1、激光原理 第六版 天津理工大学理学院 1第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图 2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为 。120证明：设入射光线坐标参数为 ，出射光线坐标参数为 ，根据几何关系可知1, r2, r傍轴光线 则 ，写成矩阵形式2112, sinirsinA1得证2120 r2. 证明光线通过图 2.2所示厚度为 d的平行平面介质的光线变换矩阵为 。12 0d证明：设入射光线坐标参数为 ，出射光线坐标参数为 ，入射光线首先经界面1, r2, r1 折射，然后在介质 2 中自由传播横向距离 d，最后经界面 2 折射后出射。根据 1 题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
2、 化简后 得证。2 12120 0 r rd212 0drr3试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：激光原理 第六版 天津理工大学理学院 2其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有 12RL将上式代入计算得往返矩阵 12 1010nnn nnrLA B CDT可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件 其中120g1212,LgR对平
3、凹共轴球面镜腔有 则 ，再根据稳定性条件12,R。 122,可得 。120g220L对双凹共轴球面腔有， 则 根据稳定性条件12,0R1212,LgR,可得 。120g 1122120 0 RLLL或对凹凸共轴球面镜腔有， 则 根据稳定性条件12,0R1212,0gR可得 。120g1120LL120102ABLLTCDRR T激光原理 第六版 天津理工大学理学院 35. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜 和 的曲率半径分别为 和 ，1M21R212m,R工作物质长
4、 ，折射率0.5ml.5当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为 ,工作物质左右两l边剩余的腔长分别为 和 ，则 。设此时的等效腔长为 ，则光在腔先经历自由传1l212lLL播横向距离 ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离 ，再在工作1l l物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离 ，则2l所以等效腔长等于 21()llLL再利用稳定性条件由(1)解出 2m1L则所以得到： 1.72.1mL6. 图 2.3所示三镜环形腔，已知 ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 R在什l么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对
5、于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的 ，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢(cos)/2FR光线， ， 为光轴与球面镜法线的夹角。/(2cos)FR01 (1)20.5()0.7.2 12101001Lllll激光原理 第六版 天津理工大学理学院 4图 2.1解： 2221010431ABllCDFFlll213lADF稳定条件 231lF左边有 所以有201ll21llF或对子午线： 对弧矢线：对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线弧矢光线任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得llRR平面镜lcos2RF子 午 cosR弧 矢4433lll或 434392lRl
6、l或2lRll或激光原理 第六版 天津理工大学理学院 57. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器， L=30cm，方形孔边长 ， ，20.1cmda=632.8n镜的反射率为 ，其他的损耗以每程 0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果12,0.96r想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.50TEM作一个大略的估计。氦氖增益由公式估算（ 为放电管长度，假设 ）llL解： 模为第一高阶横模，并且假定 和 模的小信号增益系数相同，用01TEM0TE01表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式0g根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图 2.5.5 可查得
7、 和 模的单程衍射损耗为0TEM01氦氖增益由公式计算。代入已知条件有 。将 、 、 、 和 的值代入 I、II 式，两式0e1.75gl0egl01r2的左端均近似等于 1.05，由此可见式 II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 II 式的条件，则要求 01.47根据图 2.5.5 可以查出对应于 的腔菲涅耳数 01.90N由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 6223.81.83maLN同理利满足 I 式的条件可得 0.7m04e13gl ld01201e(.3) Igllr227.061.938aN
8、L8.37601043l Ld激光原理 第六版 天津理工大学理学院 6因此，只要选择小孔阑的边长满足 即可实现 模单模振荡。0.720.83ma0TEM8试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？30TEM解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的 模的场分布可以写成30令 ，则 I 式可以写成2/()XLx2(/)3030(,)HexyLvxyCX式中 为厄米多项式，其值为3H338-12由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令 ，得01230;/;/XX考虑到 ，于是可以得到镜面上的节点位置0s/L所以， 模在腔面上有三条节线，其 x 坐标位置分别在 0 和 处，节线之3
9、0TEM0s3/2间位置是等间距分布的，其间距为 ；而沿 y 方向没有节线分布。0s3/29. 求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。20T解：在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式merLCr srsnmsmnmn inco, 200对于 ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当 m 为零时，只能选余弦，否则无nTEM意义对于 ：202sinco2, 20020rsseLrCr并且 ，代入上式，得到120sL2(/)30(,)e IxyLvxy120s3s;2x激光原理 第六版 天津理工大学理学院 7，2sinco2, 20020rseCr取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取 ，就0
10、2cos2, 20020 rseCr能求出镜面上节线的位置。即 43,02cos21同理，对于 ， 02TEM 202002020202, ss rsrss eLCeLrCr ，代入上式并使光波场为零，得到402201sssL 02, 2400202 srsss erCr 显然，只要 即满足上式140220sssrL镜面上节线圆的半径分别为： ssrr 0201 1,10. 今有一球面腔， ， ， 。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价1.5mR28cmL共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的 g 参数为由此， ，满足谐振腔的稳定性条件 ，因此，该腔为稳定腔。120.85g1
11、20g由稳定腔与共焦腔等价条件和211221()fRzfLz 12LR可得两反射镜距离等效共焦腔中心 O 点的距离和等价共焦腔的焦距分别为1175LR221.8LR激光原理 第六版 天津理工大学理学院 8根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。16某高斯光束腰斑大小为 =1.14mm， 。求与束腰相距 30cm、10m、1000m 远处的0=10.6m光斑半径 及波前曲率半径 R。解：入射高斯光束的共焦参数根据求得：17若已知某高斯光束之 =0.3mm， 。求束腰处的 参数值，与束腰相距 30cm处0=632.8nmq的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。qq解：入射高斯
12、光束的共焦参数根据 ，可得0()qzzif束腰处的 q 参数为： ()4.7cmiz 30cm 10m 1000m()1.45mm 2.97cm 2.96mRz0.79m 10.0m 1000m12.3m 0.51 0.5mzzf1R2R等价共焦腔2z1zOLff20.385f202(z)=1zfR204.7cf激光原理 第六版 天津理工大学理学院 9与束腰相距 30cm 处的 q 参数为： (30)4.7)cmi与束腰相距无穷远处的 q 参数为： eR,I(.q21某高斯光束 =1.2mm， 。今用 F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为0=1.6m10m、1m、10cm、0 时，求
13、焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数设入射高斯光束的 参数为 ，像高斯光束的 参数为 ，根据 ABCD 法则可知q1q212F其中 ；qliflf和 分 别 为 入 射 高 斯 光 束 的 焦 斑 位 置 和 共 焦 参 数。2qliflf和 分 别 为 像 高 斯 光 束 的 焦 斑 位 置 和 共 焦 参 数200 ff利用以上关系可得12Fql10m 1m 10cm 02.00cm 2.08cm 2.01cm 2.00cm02.40m22.555.3m56.2从上面的结果可以看出，由于 f 远大于 F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在
14、何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22 激光器输出光 ， =3mm，用一 F=2cm的凸透镜距角，求欲得到2CO=10.60及 时透镜应放在什么位置。0m=.5解：入射高斯光束的共焦参数设入射高斯光束的 参数为 ，像高斯光束的 参数为 ，根据 ABCD 法则可知q1q212F20.47f20.67mf激光原理 第六版 天津理工大学理学院 10其中 ；1qliflf和 分 别 为 入 射 高 斯 光 束 的 焦 斑 位 置 和 共 焦 参 数。2qliflf和 分 别 为 像 高 斯 光 束 的 焦 斑 位 置 和 共 焦 参 数200 ff利用以上关系可得12Fq时， ，即将透镜放在距束腰 1.39m 处；0m.39l时， ，即将透镜放在距束腰 23.87m 处。.58723如图 2.6光学系统，如射光 ，求 及 。=10.6m“03l图 2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置cml1523lcml21m30cF21 cmF5200
