1、 1东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ，则A. B. C. D. （2）下列函数中为偶函数的是A. B. C. D. （3）直线 与圆 相交于 两点， ，则“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,（4）执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值为A.8 B.19 C. 42 D.892（5）已知向量 a ， b ， c ，若(2 a-b) c，则实数 A.B.C
2、.D.（6）已知 ，则A. B. C. D. （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A.B.C.D.（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）复数 .（10）双曲线 的渐近线方程为 .3（11）若 满足 ，则 的最大值是 .
3、（12）在 中， ，则 ， 的面积为 .（13）函数 当 时， 的值域为 ；当有两个不同零点时，实数 的取值范围为 .（14）设命题 已知 ，满足 的所有点 都在 轴上.能够说明命题 是假命题的一个点 的坐标为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知 是等差数列， 是等比数列，且 .（）数列 和 的通项公式；（）设 ，求数列 前 项和.（16） （本小题 13 分）已知函数 .（）当 时，求函数 在区间 上的最大值与最小值；（）当 的图像经过点 时，求 的值及函数 的最小正周期. （17） （本小题 14 分）“砥砺奋
4、进的五年” ，首都经济社会发展取得新成就.自 2012 年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市 2012-2016 年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如 2012 年，北京城镇居民收入实际增速为 7.3%，农村居民收入实际增速为 8.2%）.4（）从 2012-2016 五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于 7%的概率；（）从 2012-2016 五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过 7%的概率；（）由图判断，从哪年
5、开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18） （本小题 13 分）如图，在四棱锥 中， 是等边三角形， 为 的中点，四边形为直角梯形， .（）求证：平面 平面 ；（）求四棱锥 的体积；（）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由. （19 ） （本小题 14 分）已知函数 .5（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求 的单调区间；（）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.求证：“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.（20 ） （本小题 13 分）已知椭圆 的右焦点 与短轴两个端点的连线互相垂直.（）求椭圆 的标准方程；（）设点 为椭圆 的上一点，过原
6、点 且垂直于 的直线与直线 交于点 ，求 面积 的最小值.东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10） （11） （12） ，（13） ， 或 （14） （点 的坐标只需满足 ，或 ， ）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 6因为 ，所以 解得 又因为 ，所以 所以
7、 ， ， 6 分（）由（）知， ， 因此数列 前 项和为 数列 的前 项和为 所以，数列 的前 项和为 ， 13 分（16） （共 13 分）解：（）当 时， .因为 ，所以 所以，当 ，即 时， 取得最大值 ，当 ，即 时， 取得最小值为 . 6分（）因为 ，所以 因为 的图象经过点 ，7所以 ，即 所以 所以 因为 ，所以 所以 的最小正周期 13 分（17） （共 13 分）解：（）设城镇居民收入实际增速大于 为事件 ，由图可知，这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于 ，所以 . 5 分（）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超 为事件 ，这五年中任选两年，有 ， ， ， ， ，
8、， ， 共 种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过 的为前 种情况，所以 . 10分（）从 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. 13 分（18） （共 14 分）解：（） 因为 ， ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 5 分（）连接 因为 为等边三角形， 为 中点，所以 因为 平面 ，所以 8因为 ，所以 平面 所以 在等边 中， ，所以 9 分（）棱 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为 中点取 中点 ，连接 因为 为 中点， 所以 因为 平面 ，所以 平面 因为 为 中点，所以 因为 平面 ，所以 平面 因为 ，所以平面 平面 因为 平面 ，所以 平面
9、14 分（19） （共 14 分）解：（）因为函数 ，所以 ,.又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分（）函数 定义域为 ，由（）可知， .9令 解得 .与 在区间 上的情况如下：极小值 所以， 的单调递增区间是 ；的单调递减区间是 . 9 分（）当 时， “ ”等价于“ ”.令 ， ， .当 时， ，所以 在区间 单调递减.当 时， ，所以 在区间 单调递增 .而 ，.所以 在区间 上的最大值为 .所以当 时，对于任意 ，都有 . 14 分（20） （共 13 分）解：（）由题意，得解得 10所以椭圆 的方程为 4 分（）设 ， ，则 当 时，点 ， 点坐标为 或 ， 当 时，直线 的方程为 即 ，直线 的方程为 点 到直线 的距离为， 所以， 又 ，所以且 ，当且仅当 ，即 时等号成立，综上，当 时， 取得最小值 1. 13 分
