函数 的值域为 （，1 分析： 先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域解答： 解：函数 的定义域是（，1，且在此定义域内是减函数，x=1 时，函数有最大值为 1，x时，函数值 y，师生
6、互动，善教乐学3 / 10函数 的值域是（，1点评： 先利用偶次根式的被开方数大于或等于 0 求出函数的定义域，再判断函数的单调性，由函数的单调性确定函数的值域7函数 的值域是 （，1）（1，+） ，的值域是 （0，5 分析： （1）把原函数化为 y=1 ，根据反比例函数的性质即可求解；（2）先把函数化为：2yx 24yx+3y5=0，根据判别式0 即可得出函数的值域解答： 解：（1）函数 =1 ，函数的值域为（，1）（1，+） ；（2）原式可化为：2yx 24yx+3y5=0，=16y 28y（3y5）0，y（y5）0，0y5， ，又 y=0 不可能取到故答案为：（0，5点评： 本题考查了函
7、数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法8求函数 y=x+ 的值域 ，+） 考点： 函数的值域。811365 专题： 计算题；转化思想。分析： 先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围） ，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可解答：解：令 t= ， （t0） ，则 x= ，问题转化为求函数 f（t）= = 在 t0 上的值域问题，因为 t0 时，函数 f（t）有最小值 f（0）= 无最大值，故其值域为 ，+） 即原函数的值域为 ，+） 点评： 本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目
8、9函数 f（x）=x+|x2|的值域是 2，+） 分析： 根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域师生互动，善教乐学4 / 10解答： 解：因为当 x（，2时，f（x）=2；当 x（2，+）时，f（x）=2x22，故 f（x）的值域是2，+） 点评： 本题考查函数的值域，去绝对值符号是解题的关键，属基础题10已知函数 ，则函数 f（x）的值域为 （，2 分析： 根据函数解析式的形式：采取换元法，令 t= ，t0，转化为二次函数 f（t）=2tt 2+1在0，+）上求函数的值域，利用配方法即可求得结果解答： 解：令 t= ，t0，则 x=t21，f（t）=2tt 2+1=（
9、t1） 2+2，t0，f（x）2，函数 f（x）的值域为（，2点评： 本题考查利用换元法求函数的值域，体现了转化的思想方法，同时考查二次函数在定区间上的最值问题，注意换元后引进新变量的范围，是易错点，属基础题11函数的值域 f（x）=2x3+ 的值域是 （，4 分析： 令 =t，将函数转化成关于 t 的二次函数求解解答： 解：令 =t，t0，则 x= ，y= ，当且仅当 t=1 时取等号故所求函数的值域为 （，4，点评： 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式
10、、或新式换旧元、或新式换旧式） 12函数 的值域是 （，1 分析： 已知 f（x）的定义域，利用导数判断函数 f（x）的单调性，然后再求其值域；解答：解：函数 ，f（x）= ，x2，f（x）0，f（x）为减函数；f（x）f（2）=1，函数 f（x）的值域为（，1，故答案为（，1点评： 此题考查函数的值域，利用导数先判断函数的单调性，再求值域，是一种新的方法，同学们要掌握13函数的值域：y= 为 0，2 分析： 设 =x 26x5，欲求原函数的值域，只须考虑 的取值范围即可，根据二次函数的图象与性质即可求得 的取值范围，从而问题解决解答： 解析：设 =x 26x5（0） ，则原函数可化为 y=
11、又=x 26x5=（x+3） 2+44，04，故 0，2，y= 的值域为0，2故答案为：0，2点评： 本题以二次函数为载体考查根式函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题师生互动，善教乐学5 / 1014函数 y=x22x 的定义域为0，1，2，3，那么其值域为 1，0，3 分析： 根据所给的函数的解析式和定义域，做出当自变量取定义域中的不同值时的对应的值域中的结果，写出值域解答： 解：函数 y=x22x 的定义域为0，1，2，3，当 x=0 时，y=0；当 x=1 时，y=1；当 x=2 时，y=0；当 x=3 时，y=3综上可知值域对应的集合是1，0，3故答案为：1，0，3点评：
12、本题考查函数的值域，本题解题的关键是求出定义域对应的函数值，做出值域对应的集合，本题是一个基础题15下列函数中在（，0）上单调递减的 ；y=1x 2；y=x 2+x； 分析： 对于函数在（，1）上单调递增，可判定是否符合题意；对于y=1x 2在（，0）上单调递增，故不符合题意；对于根据开口向上与对称轴为 x= ，可判定单调性；对于根据定义域为（，1） ，以及复合函数的单调性可知是否正确解答： 解： =1 ，在（，1）上单调递增，故不符合题意；y=1x 2在（，0）上单调递增，故不符合题意；y=x 2+x 开口向上，对称轴为 x= ，在（， ）上单调递减， （ ，+）上单调递增，故不符合题意；
13、，定义域为（，1） ，在（，1）上单调递减，故正确故答案为：点评： 本题主要考查了二次函数、分式函数、根式函数单调性的判断，属于基础题16已知二次函数 f（x）=2x 24x+3，若 f（x）在区间2a，a+1上不单调，则 a 的取值范围是 分析： 二次函数图象的对称轴为直线 x=1，开口朝上，说明在区间（，1）上函数为减函数，在区间（1，+）上是增函数函数在区间2a，a+1上不单调，说明在此区间上函数有减也有增，因此不难求出实数 a 的取值范围解答： 解：根据公式，二次函数 f（x）=2x 24x+3 图象的对称轴为：直线 x= ，即直线 x=1，函数 f（x）在区间2a，a+1上不单调，说
14、明直线 x=1 在区间2a，a+1内部因此列式：2a1a+1 所以 a 的取值范围是 0a点评： 本题以二次函数为载体，考查了函数单调性的判断与证明，属于基础题牢记二次函数图象的规律，利用图象结合函数的单调性加以判断，是解决本题的关键17函数 f（x）在3，3上是减函数，且 f（m1）f（2m1）0，则 m 的取值范围是 分析： 先将题中条件：“f（m1）f（2m1）0”移项得：f（m1）f（2m1） ，再结合f（x）是定义在3，3上的减函数，脱去符号：“f” ，转化为关于 m 的一元不等式组，最后解得实数 m 的取值范围，必须注意原函数的定义域范围解答： 解：f（x）在3，3上是减函数由 f
15、（m1）f（2m1）0，师生互动，善教乐学6 / 10得 f（m1）f（2m1） 函数 f（x）在3，3上是减函数， 即 解得 0m2，m 的取值范围是（0，2点评： 本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的单调性的反向应用，考查学生的转化能力，属于基础题18分别求下列函数的值域：（1）y= ； （2）y=x 2+2x（x0，3） ；（3）y=x+ ； （4）y= 分析： （1）用分离变量法将原函数变形，再根据分母不为零，求函数的值域；（2）用配方法将原函数变形，再根据开口方向和对称轴的大小，求出在区间上的最值，在表示出值域；（3）先求函数定义域1，1，故设 x=cos（0，） ，代入
16、原函数利用两角的和差公式进行化简，再利用正弦函数的曲线求出最值，即求出值域；（4）用分离变量法将原函数变形，利用 2x0 求原函数的值域解答： 解：（1）用分离变量法将原函数变形为：y= =2+ x3， 0y2，即函数值域为y|yR 且 y2（2）用配方法将原函数变形为：y=（x1） 2+1，根据二次函数的性质，在区间0，3上，当 x=1 时，函数取最大值 1，当 x=3 时，函数取最小值是3，则原函数的值域是3，1（3）由 1x 20，得1x1，设 x=cos（0，） ，则 y=sin+cos= sin（+ ） ，由正弦函数曲线易知，当 = 时，y 取最大值为 ，当 = 时，y 取最小值为1
17、，原函数的值域是1， （4）分离常数法将原函数变形为：y=1+2 x1，0 2，11+ 1，所求值域为（1，1）点评： 本题考查了求函数值域的方法，即分离常数法，配方法和换元法等，注意每种方法适用的类型师生互动，善教乐学7 / 1019求下列函数的值域（1） ； （2） ； （3） 分析： （1）本题宜用分离常数法求值域，其定义域为x|x0函数 可以变为 y=1+ 再由函数的单调性求值域（2）令 =t，将函数转化成关于 t 的一道定函数在定区间上的值域问题，通常利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域（3）先把函数化为：2yx 23yx+y1=0，根据
18、判别式0 即可得出函数的值域解答： 解：（1）由题函数的定义域为x|x0=1+ 1 故函数的值域为y|y1（2）：令 =t，t0，则 x= ，y= ，当且仅当 t=1 时取等号，故所求函数的值域为1，+） ，（3）原式可化为：2yx 23yx+y1=0，=9y 28y（y1）0，y（y+8）0，y0 或 y8， ，故答案为：（，8（0，+）点评： 本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法 （1）小题求值域采用了分离常数法的技巧，对于分式形函数单调性的判断是一个好办法，注意总结这种技巧的适用范围以及使用规律 （2）是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数
19、的最值，确定原函数的值域换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式） 20求下列函数的值域（ I） ； （ II） 分析： （I）将函数变形为 ，因为 x20，用观察分析法求值域即可（II）先令被开方数大于等于 0 求出函数的定义域，然后判断出函数的单调性，进一步求出函数的值域解答： 解：（I） ，x 20， ，0y1（II）函数 的定义域为1，+） ，又因为函数 为定义域上的增函数，所以当 x=1 时，函数取得最小值2所以函数 的值域为2，+） 点评： 本题考查函数的值域问题对于（2）小题，把它看成通过研究函数
20、的单调性求函数的值域的方法，需要注意的是应该先求出函数的定义域属于基本题型、基本方法的考查21求下列函数的值域：（1）y=3x 2x+2； （2） ； （3） ；师生互动，善教乐学8 / 10（4） ； （5） ； （6） ；分析： （1） （配方法）y=3x 2x+2=3（x ） 2+（2）看作是复合函数先设 =x 26x5（0） ，则原函数可化为 y= ，再配方法求得 的范围，可得 的范围（3）可用分离变量法：将函数变形，y= = =3+ ，再利用反比例函数求解（4）用换元法设 t= 0，则 x=1t 2，原函数可化为 y=1t 2+4t，再用配方法求解（5）由 1x 201x1，可用三角
21、换元法：设 x=cos，0，将函数转化为y=cos+sin= sin（+ ）用三角函数求解（6）由 x2+x+10 恒成立，即函数的定义域为 R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y2）x 2+（y+1）x+y2=0 有根求解解答： 解：（1） （配方法）y=3x 2x+2=3（x ） 2+ ，y=3x 2x+2 的值域为 ，+）（2）求复合函数的值域：设 =x 26x5（0） ，则原函数可化为 y=又=x 26x5=（x+3） 2+44，04，故 0，2，y= 的值域为0，2（3）分离变量法：y= = =3+ ， 0，3+ 3，函数 y= 的值域为yR|y3（4）换元法（代数换元法）：设 t
22、= 0，则 x=1t 2，原函数可化为 y=1t 2+4t=（t2） 2+5（t0） ，y5，原函数值域为（，5注：总结 y=ax+b+ 型值域；变形：y=ax 2+b+ 或 y=ax2+b+（5）三角换元法：1x 201x1，设 x=cos，0，则 y=cos+sin= sin（+ ）0，+ ， ，sin（+ ） ，1， sin（+ ）1， ，原函数的值域为1， （6）判别式法：x 2+x+10 恒成立，函数的定义域为 R师生互动，善教乐学9 / 10由 y= 得：（y2）x 2+（y+1）x+y2=0当 y2=0 即 y=2 时，即 3x+0=0，x=0R当 y20 即 y2 时，xR 时
23、方程（y2）x 2+（y+1）x+y2=0 恒有实根，=（y+1） 24（y2） 20，1y5 且 y2，原函数的值域为1，5点评： 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法22 （2010广东）已知 f（x）是奇函数，在（1，1）上是减函数，且满足f（1a）+f（1a 2）0，求实数 a 的范围考点： 函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义。811365 专题： 计算题。分析： 要求 a 的取值范围，先要列出关于 a 的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系解答： 解：由 f（1a）+f（1a 2）0
24、，得 f（1a）f（1a 2） f（x）是奇函数，f（1a 2）=f（a 21） ，于是 f（1a）f（a 21） 又由于 f（x）在（1，1）上是减函数，因此 ，解得 0a1点评： 本题主要考查函数单调性的应用，一定注意区间的限制23已知 ，x（1，+） ，f（2）=3（1）求 a； （2）判断并证明函数单调性考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值。811365 专题： 证明题。分析： （1）由已知中函数的解析式，将 x=2，f（2）=3 代入构造 a 的方程，解方程可得答案（2）任取 1x 1x 2，我们构造出 f（x 2）f（x 1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x 2）f（x
25、 1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案解答： 解：（1） ，x（1，+） ，f（2）=3， ，解得 a=1（2） 函数 在区间（1，+）是单调减函数理由如下：设 1x 1x 2，f（x 2）f（x 1）= =因为 1x 1x 2， ，所以 x1x 20，x 110，x 210，所以 f（x 2）f（x 1）0，即 f（x 2）f（x 1）师生互动，善教乐学10 / 10所以函数 在区间（1，+）是单调减函数点评： 本题主要考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤24设函数 （1）当
26、a=2 时，求函数 f（x）的最小值；（2）当 0a1 时，试判断函数 f（x）的单调性，并证明考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质。811365 分析： （1）当 a=2 时，将函数 f（x）变形成 ，然后利用均值不等式即可求出函数 f（x）的最小值；（2）先取值任取 0x 1x 2然后作差 f（x 1）f（x 2） ，判定其符号即可判定函数 f（x）在0，+）上的单调性解答： 解：（1）当 a=2 时， （2 分） （4 分）当且仅当 ，即 时取等号， （6 分）（2）当 0a1 时，任取 0x 1x 2 （8 分）0a1， （x 1+1） （x 2+1）1， （10 分）x 1x 2，f（x 1）f（x 2） ，即 f（x）在0，+）上为增函数 （12 分）点评： 本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于基础题教案审核：
