1、1正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 2sinisinabcRABC（2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 22cosabAaB22cscC（3）面积定理： 11siniinABCSabA2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1在ABC 中，A45，B60，a2，则 b 等于( )A. B. C. D26 2 3 62在ABC 中，已知 a8，B60，C75 ，则 b 等于( )A4
2、B4 C4 D.2 3 63233在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，A 60，a4 ，b4 ，则角 B 为( )3 2A45或 135 B135 C45 D以上答案都不对4在ABC 中，abc156，则 sinAsin BsinC 等于( )A156 B651 C615 D不确定解析：选 A.由正弦定理知 sinAsinBsin Cabc 156.5在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 A105，B45，b ，则 c( )2A1 B. C2 D.12 146在ABC 中，若 ，则ABC 是( )cos Acos B baA等腰三角形 B等边三角形
3、 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7已知ABC 中，AB ，AC1，B30，则ABC 的面积为( )3A. B. C. 或 D. 或32 34 32 3 34 3228ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.若 c ，b ，B120，则 a 等于( )2 6A. B2 C. D.6 3 29在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a1，c ，C ，则 A_.3310在ABC 中，已知 a ，b4，A30，则 sinB_.43311在ABC 中，已知A30，B120，b12，则 ac_.12在ABC 中，a2bcosC ，则ABC 的形状为_13在A
4、BC 中，A60，a6 ，b12，S ABC 18 ，则3 3_，c_.a b csinA sinB sinC14已知ABC 中，ABC123，a1，则 _.a 2b csin A 2sin B sin C15在ABC 中，已知 a3 ，cosC ，S ABC 4 ，则 b_.213 316在ABC 中，b4 ，C30 ，c2，则此三角形有_组解317如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为110，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货
5、轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？18在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a2 ，sin cos ，sin Bsin Ccos 2 ，求3C2 C2 14 A2A、B 及 b、c.19(2009 年高考四川卷)在ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且 cos 2A ，sin B .(1)求 AB 的值；(2)若 ab 1，求 a，b，c 的值35 1010 220ABC 中，ab60 ，sin B sin C，ABC 的面积为 15 ，求边 b 的长3 33余弦定理源网1在ABC 中，如果 BC6，AB4，cosB ，那么
6、 AC 等于( )13A6 B2 C3 D46 6 62在ABC 中，a2，b 1，C30 ，则 c 等于( )3A. B. C. D23 2 53在ABC 中，a 2b 2c 2 bc，则A 等于( )3A60 B45 C120 D1504在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2c 2b 2)tanB ac，则B 的值为( )3A. B. C. 或 D. 或6 3 6 56 3 235在ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，则 acosBbcosA 等于( )Aa Bb Cc D以上均不对6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
7、( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定7已知锐角三角形 ABC 中，| |4，| |1，ABC 的面积为 ，则 的值为( )AB AC 3 AB AC A2 B2 C4 D48在ABC 中，b ，c 3，B30 ，则 a 为( )3A. B2 C. 或 2 D23 3 3 39已知ABC 的三个内角满足 2BAC，且 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的长为_10ABC 中，sinAsinB sinC( 1)( 1) ，求最大角的度数3 3 1011已知 a、b、c 是ABC 的三边，S 是ABC 的面积，若 a4，b5，S5 ，则边 c 的值为3_12在
8、ABC 中，sin Asin B sin C234，则 cos Acos Bcos C_.13在ABC 中，a3 ，cos C ，S ABC 4 ，则 b_.213 314已知ABC 的三边长分别为 AB7，BC 5，AC 6 ，则 的值为_AB BC 15已知ABC 的三边长分别是 a、b、c，且面积 S ，则角 C_.a2 b2 c2416(2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_17在ABC 中，BCa，AC b，a，b 是方程 x22 x20 的两根，且 2cos(AB) 1，求 AB 的3长418已知ABC 的周长为 1，且 sin As
9、in B sin C.(1)求边 AB 的长；(2)若ABC 的面积为 sin 2 216C，求角 C 的度数19在ABC 中，BC ，AC 3，sin C 2sin A.(1)求 AB 的值；(2)求 sin(2A )的值5420在ABC 中，已知(abc)(abc)3ab，且 2cos Asin BsinC，确定ABC 的形状5正弦定理1在ABC 中，A45，B60，a2，则 b 等于( )A. B. C. D26 2 3 6解析：选 A.应用正弦定理得： ，求得 b .asinA bsinB asinBsinA 62在ABC 中，已知 a8，B60，C75 ，则 b 等于( )A4 B4
10、 C4 D.2 3 6323解析：选 C.A45，由正弦定理得 b 4 .asinBsinA 63在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，A 60，a4 ，b4 ，则角 B 为( )3 2A45或 135 B135 C45 D以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理 得：sin B ，又ab，B60，B45.asinA bsinB bsinAa 224在ABC 中，abc156，则 sinAsin BsinC 等于( )A156 B651C615 D不确定解析：选 A.由正弦定理知 sinAsinBsin Cabc 156.5在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对
11、的边，若 A105，B45，b ，则 c( )2A1 B. C2 D.12 14解析：选 A.C180 105 4530，由 得 c 1.bsinB csinC 2sin 30sin456在ABC 中，若 ，则ABC 是( )cos Acos B baA等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选 D. ， ，ba sin Bsin A cos Acos B sin Bsin AsinAcosAsinBcos B，sin2Asin2B即 2A2B 或 2A2B，即 AB，或 AB .27已知ABC 中，AB ，AC1，B30，则ABC 的面积为( )3A. B.32
12、 34C. 或 D. 或32 3 34 32解析：选 D. ，求出 sinC ，AB AC，ABsinC ACsinB 326C 有两解，即C60 或 120，A 90或 30.再由 SABC ABACsinA 可求面积128ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.若 c ，b ，B120，则 a 等于( )2 6A. B26C. D.3 2解析：选 D.由正弦定理得 ，6sin120 2sinCsinC .12又C 为锐角，则 C30 ，A30 ，ABC 为等腰三角形，ac .29在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a1，c ，C ，则 A_.33
13、解析：由正弦定理得： ，asinA csinC所以 sinA .asinCc 12又ac，AC ，A .3 6答案：610在ABC 中，已知 a ，b4，A30，则 sinB_.433解析：由正弦定理得 asinA bsinBsinB .bsinAa412433 32答案：3211在ABC 中，已知A30，B120，b12，则 ac_.解析：C180 1203030 ，ac，由 得，a 4 ，asinA bsinB 12sin30sin120 3ac8 .3答案：8 312在ABC 中，a2bcosC ，则ABC 的形状为_解析：由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，代入式子 a2b
14、cosC，得2RsinA22 RsinBcosC，所以 sinA2sinBcos C，即 sinBcosC cosBsinC2sinBcosC，化简，整理，得 sin(BC)0.0 B180，0 C180，180 B C180 ，BC0，BC.答案：等腰三角形713在ABC 中，A60，a6 ，b12，C=30 则 _，c_.3a b csinA sinB sinC解析：由正弦定理得 12 ，又 SABC bcsinA， 12sin60c18a b csinA sinB sinC asinA 63sin60 12 12，3c6.答案：12 614已知ABC 中，ABC123，a1，则 _.a
15、2b csin A 2sin B sin C解析：由ABC123 得，A30，B60，C90，2R 2，asinA 1sin30又a2Rsin A，b2Rsin B，c2R sin C， 2R2.a 2b csin A 2sin B sin C 2Rsin A 2sinB sin Csin A 2sin B sin C答案：215在ABC 中，已知 a3 ，cosC ，S ABC 4 ，则 b_.213 3解析：依题意，sinC ，S ABC absinC4 ，223 12 3解得 b2 .3答案：2 316在ABC 中，b4 ，C30 ，c2，则此三角形有_组解3解析：bsinC4 2 且
16、c2，312 3cbsinC ，此三角形无解答案：017如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角( 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110，航行半小时后船到达 C点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？解：在ABC 中，BC40 20，12ABC14011030 ，ACB(180140)65105，所以A180(30105)45 ，由正弦定理得ACBCsinABCsinA 10 (km)20sin30sin45 2即货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的
17、距离是 10 km.218在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a2 ，sin cos ，sin Bsin Ccos 2 ，求3C2 C2 14 A2A、B 及 b、c.解：由 sin cos ，得 sinC ，C2 C2 14 128又 C(0，)，所以 C 或 C .6 56由 sin Bsin C cos2 ，得A2sin Bsin C 1cos( BC)，12即 2sin Bsin C 1cos(BC )，即 2sin Bsin C cos(BC)1，变形得cos Bcos Csin Bsin C1，即 cos(BC)1，所以 BC ，BC (舍去) ，6 56A
18、(B C ) .23由正弦定理 ，得asin A bsin B csin Cbca 2 2.sin Bsin A 31232故 A ，B ，bc2.23 619(2009 年高考四川卷)在ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且 cos 2A ，sin B .(1)求 AB 的值；(2)若 ab 1，求 a，b，c 的值35 1010 2解：(1)A、B 为锐角，sin B ，1010cos B .1 sin2B31010又 cos 2A1 2sin2A ，sin A ，cos A ，35 55 255cos(AB )cos A cos Bsin Asin
19、B .255 31010 55 1010 22又 0AB ，AB .4(2)由(1)知，C ，sin C .34 22由正弦定理： 得asin A bsin B csin Ca b c，即 a b，c b.5 10 2 2 5ab 1， bb 1，b1.2 2 2a ，c .2 520ABC 中，ab60 ，sin B sin C，ABC 的面积为 15 ，求边 b 的长3 3解：由 S absin C 得，15 60 sin C，12 3 12 3sin C ，C 30或 150.129又 sin Bsin C，故BC.当C30时， B 30 ，A120.又ab60 ， ， b2 .3asi
20、n A bsin B 15当C150 时， B 150(舍去) 故边 b 的长为 2 .15余弦定理源网1在ABC 中，如果 BC6，AB4，cosB ，那么 AC 等于( )13A6 B2 6C3 D46 6解析：选 A.由余弦定理，得AC AB2 BC2 2ABBCcosB 6.42 62 246132在ABC 中，a2，b 1，C30 ，则 c 等于( )3A. B.3 2C. D25解析：选 B.由余弦定理，得 c2a 2b 22abcos C2 2( 1) 222( 1)cos303 32，c .2103在ABC 中，a 2b 2c 2 bc，则A 等于( )3A60 B45C120
21、 D150解析：选 D.cosA ，b2 c2 a22bc 3bc2bc 320 A180，A150.4在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2c 2b 2)tanB ac，则B 的值为( )3A. B.6 3C. 或 D. 或6 56 3 23解析：选 D.由(a 2c 2b 2)tanB ac，联想到余弦定理，代入得3cosB .a2 c2 b22ac 32 1tanB 32cosBsinB显然B ，sin B .B 或 .2 32 3 235在ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，则 acosBbcosA 等于( )Aa BbCc D以上均不对解析：
22、选 C.a b c .a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc 2c22c6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定解析：选 A.设三边长分别为 a，b，c 且 a2b 2c 2.设增加的长度为 m，则 cmam ，c mbm ，又(am) 2(b m)2a 2b 2 2(ab)m 2m 2c 22cm m2(cm) 2，三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形7已知锐角三角形 ABC 中，| |4，| |1，ABC 的面积为 ，则 的值为( )AB AC 3 AB AC A2 B2C4 D4解析：选 A.SABC | | |sinA312AB AC 41sinA，12sinA ，又ABC 为锐角三角形，32cosA ，12 41 2.AB AC 128在ABC 中，b ，c 3，B30 ，则 a 为( )3A. B23 3C. 或 2 D23 3解析：选 C.在ABC 中，由余弦定理得 b2a 2c 22accosB，即 3a 293 a，3a 23 a60，解得 a 或 2 .3 3 39已知ABC 的三个内角满足 2BAC，且 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的长为_
