1、简单的周期问题一、填空题1某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _ 2 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5 日是星期 _ 3按如图摆法摆 80 个三角形，有 _ 个白色的4节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯，小明想第 73 盏灯是 _ 灯5时针现在表示的时间是 14 时正，那么分针旋转 1991 周后，时针表示的时间是 _ 时6把自然数 1，2，3，4，5如表依次排列成 5 列，那么数“1992” 在 _ 列7把分数 化成小数后，小数点第 110 位
2、上的数字是 _ 8循环小数 与 这两个循环小数在小数点后第 _ 位，首次同时出现在该位中的数字都是 79一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有 1991 个数（1）其中共有 _ 个 1， _ 个 9 _ 个 4；（2）这些数字的总和是 _ 10所得积末位数是 _ 二、解答题（共 4 小题，满分 0 分）11紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如 89=72，在 9 后面写2，92=18，在 2 后面写 8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？
3、121991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13n= ，那么 n 的末两位数字是多少？14在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍有多少根？参考答案与试题解析一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 二 考点： 日期和时间的推算。1665141分析： 因为某年二月份有五个星期日，又知 47=28，所以这年二月份应为 29 天，而且可知
4、 2 月 1 日和 2 月 29 日均为星期天所以 3 月 1 日为星期一到六月一日经过了 3 月、4 月、5 月，因为 3 月、5 月又 1 天，4 月有 30 天，所以共有 31+30+31+1=93 天，每个星期有七天，所以 937=132，所以 6 月 1 日是星期二解答： 解：因为 74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2 月 29 日均为星期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了31+30+31+1=93（天） 937=132，所以这年 6 月 1 日是星期二答：这年六月一日是星期二
5、故答案为：二点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年2 （3 分）1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5 日是星期 日 考点： 日期和时间的推算。1665141分析： 先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几解答： 解：这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有
6、36510+2=3652（天） ；36527=521（周）5（天） ，5+2=7，所以再过十年的 12 月 5 日是星期日故答案为：日点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年3 （3 分）按如图摆法摆 80 个三角形，有 39 个白色的考点： 简单周期现象中的规律。1665141分析： 从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就是这一排列
7、的周期为 6，806 得出周期数和余数，一个周期有 3 个白色，加上余数的白色个数，即可得解解答： 解：806=132，余数 2 全是黑色，所以，白色的三角形有：133=39；答：有 39 个白色的故答案为：39点评： 看出规律，找到周期，是解决这类题的关键4 （3 分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯，小明想第 73 盏灯是 白 灯考点： 简单周期现象中的规律。1665141分析： 每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73 是多少个周期余数是几，排一下就知道了解答： 解
8、：734=181，所以是白灯；答：小明想第 73 盏灯是 白灯故答案为：白点评： 此题考查了简单周期现象中的规律5 （3 分）时针现在表示的时间是 14 时正，那么分针旋转 1991 周后，时针表示的时间是 13 时考点： 时间与钟面。1665141分析： 分针旋转一周为 1 小时，旋转 1991 周为 1991 小时；一天 24 小时，199124=82（天）23（小时） ，1991小时共 82 天又 23 小时；现在是 14 时正，经过 82 天仍然是 14 时正，再过 23 小时，正好是 13 时解答： 解：199124=82 天23 小时， 1991 小时共 82 天又 23 小时14
9、+2324=13 小时，答：时针表示的时间是 13 时故答案为：13点评： 考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面6 （3 分）把自然数 1，2，3，4，5如表依次排列成 5 列，那么数“1992” 在 第三 列考点： 数表中的规律。1665141分析： 9 个数一个循环，这 9 个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第三列、第二列；那么求出 1992 是多少个循环，得出余数，即
10、可得解解答： 解：19929=2213；所以，1992 在第三列故答案为：第三点评： 此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论7 （3 分）把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是 7 考点： 简单周期现象中的规律；循环小数与分数。1665141分析： 先把 化成小数：0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是 6，六个数字依次是：5，7，1，4，2，8因为 1106=182，所以第 110 位上的数是一周期的第二个数即 7解答： 解：因为 =0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是 6，具体地六个数字依次是5，7，1，4，2，8；
11、1106=182，所以第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7故答案为：7点评： 做这类题先把分数化为小数， （一般为循环小数） ，周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字，就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字8 （3 分）循环小数 与 这两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位中的数字都是 7考点： 循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。1665141分析： 根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是 7 位数和 5 位数，求出 5 和 7 的最小公倍数即可解答： 解：因为 0.1992517 的循环节是 7 位数，0.34567
12、 的循环节是 5 位数，又 5 和 7 的最小公倍数是 35，所以两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位上的数字都是 7故答案为：35点评： 此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答9 （3 分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有 1991 个数（1）其中共有 853 个 1， 570 个 9 568 个 4；（2）这些数字的总和是 8255 考点： 数字串问题；数字和问题。1665141分析： 不难看出，这串数每 7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环，即周期为 7，且每个周期中有 3 个 1，2个 9，2
13、个 4因为 19917=2843，所以这串数中有 284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数1，9，9其中 1 的个数是：3284+1=853（个） ，9 的个数是 2284+2=570（个） ，4 的个数是2284=568（个） 这些数字的总和为 1853+9570+4568=8255解答： 解：（1）这串数每 7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环，且每个周期中有 3 个 1，2 个 9，2 个4因为 19917=2843，所以这串数中有 284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数 1，9，9其中 1的个数是：3284+1=853（个） ，9 的个数是 2284
14、+2=570（个） ，4 的个数是 2284=568（个） （2）这些数字的总和为：1853+9570+4568=8255故答案为：853，570，568；8255点评： 在做题时应首先观察规律：7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环10 （3 分） 所得积末位数是 9 考点： 乘积的个位数。1665141分析： 当 7 的个数是 1 时，末位是 7；当 7 的个数是 2 时，末位是 9；当 7 的个数是 3 时，末位是 3；当 7 的个数是 4 时，末位是 1；当 7 的个数是 5 时，末位又是 7；由此发现积的末尾依次出现 7、9、3、1；依此规律解答即可解答： 解：先找出积的
15、末位数的变化规律：71 末位数为 7，7 2 末位数为 9，7 3 末位数为 3，7 4 末位数 1；7 5=74+1 末位数为 7，7 6=74+2 末位数为9，7 7=74+3 末位数为 3，7 8=742 末位数为 1；由此可见，积的末位依次为 7，9，3，1，7，9，3，1，以 4 为周期循环出现因为 504=122，即 750=7412+2，所以 750 与 72 末位数相同，也就是积的末位数是 9故答案为：9点评： 此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题二、解答题（共 4 小题，满分 0 分）11紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘
16、积的个位数例如 89=72，在 9 后面写2，92=18，在 2 后面写 8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？考点： 数字串问题。1665141分析： 依照题述规则多写几个数字：1989286884286884可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884，每 6 个一组，即循环周期为 6因为（19894）6=3305，正好除尽，286884 所以所求数字是 8解答： 解：依照题述规则多写几个数字得到：1989286884286884286884可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884，每 6 个一组
17、，即循环周期为 6因为（19894）6=3305，所以 286884 的第四个数字为 8，所求数字是 8点评： 此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884121991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？考点： 简单周期现象中的规律。1665141分析： 本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可可知1991 个 1990 相乘所得的积末尾两位是 00；1 个 1991 末两位数是 91，2 个 1991 相乘的积末两位数是 81，3个
18、1991 相乘的积末两位数是 71，4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11 个 1991 相乘积的末两位数字是 91，由此可见，每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为 10因为 199010=199，所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是 01即可得答案解答： 解：因为 1991 个 1990 相乘所得的积末两位是 01 个 1991 末两位数是 91，2 个 1991 相乘的积末两位数是 81，3 个 1991 相乘的积末两位数是 71，4 个至 10个 1991 相乘的积的末两位数分别是 61，51
19、，41，31，21，11，01，11 个 1991 相乘积的末两位数字是 91，可知每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，周期为 10因为 199010=199，所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是 01所以两个积相加的和末两位是 01答：再相加的和末两位是 01点评： 做此题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末两位数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数1991 个 1990 相乘所得的积的末尾两位数很显然是 00，求1990 个 1991 相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数是呈周
20、期循环出现的再根据循环现象求 1990 个 1991 相乘所得积的末尾两位数即可13n= ，那么 n 的末两位数字是多少？考点： 周期性问题。1665141分析： 此题可用列表法寻找规律n 是 1991 个 2 的连乘积，即 n=21991首先从 2 的较低次幂入手寻找规律，列表如下：n n 的十位数字 n 的个位数字 n n 的十位数字 n 的个位数字21 0 2 212 9 622 0 4 213 9 223 0 8 214 8 424 1 6 215 6 825 3 2 216 3 626 6 4 217 7 227 2 8 218 4 428 5 6 219 8 829 1 2 220
21、 7 6210 2 4 221 5 2211 4 8 222 0 4解答： 解：n 是 1991 个 2 的连乘积，可记为 n=21991，首先从 2 的较低次幂入手寻找规律，见上表观察上表，容易发现自 22 开始每隔 20 个 2 的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为 20因为 199120=9911，所以21991 与 211 的末两位数字相同，由上表知 211 的十位数字是 4，个位数字是 8所以，n 的末两位数字是48答：n 的末两位数字是 48点评： 此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力14在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5
22、 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍有多少根？考点： 染色问题；公约数与公倍数问题。1665141分析： 因为 100 能被 5 整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色于是我们可以看作是从同一端点染色6 与 5 的最小公倍数是 30，即在 30 厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是30 厘米，如图所示由图示可知长 1 厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第 1 周期中，65=1，55 64=1剩余 10 厘米中有一段所以锯开后长 1 厘米的短木棍共有 7 段解答： 解：2（10010）30+1，=23+1，=7（段） 答：那么长度是 1 厘米的短木棍有 7 根点评： 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易
