1、2016 年成人高考高升专数学模拟题本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ，则|2,|3AxBxAB（A） （B）|3|52x（C） （D）|x|（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A） （B）22(1)()1y22(1)()1xy（C） （D）x （3）下列函数中为偶函数的是（A） （B）2siny 2cosyx（C） （D）|lx （4
2、）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（A）90 （B）100 （C）180 （D）300(5)执行如果所示的程序框图，输出的 k 值为（A）3 （B）4 (C)5 (D)6（6）设 是非零向量， “ ”是“ ”的,ab|abA/ab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A）1（B） 2（C） 3（D）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。注：“
3、累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为（A）6 升 （B）8 升（C）10 升 （D）12 升第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）复数 的实部为_(1)i（10） 三个数中最大数的是 _32,log（11）在ABC 中， ，则 _23,6,3abAB（12）已知（2，0）是双曲线 的一个焦点，则 _21(0)yxbb（13）如图， 及其内部的点组成的集合记为 ， 为ABCD(,)Pxy中任意一点，则 的最大值为D23zxy_（14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生
4、的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_三、解答题（共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15） （本小题 13 分）已知函数 2()sin3sifx（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最小值。()fx20,3（16） （本小题 13 分）已知等差数列 满足 .na1243,2a（）求 的通项公式；（）设等比数列 满足 .问： 与数列 的第几项相等？nb237,b6na（17） （
5、本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买。商品顾客人数甲 乙 丙 丁100 217 200 300 85 98 （）估计顾客同时购买乙和丙的概率（）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18） （本小题 14 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且VABCVABCVACB， 分别为 的中点。2ACB,OM,（）求证： 平面 ./（）求证：平面 平面（）求三棱锥 的体积。VABC（1
6、9） （本小题 13 分）设函数2()ln,0xfk（）求 的单调区间和极值；f（）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点。()x()fx(1,e(20)(本小题 14 分)已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 两点，直2:3Cxy C,AB线 与直线 交于点 .AEM（）求椭圆 的离心率；（）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；BxB（）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由。DE参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）A （2）D （3）B （4）C（5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
7、（9）-1 （10） 2log（11） （12）43（13）7 （14）乙 数学三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）因为 ()sin3cosfxx2()所以 的最小正周期为()fx（）因为 ，所以033x当 ，即 时， 取得最小值x2()f所以 在区间 上的最小值为()f,2)3f（16） （共 13 分）解：（）设等差数列 的公差为nad因为 ，所以432又因为 ，所以 ，故1010a14a所以 ()2nan(,.)（）设等比数列 的公比为nbq因为 2378,16a所以 14q所以 662b由 得28n3所以 与数列 的第 63 项相等6a（17） （
8、共 13 分）解：（）从统计表可以看出，在这 1000 为顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 20.1（）从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 为顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 0.31（）与（）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ，2.0顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ，130.6顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ，.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18）
9、（共 14 分）解：（）因为 分别为 的中点，,OM,ABV所以 /又因为 平面 ，C所以 平面/（）因为 ， 为 的中点，ACBOA所以 又因为平面 平面 ，且 平面 ，VCABC所以 平面所以平面 平面MOAB（）在等腰直角三角形 中， 2所以 2,1ABC所以等边三角形 的面积V3VABS又因为 平面 ，O所以三棱锥 的体积等于C133VABOC又因为三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等，VAB所以三棱锥 的体积为3（19） （共 13 分）解：（）由 得2()ln(0)xfk2()xkf由 解得0fx与 在区间 上的情况如下：()(,)x0,kk(,)k()f- 0 +xA(1ln)2A
10、所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；()fx(0,)k(,)k在 处取得极小值k(1ln)2f（）由（）知， 在区间 上的最小值为 ，()fx(,)(1ln)2fk因为 存在零点，所以 ，从而f l0ke当 时， 在区间 上单调递减，且 ，ke()fx(1,)e()0f所以 是 在区间 上的唯一零点。当 时， 在区间 上单调递减，且 ，ke()fx(0,)e1(),()022ekff所以 在区间 上仅有一个零点。f1,综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点。()fx()fx(1,e（20） （共 14 分）解：（）椭圆 的标准方程为C213xy所以 ,abc所以椭圆 的离
11、心率 63ea（）因为 过点 且垂直于 轴，所以可设AB(1,0)Dx11(,),)AyB直线 的方程为E1()2y令 ，得3x(,2M所以直线 的斜率B13Byk（）直线 与直线 DE 平行。证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，有（）可知 1BMk又因为直线 DE 的斜率 ，所以102DEk/BMDE当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 (1)ykx设 ，则直线 AE 的方程为12(,)(,)AxyB1(2)yx令 ，得点313(,)yxM由 得2,()xyk22()630kk所以2212163,xk直线 BM 的斜率213BMyykx因为 112121()()(3)Bxkxx1212()()3kx2221()3)(kx0所以 1BMDEk所以 /综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行。
