1、1空间向量与立体几何知方法总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。; ;OBAabBAOBab()OPaR运算律：加法交换律：加法结合律： )()( cc数乘分配律： bab运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，
2、记作 。abba/（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ） ， / 存在实数 ，使 。ab0abab（3）三点共线：A、B、C 三点共线 ACB)1(yxOByxO其 中（4）与 共线的单位向量为aa4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实数 使,abp,ab,xy。pxayb（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面 ACyBxAP)1( zOCzByOx其 中5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有,
3、abc p序实数组 ，使 。,xyzpz若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空间任意,abc, ,abc三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。2推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实数 ，,OABCP,xyz使 。Pxyz6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使xyzA(,)xyz，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作zkyixOA(,) O， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。(,)z 注：点 A（x,y,z ）关于 x 轴的的对称点为
4、(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/ 平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。 在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（ 2） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位 正 交 基 底 ， 用1表 示 。空间中任一向量 =（x,y,z ）,ijk kzjyixa（3）空间向量的直角坐标运算律：若 ， ，则 ，123(,)a123(,)bb 123(,)abab， ， 12,ba )(R，13， 12233/,()abbR。0ba若
5、 ， ，则 。1(,)Axyz22(,)Bxyz212121(,)ABxyz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若 ， ， ，则点 P 坐标为1,A22(,)yzBP。推导：设 P（x,y,z）则 ,),1,( 2221 zyx ),(),( 221,1 zyxzyx 显然，当 P 为 AB 中点时， )2,(111zxP ，三角形重心 P 坐标为),(, 32yxCyBzy（AxBC中)2,3( 313121yxABC 的五心：3内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。 （单位向量）)(ACBAP外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点
6、。垂心 P：高的交点： （移项，内积为 0，则垂直）PCPAB重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比） )(31ACB中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 ， ，123(,)a12(,)b则 ，2|aa 2213|bb（5）夹角公式： 。1222313cos|aabABC 中 A 为锐角 A 为钝角，钝角 0ACB0ACB（6）两点间的距离公式：若 ， ，1(,)xyz2(,)xyz则 ，22211| ()x或 ,211()()ABdyz7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作,abO，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定
7、，,OabAOB,0,ab显然有 ；若 ，则称 与 互相垂直，记作： 。,a,2bab（2）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： 。A|（3）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，,a|cos,b,ab即 。ab|cos,b（4）空间向量数量积的性质： 。 。 。|,eae 0aba2|a（5）空间向量数量积运算律： 。 （交换律） 。()()()b （分配律） 。acac不满足乘法结合率： )()(ba二空间向量与立体几何(高考答题必考)41线线平行 两线的方向向量平行1-1 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行 两面的法向量平行2
8、 线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直2-1 线面垂直 线与面的法向量平行2-2 面面垂直 两面的法向量垂直3 线线夹角 两条异面直线所成的角：1、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线 /,ab，则 /a与 /b所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角2、范围：两异面直线所成角 的取值范围是 023、向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a、 b，其夹角为 ，则有cos|ab4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角3-2 线面夹角 ：求线面夹角的步骤：先求
9、线的方向向量90,O与面的法向量 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补APn角；再求其余角，即是线面的 夹角., Pcossin3-3 面面夹角（二面角） :（1）若 AB、CD 分别是二面角 l的两个面内与棱 l80,O垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与 CD的夹角（如图（a）所示）（2）设 1n、 2是二面角 l的两个角 、 的法向量，则向量 1n与 2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于2,1n法向量的夹角的补角. 21,coscsn4 点面距离 ：h如图（a）所
10、示，BO平面 ，垂足为 O，则点 B 到平面 的距离就是线段 BO 的长度若 ABnPAA25是平面 的任一条斜线段，则在 RtBOA 中，cosABO= 如果令平面 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 的距离为h=4-1 线面距离（线面 平行）：转化为 点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离应用举例：例 1：如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1的正切值;(2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值. 解：
11、（I）以 A为原点， 分别为 x轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标1,BA系，则 D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是， 11(3,0)(,32)(4,2)ECFD设法向量 与平面 C1DE垂直，则有2nxy130xyzC1 11(,2), ,026cos 3|442tannACDE向 量 与 平 面 垂 直与 所 成 的 角 为 二 面 角 的 平 面 角（II）设 EC1与 FD1所成角为 ，则222211(4)31cos 4|ECFD例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是菱形，DAB=60 0，PD平面
12、coscosBAOBBOAABO6ABCD，PD=AD，点 E为 AB中点，点 F为 PD中点。（1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）面 ABCD是菱形，DAB=60 0，ABD 是等边三角形，又 E是 AB中点，连结 BDEDB=30 0，BDC=60 0，EDC=90 0，如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD= ，ED= ，123 P（0，0，1） ，E（ ，0，0） ，B（ ， ，0） 323 =（ ， ，-1） ， = （ ，0，-1） ，B32P平面 PED的一个法向量为 =（0，1，0） ，设平面 P
13、AB的法向量为 =（x, y, 1)DCn由 =（ , 0, 1)3312(,1),)0223,0xyxyxnPE y 23 =0 即 平面 PED平面 PABDCnn(2)解:由(1)知平面 PAB的法向量为 =（ , 0, 1),设平面 FAB的法向量为 1=（x, y, n23 n-1)，由（1）知：F（0，0， ） ， =（ ， ，- ） ， = （ ，0，- ） ，12FB21FE32由 13311(,)(,)02310, 02xyxyxnBE y 1=（- , 0, -1)n3二面角 P-AB-F的平面角的余弦值 cos= |cos| = n1n574例3：在棱长为4的正方体ABC
14、D-A 1B1C1D1中，O是正方形A 1B1C1D1的中心，点P在棱CC 1上，且7CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC 1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；()设O点在平面D 1AP上的射影是H，求证：D 1HAP；()求点P到平面ABD 1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD 1, 棱长为4 A（4，0，0） ，B（4，4，0） ，P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 显然 =（0，4，0）A DC为平面BCC 1B1的一个法向量直线AP与平面BCC 1B1所成的角的正弦值sin= |cos|=PDC226344为锐角，直线AP与平面BCC 1B1所成
15、的角为arcsin 43() 设平面ABD 1的法向量为 =（x, y, 1)，n =（0，4，0） ， =（-4，0，4）AB1AD由 ， 得 =（1, 0, 1)，n1yxn点P到平面ABD 1的距离 d = 32Pn例 4：在长、宽、高分别为 2，2，3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 是底面中心，求A1O与 B1C的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 O（1，1，0） ， A1（2，2，3） ，C（0，2，0） 1(,3)A1(2,03)B1(,2)AB设 A1O与 B1C的公共法向量为 ，则(,nxy13(,),13)030222xnxyxy A 1O与 B1C的距离为3(,2d = 120,| 31312Bn例 5：在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 B1C1、C 1D1的中点，求 A1到面BDFE的距离。A BCDA1 B1 D1 C1 O8解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 B（1，1，0） ，A 1（1，0，1） ，E（ ，1，1）2 (1,0)BD(,)2BE1(,)设面 BDFE的法向量为 ，则,nxy(,),)0211022xyn xyBE (,) A 1到面 BDFE的距离为 d = 1220,1,| |31ABn附：FEA BCDA1 B1 D1 C1
