1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2、通项公式：，首项： ；公比：110,nnnaqABaq1aq推广： nmnnm3、等比中项：（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项，即： 或,aAbAab2Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 是等比数列n21nna4、等比数列的前 项和 公式：nS（1）当 时，q1a（2）当 时，1nnnqaS（ 为常数）1 nnnaABA,B5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 ，都有 为等比数n11(0)nn nnaqqa 或 为 常 数 ，列（2）等比中
2、项： 为等比数列211(0)nnnnaaa（3）通项公式： 为等比数列AB6、等比数列的证明方法：依据定义：若 或 为等比数列*12,naqnN0且 1nnaqa7、等比数列的性质：（2）对任何 ，在等比数列 中，有 。*,mnNnanmaq（3）若 ，则 。特别的，当 时，得*(,)mnsttNnmsta 2mnk注：2nka 12132n等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 中， , ,求 .na19643720a1a思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 和 的二元方程组，解出 和 ，可q1aq得 ；或注意到下标 ，可以利用性质可求出
3、、 ，再求 .1a37371解析：法一：设此数列公比为 ，则q819126374()02aqa由(2)得： .(3) 241()0a .0由(1)得： , .(4)4216q418aq等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式an1； mn 1； mn通项公式dn)(1 1nqa（ 0,）中项 2knaA（ 0,*knN）)(knknG（ 0,*knNk）前 n项和)(1nnaSd2 )2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpnmNqpnaqm ),(*pmNpnm(3)(4)得： ， 421058q ,解得 或425221q当 时， ， ；q1a0164a当 时， ，
4、 .231法二： ,又 ,19764372 、 为方程 的两实数根，3a720x 或 4673a , 或 .231a213164a总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】a n为等比数列，a 1=3，a 9=768，求 a6。【答案】96法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q 8=256，q=2，a 6=96；法二：a 52=a1a9 a5=48 q=2，a 6=96。【变式 2】a n为等比数列，a n0，且 a1a89=16，求
5、 a44a45a46的值。【答案】64； ，又 an0，a 45=42189456 。3a【变式 3】已知等比数列 ，若 ， ，求 。n1237a1238ana【答案】 或 ；12n3a法一： ， ，1312382从而 解之得 ， 或 ，135,4a1a341a3当 时， ；当 时， 。2q12q故 或 。1na3n法二：由等比数列的定义知 ，21a231a代入已知得21178aq213(),8aq21(),(1aq将 代入（1）得 ，250解得 或2q由（2）得 或 ，以下同方法一。1a142q类型二：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2
6、S9，求数列的公比 q.解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1.因 a10，得 S3+S62S 9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由 得， ，3669111()()2()aqaq整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q 3+1)(q3-1)=0，因 q31，故 ，所以 。1242q举一反三：【变式 1】求等比数列 的前 6 项和。,39【答案】 ；3642 ， ，1aqn 。6663134221S【变式 2】已知：a n为等比数列，a 1a2a3=27，S 3=13，求 S5.【答案】 ；9或 ， ，则 a1=1
7、或 a1=932273a31()3qq或 .55551913232S9S或 【变式 3】在等比数列 中， ， ， ，求 和 。na16n218na126nSq【答案】 或 2， ；1q6 ，21nna18n解方程组 ，得 或16n42na164n将 代入 ，得 ，42na1nqS由 ，解得 ；1q6将 代入 ，得 ，14na1nnaqS2由 ，解得 。1q6 或 2， 。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 中，若 ,求 .na569a3132310logl.logaa解析： 是等比数列，n10293847569 32313loglogl aa 5512310363l()log()log9
8、10aa举一反三：【变式 1】正项等比数列 中，若 a1a100=100; 则 lga1+lga2+lga100=_.n【答案】100；lga 1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而 a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a 1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式 2】在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为87_。【答案】216；法一：设这个等比数列为 ，其公比为 ，naq ， ， ，183a4512783aq4816q294 。2624113316法二：设这个等比数列为
9、，公比为 ，则 ， ，naq18a527加入的三项分别为 ， ， ，234由题意 ， ， 也成等比数列， ，故 ，1a352363a 。232416a类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列 中，已知 ， ，求 。48nS260n3nS思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一：令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b 3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2
10、+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知 b1,b2,b3成等比数列， ，3348bS 3n=b3+S2n=3+60=63.法二： ， ，2nS1q由已知得12()4860naq得 ，即 514n1n代入得 ，6aq 。313 3()14()6nnS法三： 为等比数列， ， ， 也成等比数列，nanS2n32nS ，232()()nS 。223()(6048)63nnS举一反三：【变式 1】等比数列 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_.na【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a
11、1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式 2】已知等比数列 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S 30=？【答案】130；法一：S 10，S 20-S10，S 30-S20构成等比数列，(S 20-S10)2=S10(S30-S20) 即 302=10(S30-40),S 30=130.法二：2S 10S 20， , 1q , ,01)(0a202()4aq ,2,4q351 .30)(1)(030 aS【变式 3】等比数列 的项都是正数，若 Sn=80, S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.n【答
12、案】 ， (否则 )650821q21 =80 .(1)1()nnaqS=6560.(2)，22(2)(1)得：1+q n=82,q n=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知 q1a n为递增数列，a n为最大项 54.a n=a1qn-1=54,a 1qn=54q,81a 1=54q.(4) 代入(1)得 ，54283a2(18)0()3qq=3,n=4.【变式 4】等比数列 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_.n【答案】4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b 2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b 1
13、, b2, b3成等比数列，b 3= = =4,即 a5+a6=4.b2【变式 5】等比数列 中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。n【答案】448；a n是等比数列，(a 4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q 3=8, a 7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整
14、式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d.则 a-d, a, a+d+32 成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列. )2.()()4( 132daa由(2)得 a= .(3)816d由(1)得 32a=d2+32d .(4)(3)代(4)消 a，解得 或 d=8.3当 时, ；当 d=8 时,a=103d69原来三个数为 , , 或 2,10,50.28法二：设原来三个数为 a, aq, aq2，则 a, aq,aq2-32 成等差数列，a, aq-4, aq 2-32 成等比数列 ).(3()4(122aq由(2)得 ，代入(1) 解得 q=5 或 q=1
15、3当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 .9原来三个数为 2，10，50 或 ， , .2638总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 ，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项 a，公比yxq 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为 2，6，18 或 ；105,9设所求的等比数列为 a，aq，aq 2；则 2
16、(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4) 2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或 ，q=-5 ；故所求的等比数列为 2，6，18 或 .105,9【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案】1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1设这三个数分别为 ，,aq由已知得 22791qa223(1)9aq得 ，所以 或 ，42980q2q2即 或3故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数
17、与第三个数的和为 12，求这四个数.【答案】0，4，8，16 或 15，9，3，1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x )2.(6()12(xyx由(1)得 x=3y-12，代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y 2=-3y2+28y, 4y 2-52y+144=0, y 2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列a n的前 n 项和 Sn满足：log 5(Sn+1)=n(nN +),求出数列a n的通项公式，并判断a n是何种数列？思路点
18、拨：由数列a n的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断a n类型.解析：log 5(Sn+1)=n,S n+1=5n,S n=5n-1 (nN +), a 1=S1=51-1=4,当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而 n=1 时，45 n-1=451-1=4=a1,nN +时，a n=45n-1由上述通项公式，可知a n为首项为 4，公比为 5 的等比数列.举一反三：【变式 1】已知数列C n，其中 Cn=2n+3n，且数列C n+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案】p=2 或 p=3；C
19、 n+1-pCn是等比数列，对任意 nN 且 n2，有(C n+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)C n=2n+3n,(2 n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2 n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得： ,解得：p=2 或 p=3,1()306p显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求.【变式 2】设a n、b n是公比不相等的两个等比数列，C n=an+bn,证明数列C n不是等比
20、数列.【证明】设数列a n、b n的公比分别为 p, q，且 pq为证C n不是等比数列，只需证 .213 ,222111()Capbqpbqap2213 1()()bq ,221又 pq, a 10, b 10, 即132032C数列C n不是等比数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列 a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，b n均为等比数列，则a nbn为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则 、 仍为等比数列；21na(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，log mb，log mc 成等差.【答案】(1)错；a 7=a1
21、q6，a 3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：0 2=00，不能说 0，0，0 成等比；(3)对；a nbn首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4)对； ；211,nnqa(5)错；反例：-2，-4，-8 成等比，但 logm(-2)无意义.类型七：S n与 an的关系例 7已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn满足 ，且 a1，a 3，a 15成等比数列，求数21056nna列a n的通项 an.解析： ， 21056nS ，解之得 a1=2 或 a1=3.又 ， 211(2)nna由-得 ，即105)n11()(5)0nnaa n+an-10，a n-an-1=5(n2).当 a1=3 时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列a 13；当 a1=2 时，a 3=12，a 15=72，有 a32=a1a15，a 1=2，a n=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 ，尤其注意1()2nnaS首项与其他各项的关系.举一反三：
