1、1第七章 参数估计7.1 (1) =0.7906xn540(2) = =1.54952xz1.967.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。(1)假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差。 =2.143xn1549(2)在 95的置信水平下，求估计误差。，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度 t=xxt 2z因此， =1.962.143=4.22xz0.25x(3)如果样本均值为 120 元，求总体均值 的 95的置信区间。置信区间为： = =（115.8，124.2）22,xn14.2,0
2、.7.3 = =（87818.856,121301.144）2,zz85046.97.4 从总体中抽取一个 n=100 的简单随机样本,得到 =81，s=12。x要求：大样本，样本均值服从正态分布： 或2,xNn:2,sn:置信区间为： ， = =1.222,ssxzzn 10(1)构建 的 90的置信区间。= =1.645，置信区间为： =（79.03，82.97）2z0.581.645.,8.645.2(2)构建 的 95的置信区间。= =1.96，置信区间为： =（78.65，83.35）. .92,1.9(3)构建 的 99的置信区间。= =2.576，置信区间为： =（77.91，8
3、4.09）2z0.58.576.,8.576.27.5 （1） = =（24.114，25.886）2xzn351.90（2） = =（113.184，126.016）s 2.675（3） = =（3.136，3.702）2xzn .43.419.37.6 （1） = =（8646.965，9153.035） 08.65（2） = =（8734.35，9065.65）2xzn91.3（3） = =（8761.395，9038.605）s 08.6452（4） = =（8681.95，9118.05）2sxzn50892.37.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7 500 名学生中采取
4、重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时) ：3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.24.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.32.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.54.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90，95和 99。解：（1）样本均值 =3.32，样本标准差 s=1.61x=0.9，t= = =1.645， = =（2.88，3.76）2z0.52sxzn1.63.453=
5、0.95，t= = =1.96， = =（2.79，3.85）. .9=0.99，t= = =2.576， = =（2.63，4.01）12z0.52sxzn1.6.2737.8 = =(7.104,12.896)2sxtn34687.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的 95的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量 xtsn1t:均值=9.375，样本标准差 s
6、=4.11, =0.95，n=16， = =2.1312t0.25t置信区间： 22,sxtnxt = =（7.18，11.57）4.4.9.3751,93756167.10 (1) = =（148.8695,150.1305）2sxzn .93.(2)中心极限定理711 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量 (单位：g) 如下：每包重量（g） 包数969898100100102102104104106233474合计 50已知食品包重量服从正态分布，要求： (1)确定该种食品平均重量的 9
7、5的置信区间。 解：大样本，总体方差未知，用 z 统计量： xzsn0,1N:3样本均值=101.4，样本标准差 s=1.829， =0.95， = =1.9612z0.5置信区间： 22,ssxzxzn= =（100.89，101.91）1.89.8910.46,0.46550(2)如果规定食品重量低于 l00g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95的置信区间。解：总体比率的估计。大样本，总体方差未知，用 z 统计量： 1pzn0,1N:样本比率=（50-5）/50=0.9 ， =0.95， = =1.96120.5置信区间： 2 1,ppzznn = =（0.8168，0.9832）0.
8、91.0.9.6,.655 7.12 正态分布，大样本，方差未知= =（15.679,16.576）2sxzn 0.871.2.5713 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时) ：63218171220117902182516152916假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量： xtsn1t:均值=13.56，样本标准差 s=7.801， =0.90，n=18， = =1.736912t0.57t置信区间： 2
9、21,ssxtnxtn = =（10.36，16.75）7.807.8013.569,3.56197.14 （1） = =（0.33159，0.7041）2pzn .5.24（2） = =（0.7765，0.8635）1 0.81.20.8963（3） = =（0.4558,0.5042）2pzn .45715 在一项家电市场调查中随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。解：总体比率的估计4大样本，总体方差未知，用 z 统计量： 1pzn0,1N:样本比率=0.23， =0.90
10、， = =1.645120.5置信区间： 22,ppzzn = =（0.1811，0.2789）0.31. 0.31.20.231645,031.645 =0.95， = =1.962z0.52,ppznn = =（0.1717，0.2883）0.31.0.231.0.23196,031.96 7.16 = =1662()zsnE2.5767.17 （1） = =25222(1)2.04(1.)（2） = =601 （当 未知是，取 0.5）2)zn2.965.（3） = =328(1)E.40(1.).7.18 （1） = =（0.5070，0.7731）2pzn .640.695（2） =
11、 =62()1)n208(1.)7.19720 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟) 如下：方式 1 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7方式 2 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9
12、.3 10要求：(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的 95的置信区间。解：估计统计量： 21nSn经计算得样本标准差 =3.318， =0.95，n=10 ，2s= =19.02， = =2.7210.592120.9755置信区间： = =（0.1075，0.7574）22211nSnS90.72.,1因此，标准差的置信区间为（0.3279，0.8703）(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的 95的置信区间。解：估计统计量： 2nSn经计算得样本标准差 =0.2272， =0.95，n=10 ，1s= =19.02， = =2.7220.592120.975置信区间： = =（1.5
13、7，11.06）221nSnS318.,.因此，标准差的置信区间为（1.25，3.33）(3)根据(1)和(2) 的结果，你认为哪种排队方式更好?第一种方式好，标准差小。7.21 正态总体，独立小样本，方差未知但相等：（其中 ， ）2121()psxtn2221()(1)pnsss12()dfn:（1） = =1.7291，代入略20.547t（2） = =2.0930，代入略21t.2（3） = =2.8609，代入略20.51t7.22 （1）正态或非正态总体，独立大样本，方差未知 212()sxZn（2）正态总体，独立小样本，方差未知但 ：12（其中 ， ）2121()psxt2212(
14、)()pnsss12()dfn:（3）正态总体，独立小样本，方差未知 但 ，22112()stn（4）正态总体，独立小样本，方差未知但 ， ：1212n（其中 ， ）2121()psxt212()()pnsss12()dfn:（5）正态总体，独立小样本，方差未知但 ，12（其中 ）2112()sxtn122()sndf723 下表是由 4 对观察值组成的随机样本。配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本123251007664 8 5(1)计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算 和 。ds=1.75， =2.62996dds(2)设 分别为总体 A 和总体 B 的均值
15、，构造 的 95的置信区间。12和 12d解：小样本，配对样本，总体方差未知，用 t 统计量ddtsn1t:均值=1.75，样本标准差 s=2.62996， =0.95，n=4， = =3.182121tn0.253t置信区间： 22,ddssttn = =（-2.43，5.93）.69.691.7538,.7538447.24 小样本，配对样本，总体方差未知： = =2.262221tn0.251t= =（6.3272,15.6728）21dsdtn6.2.0725 从两个总体中各抽取一个 250 的独立随机样本，来自总体 1 的样本比例为 40，12n 1p来自总体 2 的样本比例为 30
16、。要求：2p(1)构造 的 90的置信区间。1(2)构造 的 95的置信区间。2解：总体比率差的估计大样本，总体方差未知，用 z 统计量： 121212pzpn0,1N:样本比率 p1=0.4，p2=0.3 ，置信区间： 12 1212 12 1,pppppz znn =0.90， = =1.64520.512 1212 12,zpz = 0.4.03.0.4.031.0.65,.655 5 =（3.02%，16.98%）=0.95， = =1.9612z0.512 122 12 1,ppppp znn = 0.4.03.0.4.03.196,.95555 7=（1.68%，18.32%）7.
17、26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(单位：g) 的数据：机器 1 机器 23.45 3.22 3.9 3.22 3.28 3.353.2 2.98 3.7 3.38 3.19 3.33.22 3.75 3.28 3.3 3.2 3.053.5 3.38 3.35 3.3 3.29 3.332.95 3.45 3.2 3.34 3.35 3.273.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.283.2 3.18 3.25 3.3 3.34 3.25要求：构造两个总体方差比 / 的 95的置信区间。21解：统
18、计量：212s12,Fn:置信区间： 1122,ssnn =0.058， =0.006，n1=n2=21， =0.95， = =2.4645，21s2s 212,Fn0.25,F=,1F21,Fn= = =0.4058122,n0.9750.25,=（4.05，24.6）212122,ssFFn 727 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2。如果要求 95的置信区间，若要求估计误差（边际误差）不超过 4，应抽取多大的样本 ?解： ， ， =0.95， = =1.9621pzn21pz2z0.5= =47.06，取 n=48 或者 50。2pn2.960.984728 某超市想要估计每个顾
19、客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为 120 元，现要求以 95的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过 20 元，应抽取多少个顾客作为样本?解： ， =0.95， = =1.96，2xzn12z0.5=138.3，取 n=139 或者 140，或者 150。2x2.9608第八章 假设检验8.1 提出假设：H 0： =4.55；H 1： 4.55构建统计量（正态，小样本，方差已知）： = =-1.830xzn4.8.519求临界值： =0.05， = =1.962z0.5决策：因为 ，所有，不拒绝 H0结论：可以认为现在生产的铁水平均含碳量是 4.
20、5582 一种元件，要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36 件，测得其平均寿命为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布， 60 小时，试在显著性水平 005 下确定这批元件是否合格。解：提出假设：H 0： 700；H 1：700构建统计量（正态， 大样本，方差已知）： -20xzn6873求临界值：当 0.05，查表得 1.645。z决策：因为 z- ，故拒绝原假设，接受备择假设结论：说明这批产品不合格。8.3 提出假设：H 0：H 0：250；H 1：250构建统计量（正态，小样本，方差已知）： = =3.330xzn2753求临界值： =0.05， =
21、=1.645z0.5决策：因为 ，所有，拒绝 H02结论：明显增产84 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是 100 千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得 9 包重量 (单位：千克) 如下：993 987 1005 1012 983 997 995 1021 1005已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常(a0.05)?解：提出假设：H 0： 100；H 1：100构建统计量（正态， 小样本，方差未知）： -0.0550xtsn9.7802求临界值：当 0.05，自由度 n18 时，查表得 2.306。2决策：因为 ，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，
22、拒绝备择假设t2结论：说明打包机工作正常。85 某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于 250 克。今从一批该食品中任意抽取 50 袋，发现有6 袋低于 250 克。若规定不符合标准的比例超过 5就不得出厂，问该批食品能否出厂 (a005)?解：提出假设： H0：0.05；H 1： 0.05构建统计量： 2.2710pZn.120.5求临界值：当 0.05，查表得 1.645。z决策：因为 ，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，接受备择假设z结论：说明该批食品不能出厂。8.6 提出假设：H 0： 25000；H 1：250009构建统计量（正态，小样本，方差已知）： 1.5490xtsn27
23、501求临界值：当 0.05，查表得 1.645。z决策：因为 z ，故不能拒绝原假设结论：没有充分证据证明该厂家的广告是真实的87 某种电子元件的寿命 x(单位：小时) 服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时(a005)?解：提出假设：H 0： 225；H 1：225构建统计量（正态，小样本，方差已知）： 0.669xtsn241.59876求临界值：当 0.05，自由度 n115 时，查表得 1.753t决
24、策：因为 t ，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设结论：说明元件寿命没有显著大于 225 小时。8.88.9810 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录各自的装配时间(单位：分钟) 如下：甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 (a005)?解：提出假设：H 0： 1 2=0；H 1： 1
25、20构建统计量（总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等）： 12pxtsn根据样本数据计算，得 12， =12， 31.75， 3.19446， 28.6667， =2.46183。1n21x1s22s 8.1326212psss20.960.762.64821pxtsn求临界值：0.05 时，临界点为 2.07421tn0.25t决策：此题中 ，故拒绝原假设t2结论：认为两种方法的装配时间有显著差异811 调查了 339 名 50 岁以上的人，其中 205 名吸烟者中有 43 个患慢性气管炎，在 134 名不吸烟者中有 13 人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎 ”这种
26、观点(a005)?解：提出假设：H 0： 1 2；H 1： 1 2p143/205=0.2097 n1=205 p213/134=0.097 n2=13410构建统计量： 31221pdzpn0.298.70.11.954求临界值：当 0.05，查表得 1.645z决策：因为 ，拒绝原假设z结论：说明吸烟者容易患慢性气管炎812 为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款数额不能超过 60 万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下，贷款的平均规模是否明显地超过 60 万元，故一个 n=144 的随机样本被抽出，测得 =681 万元，s=45。用 a
27、001 的显著性水x平，采用 p 值进行检验。解：提出假设：H 0： 60；H 1：60构建统计量（大样本，方差未知）： 2.160zsn68.45求临界值：由于 ，因此 P 值=P（z2.16）=1- ，查表的 =0.9846，P 值x2.12.16=0.0154决策：由于 P0.01，故不能拒绝原假设结论：说明贷款的平均规模没有明显地超过 60 万元。813 有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验证，研究人员把自愿参与实验的 22 000 人随机平均分成两组，一组人员每星期服用三次阿司匹林 (样本 1)，另一组人员在相同的时间服用安慰剂(样本 2)持续 3 年之后进行
28、检测，样本 1 中有 104 人患心脏病，样本 2 中有 189 人患心脏病。以 a005 的显著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。解：提出假设：H 0： 1 2；H 1： 1 2p1104/11000=0.00945 n1=11000 p2189/11000=0.01718 n2=11000构建统计量： 12pdzn -50.945.1780. .1781求临界值：当 0.05，查表得 1.645z决策：因为 - ，拒绝原假设z结论：说明用阿司匹林可以降低心脏病发生率。8.14 815 有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了 25 名男生和 16 名女生，对他们进行了同样题目的测试。测试结果表明，男生的平均成绩为 82 分，方差为 56 分，女生的平均成绩为 78 分，方差为 49 分。假设显著性水平 =002，从上述数据中能得到什么结论?解：方差比检验：提出假设：H 0： ；H 1： 212（已知：n1=25， =56，n2=16， =49）ss构建统计量： 1.14321F5649求临界值：当 0.02 时， 3.294， 0.346。2,1124,5F决策：由于 F ，检验统计量的值落在接受域中，所以接受原假设12,45结论：说明总体方差无显著差异。
