1、线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图 1， CDAB，且 ADBD ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图 2， ACBC 点 C在线段 AB的垂直平分线 m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点
2、到三个顶点的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。4、角平分线的性质定理：m图 1DA BCm图 2DA BCji k图 3OB CA角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图 4， OE是AOB 的平分线，F 是 OE上一点，且 CFOA 于点C，DFOB 于点 D， CFDF. 定理的作用：证
3、明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图 5，点 P在AOB 的内部，且 PCOA 于 C，PDOB 于 D，且PCPD，点 P在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别是ABC 的内角BAC、
4、ABC、ACB 的平分线，那么： AP、BQ、CR 相交于一点 I； 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则 DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：图 5 CDO ABP图 6EFDIPR QB CA图 4 CDO ABF E三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单
5、综合问题的图形.精品习题：1在ABC 中，C=90，BD 是ABC 的平分线.已知，AC=32，且 AD：DC=5：3，则点 D到 AB的距离为_.2如图，在ABD 中，AD=4，AB=3 ，AC 平分BAD，则 = :ABCDS（ ）A B C D不能确定3:4:316:93如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 的长分别是 20、30、40、其中三条角平分线将 ABD分为三个三角形，则 S ：S ：S 等于ABOCAO_.4如图所示，BAC105，若 MP和 NQ分别垂直平分 AB和 AC则PAQ 的度数为 5ADBC，D= ，AP 平分DAB，PB 平分ABC，点 P恰好在 CD上，则
6、PD与 PC的关90系是（ ）APDPC BPDPC CPD=PC D无法判断6如图，有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A在 AC、BC 两边高线的交点处 B.在 AC、BC 两边中线的交点处C在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在A、B 的角平分线的交点处 7如图，CD 是 RtABC 斜边 AB上的高，将BCD 沿 CD折叠，B 点恰好落在 AB的中点 E处，则A 等于( )A25 B.30 C.45 D.60 8AC=AD，BC= BD，则有（ ）AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB
7、CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB9如图，OP 平分AOB，PAOA，PBOB ，垂足分别为 A，B下列结论中不一定成立的是（ ）APA=PB BPO 平分APB COA=OB DAB 垂直平分 OP10随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示） ，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。A、1 B、2 C、3 D、411在 RtABC 中，A=90，AB=3，AC =4，ABC，ACB 的平分线交于 P 点，PEBC 于 E 点，求 PE 的长12如图，BDA、HDC 都是等腰直角三角
8、形，且 D 在 BC 上，BH 的延长线与 AC 交于点 E，请你判断线段 AC 与 BH 有什么关系？并说明理由.13如图，C=90，AC=BC，AD 是BAC 的角平分线求证：AC+CD=AB14如图，AD 为ABC 的角平分线，AD 的中垂线交 AB 于点 E、交 BC 的延长线于点F，AC 于 EF 交于点 O（1）求证：3=B；（2）连接 OD，求证：B+ODB=18015已知：DAB=120 ，AC 平分DAB，B+D =180（1）如图 1，当B=D 时，求证：AB +AD=AC；（2）如图 2，当BD 时，猜想（ 1）中的结论是否发生改变？说明理由16小明做了一个如图所示的“风筝” 骨架，其中 AB=AD，CB=CD（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为 ACBD，垂足为点 E，并且 BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？（2）设 AC=a， BD=b，请用含 a，b 的式子表示四边形 ABCD 的面积17如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 和ADE，求证：AD=AB+CD。18如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。19已知：如图在ABC 中，A=90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADDAE CBA BECDAB CD
