1、1空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1棱长为 2的正四面体的表面积是( C )A. B4 C4 D163 3解析 每个面的面积为： 22 .正四面体的表面积为：4 .12 32 3 32把球的表面积扩大到原来的 2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )A2 倍 B2 倍 C. 倍 D. 倍2 2 32解析 由题意知球的半径扩大到原来的 倍，则体积 V R3，知体积扩大到原来的 2 倍243 23如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )A. B. C. 1423 2843 2803D.1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示这个多面
2、体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V V 长方体 V 正三棱锥 446 213 (1222).28434某几何体的三视图如下，则它的体积是( A)A8 B8 C82 D.23 3 23解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2的正方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 2的圆锥，所以 V2 3 28 .13 235已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为( A)A24 B24 C24 D2432 3 2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积V234
3、1 2324 .12 326某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )2A. cm2 B. cm2(952) (94 2)C. cm2 D. cm2(942) (95 2)解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为233121 30 ；中间部分的表面积为4 42 1，下面部分的表面积为12244162 64 .故其表面积是 94 .4 4 27已知球的直径 SC4， A， B是该球球面上的两点， AB ， ASC BSC30，则棱锥 S-3ABC的体积为( C)A3 B2 C. D13 3 3解析 由题可知 AB
4、一定在与直径 SC垂直的小圆面上，作过 AB的小圆交直径 SC于 D，设 SD x，则 DC4 x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD和 C-ABD，在 SAD和 SBD中，由已知条件可得 AD BD x，又因为 SC为直径，所以 SBC SAC90，所以 DCB DCA60，在33 BDC中 ， BD (4 x)，所以 x (4 x)，所以 x3， AD BD ，所以三角形 ABD为正333 3 3三角形，所以 V S ABD4 .13 3二、填空题8三棱锥 PABC中， PA底面 ABC， PA3，底面 ABC是边长为 2的正三角形，则三棱锥 PABC的体积等于_ _解析 依题意有，
5、三棱锥 PABC的体积 V S ABC|PA| 223313 13 34.39一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 32_解析 设圆柱的底面半径是 r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是 2 r2r4 r2，设球的半径是 R，则球的表面积是 4 R2，根据已知 4 R24 r2，所以 R r.所以圆柱的体积是 r22r2 r3，球的体积是 r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是 32.43 2 r343 r310如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1的正方形和 4个边长为 1的正三角3形组成，则该多面体的体积是_ _
6、26解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连32接顶点和底面中心即为高，可求得高为 ，所以体积 V 11 .22 13 22 2611如图，半径为 R的球 O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_2 R2_解析 由球的半径为 R，可知球的表面积为 4 R2.设内接圆柱底面半径为 r，高为 2h，则 h2 r2 R2.而圆柱的侧面积为2 r2h4 rh4 2 R2(当且仅当 r h时等号成立)，即内接圆柱r2 h22的侧面积最大值为 2 R2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2 R2.12如图，已知正三棱柱 ABCA1B1
7、C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_13_cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 13 (cm)52 122三、解答题13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图2、图 3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V VPEFGH VA
8、BCDEFGH 4026040 22064 000(cm 3)1314 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1的平行四边 形，侧视图是一个长为 ，宽为 1的矩形，俯视图为两个边长为 1的正方形拼3 成的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长4为 1的正方形，高为 ，所以 V11 .3 3 3(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形，S2(111 12)62 .3 315已知某几何体的俯视
9、图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解析 由题设可知，几何体是一个高为 4的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8和 6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示(1)几何体的体积为： V S 矩形 h 68464.13 13(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1 5.左、右侧面的底边上的高为：42 32h2 4 .故几何体的侧面面积为：S2 4
10、024 .42 42 2 (1285 12642) 21.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2r=a， ，底面圆的面积是 ，24a于是全面积与侧面积的比是 ，212在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. 2解：正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是 8 个三棱锥的体积是 ，剩余部分的体积是 ， 1()32461653一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱
11、）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。3答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是 6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm，侧面面积是 455=100cm2，两个底面面积是 48cm2，所以棱柱的全面积是 148cm2.4已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的高之比为 。4答案：2 ： 5解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 和 ，235由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ，得 ，
12、 ，2rl13l2lr所以它们的高的比是 .2()35ll5已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_5答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是 1，高为 3，则它的体积是 13=1cm3.36矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 6答案： ba解：矩形绕 a边旋转，所得几何体的体积是 V1=b2a，矩形绕 b边旋转，所得几何体的体积是V2=a2b，所以两个几何体的体积的比是
13、216四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解析 (1)如图，在四面体 ABCD中，设 AB BC CD AC BD a， AD x，取 AD的中点为 P，BC的中点为 E，连接 BP、 EP、 CP.得到 AD平面 BPC， VA-BCD VA-BPC VD-BPC S BPCAP S BPCPD S BPCAD a x13 13 13 13 12 a2 x24 a24 a12 3a2 x2 x2 a3(当且仅当 x a时取等号)该四面体的体积的最大值为 a3.a12 3a22 18 62 18(2)由(1)知， ABC和 BCD都是边长为 a的正三角形， ABD和 ACD是全等的等腰三角形，其腰长为 a，底边长为 a， S 表 2 a22 a 62 34 12 62 a2 ( 64a)2 a2 a a2 a2.32 62 10a4 32 15a24 23 154
