1、 - 1 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628课题：七年级上册主要知识点复习 学生姓名: 吴玮懋 、陈晓琪 第 1 次课 上课时间： 13.12.7 (周 六）学校寄语：世界上没有任何东西可以取代坚持。所以，只要你坚持，你就可以成为一个伟大的传奇！而，此刻，全世界都在等待你成为伟大传奇的成功故事！亲，我们的课程即将开始，你，准备好了吗？提分数学七年级上知识清单第二章 有理数一正数和负数正数和负数的概念负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正
2、数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-8支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数：比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般
3、记为负数。3.0 表示的意义0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。二有理数1.有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。- 2 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以
4、后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2. (1)凡能写成 形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、)pq,p(为 整 数 且负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；(2)有理数的分类: 按正、负分类: 负 分 数负 整 数负 有 理 数零 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数按有理数的意义来分: 负 分 数正 分 数分 数 负 整 数零正 整 数整 数有 理 数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整
5、数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0 和正整数；a 0 a 是正数；a0 a 是负数；a0 a 是正数或 0 a 是非负数；a 0 a 是负数或 0 a 是非正数.三数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以
6、用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点 不是有理数）3.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；- 3 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的
7、正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 时，-a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0， （0 的相反数是 0）6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。五绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对
8、值是 0.可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a； 如果 a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即 (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示为： 或)0a(；即：
9、|a|0；绝对值的问题经常分类讨论；)0a(a任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a； ； ；0a10a1绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；|a|是重要的非负数，即|a|0；注意：|a|b|=|ab|, ba绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为
10、0）4.有理数大小的比较- 5 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。（3）正数的绝对值越大，这个数越大；（4）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小；（5）正数大于一切负数；（6）大数-小数 0，小数-大数 0.5.绝对值的化简当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数一
11、个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。六有理数的加减法.1.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与 0 相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”
12、 ；符号相同的两个数先相加“同号结合法” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：当 b0 时，a+ba 当 b0 时，a+ba 当 b=0 时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5.有理数加减法统一成加法的意义- 6 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628在有理数加减法混合运算中
13、，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和
14、括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得
15、出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- - + - + -5321487原式=(- - )+(- + )+(+ - )2143=-1+0- 8=-1 1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)438132- 7 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628原式=(+ )+(+3 )+(-3 )+(+10 )+(-1 )8143813241= +3 -3 +10 -1=(3 -1 )+( -3 )+10431832=2
16、-3+102=-3+13 61=10.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3 +10 -12 +45162157原式=(-3+10-12+4)+(- + )+( - )621=-1+ +1542=-1+ +308=- 7.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）七有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三
17、）法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；- 8 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.2.倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 a =1（a0） ，就是说a1a 和 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a 的倒数。1互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么 的倒数是 ；倒数是本身aa1的数是1；
18、若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数.注意：0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。3.有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即 ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这
19、个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac4.有理数的除法法则（1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 无 意 义即 0a（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 05.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。八有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。n（1）a 2是重要的
20、非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0；- 9 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628（2）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位10.22.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a) n =an 或 (a-b) n=(b-a)n .（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。九有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘
21、方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。十科学记数法把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， n 是正整数） ，这种记数法是科学记数法na1010a近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.等于本身的数汇总：相
22、反数等于本身的数：0倒数等于本身的数：1，-1绝对值等于本身的数：正数和 0平方等于本身的数：0,1立方等于本身的数：0,1，-1. 第三章 整式的加减一用字母表示数(代数初步知识)1. 代数式：用运算符号“ ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使- 10 -四川省知行教育学校（资阳校区）年级 初三 学科 数学 内部综合讲义 任课教师朱元斌 联系电话18708239628实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+50
23、0,abc。2. 代数式书写规范：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“ ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a5 应写成 5a；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a 应写成 a；213（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3a 写成 的形式；（6）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a .出现除式时，用分数表示；(7)若运算结果为加减的式子，当
24、后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。3.几个重要的代数式：（m、n 表示整数）（1）a 与 b 的平方差是： a 2-b2 ； a 与 b 差的平方是：（a-b） 2 ； （2）若 a、b、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；（3）若 m、n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ；（4）若 b0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 .二整式1.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2.单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和4 多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为 0。注意：（若 a、b、c、p、q 是常数）ax 2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.5 整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代
