1、1第 9 章 重积分及其应用1用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体： ；22(,)| ;0xyzzR(2) 由抛物面 ，柱面 x2+y2=1 及 xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) ；2 22d,(,)|DVRxDxyR(2) ()|1y所属章节：第九章第一节难度：一级2根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1) ，其中 D 为 ； 22dDaxy 22xya(2) ，其中 D 为()b,0b解答：(1) ；223dDaxya(2) 223()bb所属章节：第九章第一节难度：一级3一带电薄板位于 xOy 平面上，占有闭区域 D，薄板上电荷分布的面密度为 ，(,)xy且 在
2、 D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷 Q(,)xy解答： (,)dQ所属章节：第九章第一节难度：一级4将一平面薄板铅直浸没于水中，取 x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有 xOy平面上的闭区域 D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答： dpgx所属章节：第九章第一节难度：一级25利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1) 与 ，其中 D 是由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的区域；21()dDIxy32()dDIxy(2) 与 ，其中 D 是矩形区域：0x 1，0y1；1ln(1)I 22ln(1)I(3) 与 ，其中 D 是任一平面有界闭区域
3、；2sidDxy dDxy(4) 与 ，其中 D 是矩形区域： 1x0，0y1；1eyI2exyI解答：(1) 在区域 D 内部 ， ，所以 I1I2；(2) 在区域 D 内部， ，故 ，所以 I1I2；？2,xy2ln()ln()xyxy(3) 由于 ，所以 I1I20xyxye所属章节：第九章第一节难度：一级6利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1) ；d,(,)|04,8ln(4)DIxyyxy(2) ；2 23si,(,)I x(3) ；221d,(,)|10cosDI Dyxy(4) 2 21ed,(,)4xyI解答：(1) 由于 的面积为 32，在其中(,)|04,8xyy，而
4、等号不恒成立，故 ；11ln6l(4)ln4xy816ln2lI(2) 由于 的面积为 ，在其中 ，而等号23,4Dxy2sin()1xy不恒成立，故 ；224I3(3) 由于 的面积为 ，在其中 ，而等(,)|1Dxy222111020cosxy号不恒成立，故 ；150I注：原题有误？还是原参考答案有误？如将 改为(,)|1Dxy，则区域面积为 200，结论为(,)|1Dxy025I(4) 由于 的面积为 ，在其中 ，而等号不恒成立，2(,)4xy14141sin()xye故 14eI所属章节：第九章第一节难度：二级7设 f(x，y)是连续函数，试求极限： 201lim(,)drxyrf解答
5、：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得2 20 001lim(,)li(,)li(,)(0,)r r rxyrfdfff 所属章节：第九章第一节难度：二级8设 f(x，y)在有界闭区域 D 上非负连续，证明：(1) 若 f(x，y)不恒为零，则 ；(,)d0fxy(2) 若 ，则 f(x，y)0,d0D解答：(1) 若 f(x，y)不恒为零，则存在 ， ，利用连续函数的保号性，0(,)xyD0(,)fxy存在 的一个邻域 ，在其上恒有 ，于是 ，而0(,1D,f1(,)d0Dfxy，所以 ；1)dDfxy 1 1(,)d()d(,)Dfxyxyf(2) 假若 f(x， y)不恒为零，则由
6、上题知 ，矛盾，故 f(x，y)0,0f所属章节：第九章第一节难度：二级49计算下列二重积分：(1) ；sind,(,)12,0Dxyxyy(2) ；2(e),1,x x(3) ；2d(0yDyy(4) ；22 sin),),02xx(5) 22d,(,Dyyx解答：(1) ；221013sinsinxdxd(2) ；2112 2 2210 0 (1)(e)() ()xy xyxyxD eeeed (3) ；2 2100d)()xyxyxdd(4) ；2222 220 01sin()sin()(cos4)16D yxdx (5) 2112yxdxdd所属章节：第九章第二节难度：一级10画出下列
7、各题中给出的区域 D，并将二重积分 化为两种次序不同的二次积(,)dDfxy分：(1) D 由曲线 y=lnx，直线 x=2 及 轴所围成；(2) D 由抛物线 y=x2 与直线 2x+y=3 所围成；(3) D 由 y=0 及 y=sinx(0x)所围成；(4) D 由曲线 y=x3，y =x 所围成；(5) D 由直线 y=0，y=1，y=x，y =x2 所围成解答：本题图略，建议画出(1) ；2lnln2100(,)(,)yxedfdf(2) ；23319201, ,(,)yx yfyfxdfxd5(3) ；sin1arcsin00(,)(,)x ydfydfxd (4) ；3 33 3
8、011 10,(,)(,)xyyx fxdfxd 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线 y=x3，y=x 所围成”改为“D 由曲线所围成” ，则答案为原参考答案3,y；3311d(,)d(,)yxfyfx(5) 2311201020d(,)d(,)dyxfyfx所属章节：第九章第二节难度：一级11计算下列二重积分：(1) ， D 由曲线 x=2，y= x，xy=1 所围成；2dDxy(2) ，D 由点(0，0) ，( ，0)，(，)为顶点的三角形区域；cos()(3) ，D 由抛物线 和 y =x2 围成；dxy(4) ，D 由抛物线 y2=x 与直线 y=x2 所围成；(5)
9、，D 由直线 y=x，y=2 和曲线 x=y3 所围成sindDxy解答：(1) ；223119()4xdd(2) ；0 0 3cos()cos()(sin2i)2xDxydyxxd (3) ；27114006()35xyxd(4) ；22411()8yDxyddyx(5) 32211 3cos1ins4sin()sin()(cos)2yxdy 所属章节：第九章第二节难度：二级612画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：(1) ；10d(,)yfx(2) ；2210,d(,)dxfy(3) ；21()yfx(4) ；240d,x(5) 1()dfy(6
10、) 320,y解答：本题图略，建议画出(1) ；210(,)xdf(2) ；yd(3) ；1 4 201(,)(,)x xffyd(4) ；2 2 2 4 24011 0(,)y yyxfxd(5) ；2011(,)(,)dfxdf(6) 2 32010xyyd所属章节：第九章第二节难度：一级13计算下列二次积分：(1) ；1/340dyx(2) ；2ex(3) ；20sindy(4) ；20i()dxy(5) ；1220arcsindo1csyx7(6) 2421dsindsinxxyy解答：(1) ；31/311443400016xy dxd(2) ；2 22310 ()yyxdedeee
11、(3) ；222000sinsinsi1xy xd(4) ；22 2000i()i()cos()4sinyxddydy(5) 1 sin2 2 22 2 20arcsin 0 0o1csco1i1coxyxdxxxd ；3201()()(6) 2242 231 1 184sinsinsincosx yx xdyddydy所属章节：第九章第二节难度：二级14利用积分区域的对称性和被积函数关于 x 或 y 的奇偶性，计算下列二重积分：(1) ；22|d,:DxyyR(2) ；232(tan4)d,:4xDy(3) ；2 221rcsi,:()Dyx RR(4) (|)d,:|1x解答：(1) 设
12、，则221:,0yy；14320|4|4sinco2RDD Rxydxdrdr(2) ；23(tan)16Dyx(3) 由于积分区域关于 对称，被积函数是关于 y 的奇函数，故 ；2(1)arcsind0DyxR8(4) 设 ，则1:,0Dxy1104(|)2|83xDDdxdyxdydy所属章节：第九章第二节难度：二级15利用极坐标化二重积分 为二次积分，其中积分区域 D 为：(,)dDfxy(1) ；2:,(0)Dxya(2) ；214(3) ；:0,1xyx(4) 2()D(5) 2:4xy解答：(1) ；cos20d(,sin)dafrr(2) ；201,if(3) ；2cosind(
13、s,n)drr(4) ；3(si)40co,if(5) 32 2cos 0d(,sin)d(cos,in)dfrrfrr 所属章节：第九章第二节难度：一级16利用极坐标计算下列二重积分：(1) ；222d,:DRxyDxyR(2) ；2()()()a(3) ；2arctnd,:14,0Dyxyyx9(4) ；22d,:,Dxyxy(5) arctn22e,:14,3x xy(6) ，D：第一象限中由圆 及直线 所()dD22,4yy3,xyx围成解答：(1) ；cos22 23332 20114d (sin)()RDRxyrdRdR (2) ；cos22 3424400() cs8a a(3)
14、 ；22401arctnd6Dyxrd(4) ；2cos 44 482(coscos)32d 注：本小题与第 9 大题第（5）小题相同(5) ；arctn2334214edyxDedr(6) sin2 34326615() 0sin(23)8xyrd所属章节：第九章第二节难度：二级17设 r， 为极坐标，在下列积分中交换积分次序：(1) ；cos20d(,)d 0)afra(2) ；sin220, (af(3) ；d()02)ra(4) ；4cos0,d (af10解答：(1) ；arcos0d(,)df(2) ；22arcsin10ri2(,)afr(3) ；0d(,)arf(4) 24400arcos,d(,)daf f所属章节：第九章第二节难度：一级18计算下列二次积分：(1) ；2210dexy(2) ；22/10arctndyx(3) ；2220dx(4) 213/()dxy解答：(1) ；2 21 1220001()4xreeded (2) ；22/1 1 2420 00arctn6y rx(3) ；22 2cos2 320 0081cos9xdddd(4) 21 123/ 220 00sinco() (ins)2xyrd 所属章节：第九章第二节难度：二级19计算下列二重积分：(1) ；2max(,)ed,:(,)|01,yDxyy
